悖论的辩证逻辑公式及其他，本文主要内容关键词为：辩证逻辑论文,悖论论文,公式论文,及其他论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：B811文献标识码：A文章编号：1000—5242(2007)01—0001—06
一、悖论的辩证逻辑公式
长期以来，中外的逻辑学者把悖论的公式归结为一个命题与自己的否定命题等值：P
┐P。如：冯契先生主编的《哲学大辞典·逻辑学卷》中把悖论定义为：“逻辑上自相矛盾的恒假命题。它的标准形式是P┐P。”[1] 1381《中国大百科全书·哲学卷》认为悖论“这类命题也可以表述为：一个命题A，A蕴涵非A，同时非A蕴涵A，A与自身的否定非A等值”[2] 33。美国《哲学百科全书》第5卷也说：“悖论的极端形式由两个相互否定命题的显然等价构成。”[3] 369我们认为，这样来认定悖论的公式有些简单化了。因为，任何一个悖论中所包含的一个命题与其否定命题的等值式都不是独立存在的，它总是要由某一前提(一个命题或某一理论系统以及相关的背景知识)合逻辑地推出的。因此，所谓悖论应该是从某前提合逻辑地推出矛盾命题的等值式的全部思维过程。试看近期出版的彭漪涟、马钦荣主编的《逻辑学大辞典》中的悖论定义：“在某些公认正确的背景知识下能够合乎逻辑地建构矛盾等价式的理论事实。”[4] 609① 西方学者弗兰克尔的悖论定义也与此有类似之处：“如果某一理论的公理和推理规则看上去合理，但从中却证明了两个互相矛盾的命题的等价式，那么这一理论就包含了一个悖论。”[3] 369我国著名辩证逻辑学者赵总宽说得更加明确，他说：“悖论是指以正补相关命题的原负相关命题表达式为前提，依据经典逻辑推理规则，可推出原负命题等值式的推论。”[3] 370可见，悖论乃是由某一前提合逻辑地推出两个矛盾命题的等值式这一整个的理论事实，它的公式应该由“某一前提”、“合逻辑地推出”、“两个矛盾命题的等值式”等部分构成，决不能只是某一个孤立的矛盾命题的等值式。
不仅如此，悖论的前提还一定是人们认为是正确无误的。因为，所谓悖论，按照这个词的原意，是“令人难以置信”的意思。② 为什么悖论是令人难以置信的呢？就在于人们认为悖论的前提是正确无误的，所运用的推理形式也是有效的，这样，按照逻辑规律，结论也应必然是真实的。但是，事实恰恰相反，它推出的结论却竟然是一个命题与其否定命题等值的逻辑矛盾恒假命题，这自然使人感到是难以置信的了。于是，人们就把这类论述称为悖论。试想，如果人们不是认为悖论是从正确的前提出发的，亦即人们明知道某个前提包含有谬误，即使是从中合逻辑地推出了两个矛盾命题的等值式，也不会被人们称之为悖论。因为，从荒谬的前提合逻辑地推出荒谬的结论，这本是合乎情理的事，又有什么难以置信的呢？因此，对于悖论的公式来说，不仅应该标示出所谓的两个矛盾命题的等值式都是由一定的前提必然推出的，还应标示出这一前提都是被人们认为是正确的。
