摘要：在积分方程法使用过程中，需要对异常体进行剖分，具有计算速度快、占用内存少等特点，属于一种容易实现的三维电磁正演模拟算法。本文根据以往工作经验，对积分方程正演的基本原理进行总结，并从并矢格林函数、散射场求解两方面，论述了地球物理学中的电磁场积分方程正演实际应用，希望对相关工作可以起到一定的帮助作用。
关键词：地球物理学；电磁场积分；方程正演
引言：电磁场积分方程正演可利用积分方程对地下半空间中的电磁场进行模拟，将积分法推广到三维空间层面之中，从而实现三维体正演。随着科学技术的不断发展，地球物理学知识也逐渐实现了丰富，越来越多的人投入到电磁场积分方程正演研究过程中。我国在该领域的研究起步较晚，但取得的成绩和研究效果十分显著，为我国今后的物理学发展奠定了坚实基础。
1.积分方程正演的基本原理
1.1散射方程
在积分方程正演流程中，主要将异常体的散射作为等效电流的产生源，利用并矢格林函数对散射场进行描述，而场点处的总场利用背景和散射之和进行表示，具体表达式如下：
在该式中，E(r）代表场点数的总场， 代表背景场，而 代表并矢格林函数，r代表场点坐标 r’代表源点坐标。在散射电场的作用下，再加上异常体和围岩电导率之间的差距，可利用电磁感应现象对相关特点进行解释。而积分方程法的使用，可将异常体和背景体看作是点电流叠加而成的场源，从而将异常体和电磁场联系到一起，构成地球物流学中的电磁场三维正演。
1.2异常体部分
在实际问题解决过程中，需要将异常体分成有很多个小的单元，而每个小的单元均可以被视为一个点电流源。应用此种方式可以对矿体内的电场进行计算，并将计算过程推广到矿体之外的任意点总场上，由于单元内的总场数量人们并不清楚，需要对每个小单元总场进行求解。当异常体需要剖分的单元较多时，线性方程的规模也会逐渐增加，此时需要利用散射场近似法或线性方程迭代进行求解，以保证整体计算结果的准确性。
2.地球物理学中的电磁场积分方程正演实际应用
2.1并矢格林函数
在积分方程正演过程中，需要对均匀半空间并矢格林函数进行应用，而该函数的推导正是应用到了积分方程正演。半空间中的并矢格林函数求解过程如下：将地下的场电源当做点电流源考虑，在直角坐标系中，单位点电流源可分解成三个不同的分量，人们可对三个不同分量中产生的电磁场进行求解，最终得到并矢格林函数。根据函数的对称性，x和y轴的电流源只有竖直和平行的两个分量，而z轴方向只存在垂直方向的电流分量。随着人们的不断研究，最终将各个分量中的微积分解析式形式表示了出来，构成新的并矢格林函数，该层状之下的大地模型与实际情况更为接近，还可以利用反射系数对并矢格林函数进行递推，以检验其真实效果。
另外，在并矢格林函数数值计算过程中，可通过相关理论求解出半空间和层状介质中的贝塞尔函数，该过程也被称为Sommerfeld积分计算过程，在一些简单的模型之中，可直接利用解析式进行求解，但在一些复杂情况之下，需要将数值法应用其中，常用的数值法包括滤波法和直接数值积分策略。例如，在2005年张辉等人利用高斯积分法和连分式法对半空间和层状大地模型中的并矢格林函数进行计算，实现了计算效率的有效提升。到了2009年，著名研究学者陈桂波等人利用高阶函数将Sommerfeld积分计算进行了转化，利用并组式成功实现了并矢格林函数的有效计算。
2.2散射场求解
积分方程的散场正演需要在线性方程组的配合之下才能实现，但如果异常体的规划单元数量较多时，直接求解显得十分困难。为此，相关研究人员进行了大量研究，在原有基础上提出了迭代方式，将异常体中的单元数量分割成几个小块，随后利用迭代方式对整个电磁场进行计算。
2.2.1近似解法
在近似解法使用时，主要是Born近似额使用。Born近似是其他近似方式实现的基础，研究人员在研究中可作出这样的假设，将异常体散射场数值看做是零，以小单元中的背景场去代替总场，此时便可以省略大型线性方程组的求解过程，便可以得到单元处散射场的总场数值。为了进一步提升Born近似的计算精度和试用范围，研究人员还提出了一种局部非线性的近似方式，被称作扩展Born近似，该种方式以Born为基础，利用两个总场之间的差值来建立近似关系，计算公式如下：
该式中， ，也就是异常体电导率与背景电导率之前的差值。总的来说，空间子域与场源位置和频率等存在之间关系。空间子域在形成过程中华存在两个重要条件，一个是子域之中的电场的空间不能发生变化，另一个水域外的并使格林函数的振幅衰减可以被忽略。由于广义扩展Born近似的出现，当空间子域仅存在小单元时，子域之外的并使格林函数衰减便会增加，当达到足够快之时，广义扩展Born的计算精度也会得到下降，当整个异常体融入到子域之中时，整体的计算结果将会与拓展Born近似相差无几，但由于异常空间没有变化，精度也无法得到保证。
3.总结：
综上所述，当利用积分方程法对三维正演下的异常体进行剖析时，可利用规模较小的遗产体来完成正演环节，对于实际工作中的三维地质特征勘探可以起到良好的促进作用。而利用积分方程法将并矢格林函数中的场点与源点连接在一起，可以提升地球物理学在实际应用中的意义，同时也给未来的研究工作提供了一个重要方向。
参考文献：
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[2]叶志红,周海京,李瀚宇.腔体内传输线耦合的电磁仿真软件与传输线方程的混合算法[J].强激光与粒子束,2015,27(10):74-77.
论文作者:王俊英,李小伟,邱松
论文发表刊物:《防护工程》2017年第32期
论文发表时间:2018/3/24
标签：格林论文; 方程论文; 积分论文; 函数论文; 电磁场论文; 近似论文; 异常论文; 《防护工程》2017年第32期论文;