运用“几何画板”教学“二次函数”案例举隅，本文主要内容关键词为：画板论文,几何论文,函数论文,案例论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
二次函数是描述变量之间关系的重要数学模型，它既是其他学科研究问题时所采用的重要方法之一，也是某些单变量最优化问题的数学模型。由于二次函数图象的开口、形状、位置等取决于函数表达式中各参数的值，这些参数的值往往是可以连续变化的，特别是图象的移动、翻转等，采用传统的教学手段，仅靠几幅静态图形和教师讲解很难反映出影响图象变化的实质因素和影响方式，给学生的理解带来困难。运用“几何画板”教学“二次函数”，这些难点将迎刃而解。现将笔者教学中的案例一一展示，供同行参考。
一、探究图象与系数的关系
在学生掌握了二次函数的基本概念及图象的作法后，在网络教室进行“图象与系数关系”的教学。
首先，将做好的“几何画板”文件（如图1）分发给学生，图中A、B、C分别是垂直于x轴的直线上的点，a、b、c是A、B、C三点的纵坐标，以a、b、c为系数建立函数
，并给出相应的探究序列：
图1
(1)绘制此函数图象；
(2)分别拖动A、B、C三点，观察a、b、c值和图象的变化情况；
(3)慢慢拖动点A，观察思考：影响图象开口方向的因素是什么？影响开口大小的因素是什么？
(4)慢慢拖动点B，观察思考：图象沿怎样的路径运动？开口情况会变化吗？
(5)慢慢拖动点C，观察思考：图象沿怎样的路径运动吗？为什么会这样？
(6)缺项探究，完成表格：
(7)写出二次函数图象与系数关系的探究报告。
二、验证图象与x轴交点情况
在学生理解了判断图象与x轴交点情况实际上就是判断方程
有无实数解的前提下完成。
将事先做好的“几何画板”文件（如图2）分发给学生，要求学生通过拖动C点上下移动图象，注意观察代数式
的值，同时观察图象与x轴交点情况，验证结论。
图2
三、探究顶点表达式及顶点公式
为便于探究，二次函数表达式以顶点式y=
的形式给出。
将事先做好的“几何画板”文件（如图3）分发给学生，并给出探究序列：
图3
(1)文件中给出的函数是二次函数吗？
(2)绘出该函数图象；
(3)绘出点(h，k)和点(-h，k)，你有什么发现？
(5)由转化结果看出，怎样根据一般式求出图象的顶点坐标？
(6)在图4所示的文件中，直接绘出点
，它是图象的顶点坐标吗？
图4
(7)已知二次函数的二次项系数是2，顶点坐标(-3，-2)，你能写出此函数的一般式吗？试试看。
四、验证图象的对称性
让学生在图5所示的文件中做如下探究：
(1)过顶点M(-h，k)作x轴的垂线；
(2)在垂线左侧的图象上取点P，标记该垂线为镜面，作出点P的对称点，有什么发现？
(3)任意移动点P，观察它的对称点将怎样移动，由此得出什么结论？
图5
五、探究图象的移动规律
特例观察，猜想：
(2)要让函数
的图象左移3个单位，再下移3个单位，应该怎样做？请分别写出表达式，并绘制出图象，验证自己的猜想；
(3)你认为是什么因素决定了图象的左右移动，又是什么因素决定了图象的上下移动？
(4)观察回答
是二次函数表达式的哪种形式？
一般情况探究，找出运动规律：
(1)在图6所示的文件中绘制出函数y=的图象。
(2)上下拖动点K，观察k值的变化和图象移动情况，你发现了什么规律？
图6
(3)上下拖动点H，观察h值的变化和图象移动情况，你又发现了什么规律？
(4)绘制出顶点(-h，k)，追踪顶点，慢慢拖动点H和点K，观察顶点运动路径，有什么发现？
(5)请用最简洁的语言归纳出二次函数图象移动的规律。
运用规律，解决问题：
(1)将函数
的图象左移2个单位，再上移3个单位，得到的函数的表达式是______。
(2)已知函数
的图象是将某函数图象右移1个单位，下移2个单位得到，则某函数的表达式是______。
(3)将函数
的图象______（填移动方式）可以得到函数
的图象。
六、图象性质的应用
问题：如图7所示，△ABC中，AD⊥BC，AD=2cm，BC=4cm，E是AB上一点，EF⊥BC，EFGH是△ABC的内接矩形，当点E在AB上移动时，矩形EFGH的面积将发生变化，试问在什么情况下，其面积最大，最大面积是多少？
图7
用“几何画板”探究如下：
(1)度量出E在AB上不同位置时线段EF的长和相应矩形EFGH的面积。
(2)以EF长为x值，矩形面积为了值列表（EF长变化间隔为0.1cm）。
(3)绘制表中记录，得到如图8所示散点图。
(4)仔细观察散点图，可以发现矩形EFGH的面积和EF长之间存在二次函数关系，且EF长只能在0到2之间变化，最大面积就是该二次函数图象顶点的纵坐标值。
图8
(5)如果分别以BF、EH长为x值，矩形面积为y值列表，并绘制表中记录，也能得到类似的散点图，说明矩形EFGH的面积与BF、EH长之间也存在二次函数关系，但到底取哪条线段的长为自变量呢？
以下由学生讨论完成（教师提醒学生注意自变量取值范围的确定），并绘制出函数图象，
七、拓展探究
关于图象移动，当然应该用顶点式加以解决。但在探究图象与系数关系时发现分别改变表达式中a、b、c的值时，图象也会发生移动。那么单独改变b值时，图象到底沿怎样的路径移动呢？有什么规律？
如图9所示，不妨直接在图象上绘出顶点，并追踪此顶点，然后慢慢拖动B点，改变b值大小，观察顶点移动的路径。
图9
结果发现，顶点移动的路径是一条以y轴为对称轴的抛物线，这是为什么呢？能不能求出此抛物线的表达式？此抛物线和原来的函数图像有什么关系？让学生课外自主探究完成。