进一步说，仅仅看到悖论是由人们认为正确的前提推出两个矛盾命题的等值式(或两个矛盾命题的合取命题③)，这种认识仍然是不完备的。因为，这仅仅是认识到了悖论的一个方面，亦即人们“主观上认为的悖论”。其实，悖论也都存在着另一方面——“实际上的悖论”，即“悖论实际上都是从包含有谬误的前提推出两个矛盾命题的等值式(或两个矛盾命题的合取命题)的”(根据逻辑规律，如果推理形式有效而结论错误，前提中是肯定有谬误的)，否则也绝不会形成悖论。因此，对于悖论，我们既要看到它是从人们认为正确的前提出发的，又要看到它事实上是从包含有谬误的前提出发的，只有这样，才是对悖论的本质的全面的认识。④ 正因为如此，我在拙作《再论悖论的几个问题》中，曾经提出了如下的悖论的辩证定义(本文在文字上略有改动)：
悖论是如下两个矛盾方面的对立统一体：一个方面是人们主观上认为的悖论：从正确的命题、理论系统及其相关背景知识出发，合逻辑地推出两个矛盾命题的等值式或两个矛盾命题的合取；另一个方面是实际上的悖论：从其中包含有人们尚未发现其谬误的命题、理论系统及其相关背景知识出发，合逻辑地推出两个矛盾命题的等值式或两个矛盾命题的合取。这一定义也可以表述为：悖论是人们主观上认为的悖论(从正确的前提合逻辑地推出两个矛盾命题的等值式或两个矛盾命题的合取)与实际上的悖论(从其中包含有人们尚未发现其谬误的前提合逻辑地推出两个矛盾命题的等值式或两个矛盾命题的合取)的思想的对立统一体。
根据悖论的这一辩证定义，可以构造出如下的悖论的辩证逻辑公式：
设“A”代表某一命题或某一理论系统及其背景知识；“├A”代表人们认为A真，“
”代表合逻辑地推出，“P┐P”代表两个矛盾命题的等值式，“P∧┐P”代表两个矛盾命题的合取，“∨”代表析取，“
”代表对立统一关系，“～A”代表“A”包含有谬误。悖论的公式为：
两千年来(说谎者悖论提出以来)，人们之所以对悖论问题迷惑不解，一百年来(罗素悖论提出以后)中外逻辑家提出的种种解决悖论问题的方案所以都不尽如人意，最根本的原因就在于人们都只是局限于以普通思维、普通逻辑的“眼界”去看待悖论，只看到悖论是从人们认为正确的命题、理论系统中必然地推出了永假命题，并把悖论的公式归结为“P┐P”，面对如此的理论事实人们惊诧不已，慨叹其不可思议。而一旦人们运用辩证思维、辩证逻辑去认识悖论问题，看到了悖论实际上还存在着另一方面，即作为悖论前提的人们认为正确的命题、理论系统，事实上包含有谬误(这些谬误究竟是什么，在该悖论消解以前，人们当然并不了解)，作为悖论，实际上是从包含有谬误的前提推出了永假命题的。这样，笼罩在“悖论”上的一切“迷雾”也都烟消云散了(如上所说，从谬误推出谬误是很正常的事)。
体现了人们对悖论本质的认识从普通思维向辩证思维的飞跃，也体现了对悖论本质的普通逻辑刻画向辩证逻辑刻画的飞跃。有了这一悖论的辩证逻辑公式，我国逻辑界许多年争论未能真正解决的问题，现在都可以澄清了。例如，悖论究竟是辩证矛盾还是逻辑矛盾？从原来的公式“P┐P”看，显然只能说是逻辑矛盾，但是，从它的这一辩证逻辑公式来看，却只能说，悖论只是从人们认为正确的知识中必然推出了逻辑矛盾，而就悖论的整体来看，它则是辩证矛盾了。再如，悖论究竟存在不存在？从原来的公式“P┐P”来看，只能说悖论是不存在的，因为“P┐P”是个永假式，这表明它标示的对象是不可能存在的(但是，这却和自古迄今悖论的大量出现和存在的事实相矛盾)，而现在从悖论的辩证逻辑公式来看，悖论当然是存在的(悖论的辩证逻辑公式是真命题，它所反映的对象是存在的)，不存在的仅仅是人们原来主观上认为的悖论。
