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中图分类号：B81 文献标识码：A 文章编号：1674-3202(2010-04-0030-14
一、历史
连续统问题由来已久。当康托证明了实数的基数严格大于自然数的基数后，一个自然的问题就是：是否存在实数的一个子集，它的基数严格处于实数的基数和自然数的基数之间？康托坚信对这一问题的回答是否定的，即：不存在实数的一个子集，它的基数严格处于实数的基数和自然数的基数之间。
在1900年的世界数学家大会上，希尔伯特将连续统问题列在他著名的23个数学问题的第一位，所以连续统问题也称为“希尔伯特第一问题”。
康托花费了很多年试图去证明这一假设。事实上，他已经证明至少对于闭集连续统假设是成立的：每个不可数的闭集都具有连续统的基数。这也是他在连续统问题上取得的最好结果。不过，康托始终坚信会找到关于这个问题的证明，所以当另一位集合论学家寇尼希(Julius K
nig)在1904年声称证明了连续统假设的否定命题时，康托感觉自己的理论受到了挑战。好在这一证明很快就被发现是错误的。
第一个在连续统问题上取得进展的是哥德尔。受到罗素类型论思想的启发，哥德尔为集合论的公理系统ZFC构造了一个模型L，L的元素称为可构成集。可构成集模型是一个分层的结构，其中每一层都是由前面层谱的可定义子集得到的。哥德尔证明除了集合论已有的公理都在L中成立外，“可构成公理(V=L)”，即所有集合都是可构成的，在L中也成立，而这一公理蕴涵连续统假设，因此CH也在L中成立。用数理逻辑的术语说，哥德尔的结果表明：如果ZFC是一致的，则ZFC+CH也是一致的。因此，我们不能期望从ZFC证明CH是假的。
哥德尔构造集合论模型的方法是从全类V出发，L是对V的限制。L包含了所有的序数（因此它是一个真类），它在“高度”上与V是一致的，只是它比V显得更“细”。现在一般把包含所有序数的传递类称为“内模型”。L是所有内模型中最小的一个。
1963年，科恩利用他发明的力迫法证明：如果ZFC是一致的，则ZFC+
CH也是一致的，我们也不能期望从ZFC证明CH是真的。与哥德尔的内模型方法不同，科恩的方法是一种“外模型”，即模型扩张的方法。他从ZFC的一个可数传递模型M出发。根据洛文海姆—司寇仑定理，如果ZFC一致，这样的模型一定存在。利用M中某个恰当的偏序集(P，
)和它上面的“脱殊滤”G，科恩能够构造一个新的可数传递模型M[G]，M[G]是M的扩张。通过调整偏序集的性质，我们可以“迫使”一些命题，例如
，在M[G]中真。
力迫是一种强有力的方法。利用它可以构造集合论的脱殊模型，在其中，连续统的基数可以是
。①事实上，除了象寇尼希定理这样的限制外，连续统的基数几乎可以是任何无穷基数。②1970年，伊斯顿(William Bigelow Easton)证明了这一方向上的最强结果：对任意正则基数κ，③除了寇尼希引理，幂函数
没有任何限制。也就是说，我们几乎可以在任何一个正则基数处破坏广义连续统假设。
然而，对于奇异基数④，情况则复杂的多。在寇尼希定理以外，数学家们陆续发现了一些新的限制。1974年，席尔瓦(Jack Howard Silver)证明：如果κ是奇异基数，并且cf（κ）是不可数的，同时对任意
。这就意味着，对于奇异基数κ，如果κ的共尾数不可数，则不能在κ处首先破坏连续统假设。对于具有可数共尾数的基数κ，谢拉赫(Saharon Shelah)1978年利用他发明的可能共尾理论pcf(possible cofinality theory)证明了更深刻的结果：如果对所有
。当κ是奇异基数时，如何完全刻画连续统函数
的行为，依然是众多集合论学家努力的方向之一，这也就是所谓的“奇异基数问题”。
二、哥德尔纲领
哥德尔和科恩的结果引起了关于连续统问题地位的争论。科恩选择了形式主义的立场，而且“这是一个有重大影响的选择。其中最重要的影响就是承认CH本身是无意义的，而CH也许是我们对不可数集合所能提出的第一个重要问题。”([1]，p.13)说到底，相对于已被接受的公理系统ZFC，CH是一个不可判定命题，科恩哲学立场导致的结果就是：我们应该满意于CH的现状，连续统问题已经解决了。⑤
