类比性探究题——综合题选讲，本文主要内容关键词为：综合题论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
新大纲强调“提高学生数学探究能力”，新课标把数学探究作为“贯穿于整个高中数学课程的重要内容”，本文分三个方面例谈类比性探究题的解法，以引导同学们在培养解题能力的过程中感受到课程改革带来考题创新的新气息.
一、纵向类比，探究一般结论
例1 （2002年春季京皖高考题）已知点的序列A[，n]（x[，n]，0），n∈N[，+]，其中x[，1]=0，x[，2]=a（a＞0），A[，3]是线段A[，1]A[，2]的中点，A[，4]是线段A[，2]A[，3]的中点，…，A[，n]是线段A[，n-2]A[，n-1]的中心，….
（Ⅰ）写出x[，n]与x[，n-1]、x[，n-2]之间的关系式；
（Ⅱ）设a[，n]=x[，n+1]-x[，n]，计算a[，1]，a[，2]，a[，3]，由此推测｛a[，n]｝的通项公式，并加以证明；
（Ⅲ）求
审题注释：①（Ⅰ）是（Ⅱ）的基础，（Ⅱ）是（Ⅲ）的基础，（Ⅱ）是关键；②由n=1、2、3推广到n∈N[，+]来归纳a[，n]关于n的一般表达式，属于大家比较熟悉的纵向类比的一种似真推理方式.
解题感悟：对于用不完全归纳法推测出来的有关正整数n的结论，既可以用数学归纳法加以验证，也可以用直接法加以验证.
例2 （2003年上海市高考文科试题）已知数列｛a[，n]｝是首项为a[，1]、公比为q的等比数列.
（1）求和：
（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明；
（3）设q≠1，S[，n]是等比数列｛a[，n]｝的前n项和，
二、横向类比，探究迁移结论
例3 （2003年春季上海市高考题）已知椭圆
具有性质：若M、N是椭圆C[，1]上关于原点对称的两点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率k[，PM]、k[，PN]都存在时，那么k[，PM]·k[，PN]是与点P位置无关的定值.试对双曲线
写出具有类似特征的性质，并加以证明.
审题注释：①对椭圆C[，1]的给定性质在答卷中不要求加以验证，不过在草稿纸上快速推导还是有助于类比发现双曲线C[，2]的类似特征的；②由一个研究对象的结论横向迁移到另一个相近对象中去进行类比思考，对我们思维的直觉性提出了较高要求.
解：双曲线C[，2]的类似性质是——若M、N是双曲线C[，2]上关于原点对称的两点，点P是双曲线上任一点，当直线PM、PN的斜率k[，PM]、k[，PN]都存在时，那么K[，PM]·k[，PN]也是与点P位置无关的定值.证明如下
即k[，PM]·k[，PN]是与点P位置无关的定值.证毕.
解题感悟：对于对称轴在坐标轴上的椭圆或双曲线（x[2]/p）+（y[2]/q）=1（pq≠0，p与q不同时为负数）上的三点M、N、P，若M与N关于原点对称，且k[，PM]和k[，PN]都存在，则k[，PM]·k[，PN]=-（q/p）.
例4 （2000年上海高考题）在等差数列｛a[，n]｝
例5 （1）设a、b是两个实数，求证：
（2）对于三个实数a、b、c，是否存在着与（1）相类似的结论？
提示：（1）由｜a｜＜1，｜b｜＜1得，a[2]＜1，b[2]＜1，…，（a+b）[2]＜（1+ab）[2]，….
（2）存在类似结论——设a、b、c是三个实
用（1）的结论可证.
三、升维类比，探究拓展结论
例6 （2003年新课程高考题）在平面几何里有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB[2]+AC[2]=BC[2]”拓展到空间、类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则____________________”.
审题注释：把平面的勾股定理升维拓展到空间去进行类比思考，其思考的方向是发散的，这里又给出了“面积”和“垂直”这两个限定条件，则思考的方向才是收敛的.
解：由于三平面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则三直线AB、AC、AD两两垂直（习题结论），则AD⊥平面ABC（线面垂直的判定定理）.作AE⊥BC于E，连DE，则DE⊥BC于E（三垂线定理）.由勾股定理得
解题感悟：我们还可以进一步推理得——在长方体
例7（2002年上
推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.
例8（1）已知平面上有结论：“在平行四边形ABCD中，动点P在直线CD上，则
把此结论拓展到空间，能否在三棱柱中探究到类比结论？并详述理由；
（2）已知斜三棱柱ABC—A[，1]B[，1]C[，1]的体积为12，D是线段，AA[，1]的第一个三等分点，E是线段BB[，1]的第二个三等分点，求四面体CC[，1]DE的体积.
提示：（1）符合题意的类比结论是——在三棱
（2）四面体CC[，1]DE的体积等于4.