悖论这一辩证逻辑公式乃是辩证逻辑基本规律对立统一思维律“A是((ΔA)
)”⑤ 的具体体现，因此，它也完全符合对立统一思维律的有关内容：
第一，这一悖论公式矛盾双方“(├A((P┐P)∨(P∧┐P)))”(人们认为A真，从而推出两个矛盾命题的等值式或合取)、“(～A((P┐P)∨(P∧┐P)))”(事实上A包含有谬误，从而推出两个矛盾命题的等值式或合取)之间具有互相对立、互相排斥的方面。
第二，这一悖论公式矛盾双方具有相互依存的关系，即：有前者必有后者，有后者必有前者；没有前者必没有后者，没有后者必没有前者。其推理形式为：
第三，从悖论的矛盾统一体的存在，可以必然推出矛盾一方的存在。即：
第四，悖论这个矛盾统一体经过一定的发展，在一定的条件下是可以发生转化的(从悖论转化为非悖论)，这个转化的条件也就是悖论的消解。所谓悖论的消解，根据我们的观点，也就是认识到了原来认为正确的命题、知识系统及其背景知识中暗藏的某种谬误，这样一来，“├A”不存在了，“├A((P┐P)∨(P∧┐P))”自然也不存在了，该悖论也就不存在了——这一悖论也就从使人在认识上懊恼的东西转化为一种人类认识上的飞跃了(有时一个悖论的消解可以引起某一知识领域的重大进步)。
二、悖论创新法
根据上述有关悖论的定义、公式的论述可知，所谓提出悖论(以某一知识领域的基本知识、定理等为前提，合逻辑地推出两个矛盾命题的等值式或合取)，不管提出悖论者是否自觉、是否真正理解，实际上就意味着已经开始觉察到某一被人们认为是正确的知识领域中隐含有某种谬误。因此，提出、发现悖论对人类的认识是有重大意义的。因为，觉察到某一知识领域暗藏有谬误(即使人们还完全不知道这些谬误究竟是什么)，就为人们最终发现并改正这种谬误创造了条件。不仅如此，由于人们在一定历史条件下的认识的局限性，人们现在的各种知识系统都不可能是尽善尽美的，都可能隐藏有这样、那样的谬误。但是，其中的谬误又往往是隐藏甚深，不是人们轻易可以发现的。是否有一种发现各种知识体系中隐藏的谬误的一般方法呢？我们认为，为了探索某一知识系统中是否隐藏有谬误，可以自觉地在该知识系统中构建悖论(即以该知识系统的基本知识、定理为前提，合逻辑地推出两个矛盾命题的等值式或合取)，一旦悖论被提出，就意味着该知识系统中一定隐藏有某种谬误。这样一来，自觉地在某一知识系统中构建悖论，也就成为在各种知识系统中探索隐藏的谬误的一种科学方法了。我们把它命名为“探索谬误的悖论法”。
根据上述关于悖论的定义、公式的论述可知，所谓消解悖论，其实质就在于认识到了某个知识领域暗藏的某种谬误。因此，消解悖论对于人们认识的发展也是有重大意义的。有时一个悖论的消解可以促成某一知识领域整个理论体系的修正和发展。因此，我们认为，在某一悖论被提出之后，人们可以自觉地在该知识领域中去发现隐藏的谬误，一旦这种谬误被发现，该悖论被消解，该知识领域的理论也就会得到改进和发展。这样，自觉地去消解悖论也就成为一种消除知识系统暗藏的谬误的方法了。我们称这种方法为“消除谬误的悖论法”。
以探索谬误的悖论法自觉地建构悖论，以消除谬误的悖论法自觉地消解悖论，把这两者结合起来，先在某一知识领域中建构悖论，然后又根据这一悖论去发现并消除该知识领域暗藏的谬误，就可以修正和发展该科学理论系统，这样，这两种方法的结合也就成为创新科学理论的一种一般方法了。我们称这种方法为“悖论创新法”。
悖论，这个长期以来困扰人类认识的东西，由于“悖论创新法”的提出，却转化为促进人类认识发展的工具。应该说，这不仅是辩证法事物辩证发展规律的体现，也是辩证逻辑的巨大胜利。让我们所有的辩证逻辑工作者为取得这一巨大胜利而欢呼吧！⑦
三、关于所谓悖论逻辑、弗协调逻辑的问题
由于长期以来各种排除悖论的理论与方法都不能令人满意地解决悖论问题，在20世纪中叶以后，西方一些逻辑学家提出了构建容纳悖论的逻辑系统的建议。例如，1979年澳大利亚学者普利斯特在美国《哲学逻辑》杂志第二期上发表了《悖论逻辑》的论文。文中呼吁：“我们应当接受悖论，学会与悖论一起好好相处。”文中把悖论性语句称作既真又假的语句和“真矛盾”语句，认为在悖论逻辑中不矛盾律失去普适性，对悖论式语句不矛盾律失效，相应地，司各脱规则也失效(即不能由“P∧┐P”推出任意命题q)。⑧ 近些年来，我国愈来愈多的逻辑学者认为，所谓的悖论逻辑系统以及相关的弗协调逻辑(或称次协调逻辑、亚相容逻辑等)乃是辩证逻辑系统，有的同志还把它作为辩证逻辑形式化的主攻方向。为此，我(一个辩证逻辑的忠实信徒)也想把我关于悖论逻辑、弗协调逻辑的一些看法提出来，供我国辩证逻辑学界诸同仁参考：
第一，决不能把悖论和逻辑矛盾相等同。如上所说，悖论的本质在于它是从人们认为正确而实际上包含尚未发现的谬误的前提推出两个互相矛盾命题的等值式或合取的思想的对立统一体。因此，虽然由某前提推出的两个矛盾命题的等值或合取是逻辑矛盾，而悖论本身却实际上是辩证矛盾。用来表达逻辑矛盾的命题形式乃是永假式，而用来表达悖论的辩证命题却是一个真命题(不是什么亦真亦假命题)。所以，决不能把它和逻辑矛盾相等同。但是，由于人们长期以来把悖论的公式归结为“P┐P”，以致把悖论和逻辑矛盾相混淆。这样一来，也就把所谓容纳悖论的逻辑系统当作了容纳逻辑矛盾的逻辑系统。也正因为如此，就认为在容纳悖论的逻辑系统中不矛盾律不具有普适性，司各脱规则也失去了作用。实际上，悖论并不就是“P┐P”或“P∧┐P”，刻画悖论的公式应该是“(├A((P┐P)∨(P∧┐P)))(～A((P┐P)∨(P∧┐P)))”，相应地，一个容纳悖论的逻辑系统应该是把这一辩证命题公式作为一个定理的辩证逻辑系统，而不是容纳逻辑矛盾“P┐P”或“P∧┐P”的逻辑系统。
第二，要严格区分逻辑矛盾与辩证矛盾。逻辑矛盾是违反普通思维基本规律不矛盾律的表现，不矛盾律是客观事物在相对稳定状态下的质的规定性的反映。因此，逻辑矛盾从根本上讲乃是违反事物在相对稳定状态下的质的规定性的规律的表现。逻辑矛盾往往表现为断定某对象在同一时间和同一关系下既具有又不具有某种属性，其典型形式表现为一个命题与该命题的否定命题的合取，人们通常用如下的逻辑形式表示逻辑矛盾：“P∧┐P”。辩证矛盾是对客观事物辩证规律的反映，每一事物都有既对立又统一的两个矛盾方面，事物的矛盾经过一定的发展必然要发生转化，一事物可以转化为他事物。一个命题断定某对象的矛盾或矛盾的转化，它就是辩证矛盾命题，其中所包含的矛盾就是辩证矛盾。其典型的逻辑形式是“A”(“A”、“”代表事物矛盾的两个方面，“”代表对立统一关系)。前述悖论的公式就是这一典型的逻辑形式的具体表现形式(试以“A”代悖论公式中的“├A((P┐P)∨(P∧┐P))”，“”代“～A((P┐P)∨(P∧┐P))”，该悖论公式也就成为“A”了)。
逻辑矛盾和辩证矛盾是根本不同的，有了逻辑矛盾就意味着否定事物在相对稳定状态下具有质的规定性，意味着把不同事物加以混淆，因此，逻辑矛盾是一种认识上的严重错误。逻辑矛盾在客观世界中没有原型，它是人们思维对客观世界错误反映的结果。逻辑矛盾的典型形式“P∧┐P”乃是一种永假式。普通逻辑的重要任务之一就是研究如何避免逻辑矛盾。辩证矛盾和逻辑矛盾完全相反，任何辩证矛盾都不违反不矛盾律，因为辩证矛盾并不否定事物在相对稳定状态下的质的规定性。不仅如此，辩证矛盾所反映的事物的辩证矛盾也正是比普通思维所反映的事物质的规定性更加深刻的事物的质的规定性。因此，辩证矛盾不仅不是什么谬误，而且是辩证思维所以高于普通思维的根本所在。应该说，辩证逻辑的根本任务就在于刻画各种辩证矛盾、辩证矛盾的发展和转化(把辩证逻辑理解为如何在逻辑系统中容纳逻辑矛盾只是一种误解)，各种不同的辩证逻辑形式化系统的差别也正在于对各种辩证矛盾的刻画的差别。
逻辑矛盾和辩证矛盾根本性质上的差别，也表现在两者逻辑形式在逻辑推理上的根本差别。“P∧┐P”的肢命题“P”和“┐P”在真值上是完全相反的，因此，从“P”的真，可以推出“┐P”的假，从“┐P”的真，可以推出“P”的假。但是“A”中，矛盾两方面“A”、“”的真值却是相同的，从“A”的存在，可以推出“”的存在，从“”的存在也可以推出“A”的存在。同样的，从“A”或“”的不存在，也可以推出“”或“A”的不存在。
有人会说，在弗协调逻辑中并没有把逻辑矛盾和辩证矛盾相混淆，在弗协调逻辑中不是把有的矛盾称之为“有意义的矛盾”、“不平庸的矛盾”吗？但是，我们要问：这些所谓“有意义的矛盾”等等究竟是逻辑矛盾还是辩证矛盾？如果它是逻辑矛盾，就必须在逻辑系统中予以清除，就不能仅仅把它“在系统中圈禁起来，使之不致危害系统整体”；如果它是辩证矛盾，它对整个逻辑系统就不会有什么危害，因此，也根本不必把它圈禁起来。不仅如此，对于辩证逻辑来说，辩证矛盾是研究的主要对象，对它不仅不应该圈禁起来，倒是应该把它加以展开，对之进行详细研究才对。
有人又会说，弗协调逻辑研究的矛盾既不是逻辑矛盾，也不是辩证矛盾，而是另外的什么矛盾。但是我们要问：既然不是逻辑矛盾，它就不会有什么危害，那又为什么要把它“圈禁”起来？为什么又要大谈限制不矛盾律，为什么又要让司各脱规则失效？既然不是辩证矛盾，那么，弗协调逻辑就根本没有研究辩证矛盾，这样，弗协调逻辑就根本谈不上是辩证逻辑的问题。完全不研究辩证矛盾的逻辑，就绝对不是什么辩证逻辑！
弗协调逻辑的创始人达科斯塔曾经这样来讲述弗协调逻辑中的所谓矛盾：“我们把任一对互相否定的命题叫作矛盾……亚相容逻辑并不排斥矛盾中的两个命题都为真的可能性……特别是它并不排斥存在有真正实在的矛盾，其组成部分涉及现实的矛盾。”[5] 试看，“一对互相否定的命题”，按说是不能同真的，两个都真的命题又如何能称为互相否定的呢？因此，又怎么能够“并不排斥矛盾中的两个命题都为真的可能性”呢？至于说“并不排斥存在有真正实在的矛盾，其组成部分涉及现实的矛盾”，这当然是对的，因为，在现实中，确实存在着真正实在的矛盾，辩证矛盾不就是这样的矛盾吗。但是，辩证矛盾乃是矛盾两方面的对立和统一，矛盾两方面既互相排斥，又相互依存，这和“一对互相否定的命题”之间是有质的差异的，而达科斯塔却把二者混同了。也正是在他这样的思想的指导下，他所建立的弗协调逻辑也必然要把逻辑矛盾和辩证矛盾混淆不清了。
基于上述，我们认为，由西方学者建构的所谓悖论逻辑以及相关的弗协调逻辑等，乃是在现代科学(现代科学都是辩证思维科学)迅猛发展，普通思维逻辑的局限性愈来愈充分暴露的情况下，人们对建构辩证逻辑形式化系统的一种初步尝试(可以说，它们只是辩证逻辑的朴素的、萌芽的系统)。但由于他们对马克思主义辩证法知之甚少，因此不可避免地会有这样、那样的糊涂观念。我们作为社会主义国家的学者，有比较熟悉唯物辩证法的优势，在创造辩证逻辑形式化系统时，对西方所谓的悖论逻辑、弗协调逻辑等，要采取批判地吸收的态度，一定要建构出比西方更加成熟的辩证逻辑形式化系统！
四、关于创立辩证逻辑形式化系统的一些初步意见
我一生致力于辩证逻辑的研究，但由于自身条件的限制，数十年来只是致力于建构辩证逻辑非形式化系统(亦即主要用自然语言论述的系统)，对于创立辩证逻辑的形式化系统(亦即辩证数理逻辑系统)，我只是提出如下一些初步意见：
1.辩证逻辑是关于辩证思维形式及其规律的科学，辩证逻辑形式化系统则是用人工语言对辩证思维演绎推理有效式进行刻画的逻辑系统。
2.辩证思维是对事物辩证法、事物辩证发展变化过程的反映，是对事物的矛盾、矛盾的发展和转化的反映。辩证思维对事物矛盾的反映，体现为辩证思维中的辩证矛盾结构。辩证逻辑形式化系统对辩证思维演绎推理有效式的刻画，主要是通过用人工语言对辩证思维的这种矛盾结构的刻画进行的。
3.事物辩证法的基本规律反映为辩证思维、辩证逻辑的基本规律。这些基本规律为对立统一思维律、质量互变思维律和否定之否定思维律。一个辩证逻辑形式化系统必须是能够体现这三个基本规律的逻辑系统。因此，在辩证逻辑形式化系统中，必须能够刻画事物的矛盾、矛盾的发展和转化，能够刻画事物由量变到质变的过程，能够刻画事物由肯定到否定，到否定之否定的发展变化过程。
可以把辩证思维三个基本规律作为辩证逻辑形式化系统的公理，也可以把其中的一个(如对立统一思维律)或两个作为公理，而把其余的两个或一个作为重要定理推出。
4.辩证逻辑形式化系统应该体现辩证法一切以时间、地点、条件为转移的基本精神。
5.不可把辩证逻辑和普通逻辑根本对立起来。普通逻辑是关于普通思维形式及其规律的逻辑(所谓经典逻辑就属于普通逻辑)，普通思维是关于事物量变阶段相对稳定性和质的规定性规律的反映，其基本规律是同一律、不矛盾律、排中律和充足理由律。由于普通思维、普通逻辑仅仅是事物辩证发展初级阶段量变阶段的规律的反映，因此它具有很大的局限性；而辩证思维、辩证逻辑是事物辩证发展全过程(包括量变阶段和质变阶段)的反映，因此，较之普通思维、普通逻辑它具有很大的优越性。但是，事物量变阶段是事物辩证发展全过程的一个局部，而在当今人类的辩证思维时代，普通思维也往往是辩证思维的局部，因此，普通思维、普通逻辑与辩证思维、辩证逻辑之间从根本上讲乃是一致的。普通思维、普通逻辑基本规律虽然不是辩证思维、辩证逻辑的基本规律，但却也是辩证思维、辩证逻辑必须遵守的。譬如，辩证思维同样不允许“偷换概念”、“自相矛盾”、“信口开河”等等。
6.在建构辩证逻辑形式化系统时，必须严格区分辩证矛盾和逻辑矛盾：辩证矛盾是辩证逻辑的主要研究对象，而逻辑矛盾则是思维(包括普通思维和辩证思维)谬误。因此，在辩证逻辑形式化系统中，虽然可以沿用经典逻辑(普通思维逻辑)固有的一些逻辑常项的符号，但也一定要有一套与经典逻辑不同的标示辩证矛盾、辩证矛盾的发展和转化的辩证逻辑特有的逻辑常项的符号(譬如，标示矛盾两方面的对立统一关系可以用“A”，千万不要用“P∧┐P”等等)。
7.客观事物的辩证发展是一个无限复杂的系统，相应地，辩证思维也是一个无限复杂的系统，因此，企图用某个辩证逻辑形式化系统完全穷尽辩证思维的逻辑规律是根本不可能的。应该说，任何一个相对完整的辩证逻辑形式化系统都只能揭示辩证思维逻辑规律的某个侧面。但是，随着整个现代科学的发展，相应地也随着辩证逻辑的发展，一个个相对完整的辩证逻辑形式化系统会不断涌现，这样辩证思维的逻辑规律也将会越来越比较全面地为人类所了解。作为一个辩证逻辑工作者，我对此是深信不疑的。
注释：
①这一悖论定义也是我国著名悖论问题专家张建军提出的定义。
②“悖论”是两个英语词paradox和antinomy的中译，paradox一词源于希腊文para和doxa两个词，是“令人难以置信”的意思。
③不仅由人们认为正确的前提推出两个矛盾命题的等值式被称为悖论，推出两个矛盾命题的合取命题也被称为悖论。
④关于这个问题，在拙作《再论悖论的几个问题》(《中州学刊》2001年第1期)中有较详细的论述；对于一些著名悖论如“说谎者悖论”、“罗素悖论”、“理发师悖论”、“格瑞林悖论”、“培利悖论”等前提中包含的谬误，我在拙作《论悖论的本质》(《中州学刊》1992年第3期)、《再论悖论的本质》(《河南大学学报》1995年第5期)中有具体论述。以上问题，读者也可参阅河南大学出版社2004年出版的《马佩文集》一书。
⑤“A”代表任一辩证思想(辩证概念、辩证命题等等)，“ΔA”、“”代表“A”的矛盾的两个方面，前者代表矛盾的主要方面，后者代表矛盾的次要方面，“”代表对立统一关系。在拙作《辩证逻辑》(河南大学出版社2006年出版)第九章中对对立统一思维律有详述，请读者参看。
⑥这一公式是辩证逻辑矛盾相互依存定理
代表事物矛盾的两方面，“”代表对立统一关系，
代表矛盾两方面的相互依存关系)的特例。辩证逻辑相互依存定理在拙著《辩证逻辑》第六章辩证推理中有具体论述，请读者参看。
⑦在拙作《再论悖论的几个问题》(载《中州学刊》2001年第1期，又载《马佩文集》，河南大学出版社2004年出版)中，已经提出了“探索谬误的悖论法”，本文则在该方法的基础上，进一步提出了“悖论创新法”。
⑧关于《悖论逻辑》的有关介绍，请参见赵总宽主编《逻辑学百年》，第352—354页，北京出版社，1999年版。
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