作为著名的柏拉图主义者，哥德尔则持有相反的观点：连续统问题是一个有关集合宇宙的有意义的问题，它必然有一个真值。而目前的状况不过说明我们对集合世界所知甚少而已：
……基于此处采取的立场，从已接受的集合论公理出发，一个有关康托猜想的不可判定性的证明（与一个对π的超越性的证明完全不同）决不是问题的解决。……集合论概念和定理描述了一个完全确定的实在，在其中康托猜想一定是或真或假。因此，源于今天已接受公理的对它的不可判定性，只能意味着这些公理没有完备地描述那个实在。这一信念绝非空想，因为有可能指出一些方向，在其中能得到对一些问题的判定，而这些问题对于通常的公理是不可判定的。([4]，p.260)
哥德尔首先提到了大基数公理，但接着指出，当时发现的那些大基数，包括不可达基数和马洛基数对于解决CH似乎没有帮助。如果令φM表示公理：“存在可测基数。”列维(A.Lévy)和索洛维(R.M.Solovay)在1967年证明：如果
是一致的，则
都是一致的。这个结果可以推广到目前已知的任意大基数上，因此不能指望现有的大基数公理能确定CH的真值。除了大基数外，哥德尔还设想了其他一些可能的原则，以期望解决连续统问题。但是，对于后来的集合论研究影响最大还是以上引文提示的一个一般原则：
哥德尔纲领 通过恰当地加强ZFC的公理去解决独立于ZFC的、有意义的数学问题。
显然，对于哥德尔来说，CH是一个有意义的数学问题。而正如武丁(W.Hugh Woodin)指出的，一方面，有很多可靠、至少是富有趣味的证据表明CH是具有确定真值的；另一方面却没有任何自然的证据支持CH是无意义的。武丁提到了哥德尔的可构成公理：V＝L，它蕴涵CH为真。另一个可能的例子是“马丁极大化”MM(Martin's Maximum)，它是以下断言：如果P是一个偏序集并且保持稳定集(stationary set)⑥，
是P中的稠密子集族，则存在滤G
P使得对任意D∈D，G∩D≠
，或者说G对D是脱殊的。这一原则由福尔曼、麦吉德和谢拉赫(Foreman-Magidor-Shelah)提出，是对马丁公理(Martin Axiom)的推广，他们证明MM是（与ZFC）一致的，并且MM蕴涵
。值得一提的是，从某种角度看，马丁极大化也包含在哥德尔为解决CH而做的诸多设想之中。在《什么是康托的连续统假设？》的1964年版的脚注23中，哥德尔指出：
另一方面，从一个与此公理（可构成性公理）差不多相对立的公理出发，也许能导出康托猜想的否定。我考虑的是这样一个公理（类似于几何学中的希尔伯特完备性公理），它陈述的是所有集合的系统的某种极大性质，而公理A（即可构成公理）陈述的是一个极小性质。注意到只有一个极大性质才与脚注14阐释的集合概念相协调。⑦ ([4]，pp.262-263)
类似的例子还有很多，一个非常有趣的现象是：除了MM，还有众多来自不同领域不同方向上的结果都将连续统的值指向
。例如，如果B是一个由无穷线序组成的集合，而且对任意无穷线序（L，＜），都有L的子结构（L′，＜）同构于B中的某个元素，则称B是无穷线序的基。显然，全体无穷线序有一个基数为2的基。而摩尔(Justin Moore)证明（事实上证实了谢拉赫的一个猜想）以下命题是一致的：全体不可数线序有一个基数为5的基。基于此，
摩尔猜想 如果所有不可数线序有一个基数小于
。
再考虑全体稳定集。假设X是一稳定集的族，称X是全体稳定集的基当且仅当对任意稳定集S，存在T∈X，使得对任意无界闭集C，C∩T
C∩S。如果假定大基数公理是一致的，则全体稳定集有基数为
的基也是一致的，而谢拉赫证明：如果全体稳定集有基数为的基，则
，基于此，
武丁猜想 如果全体稳定集有一个基数为的基，则
。
这些结果表明，我们有很强的“证据”证明CH为假。当然，你也可以举出很多“证据”表明CH是真的。形式主义者的思路是将这两类证据结合，以此表明CH的真值取决于你看待问题的角度，因此它本身的真假是不确定的。而柏拉图主义者则不这么想，他们努力在这些纷繁的证据中寻找一些线索，以说明其中一些证据具有特殊地位，比其他证据都更合理，更体现数学实践本身。而其最终目的是通过这些线索，达到对集合宇宙的更深理解，从而决定CH的真值。哥德尔已经注意到，几乎不可能要求新公理具有ZFC的标准公理那样的性质，即“内在的必然性”，为此，基于其柏拉图主义的立场，他提出了成为新公理的“经验”标准：
也许存在这样的公理，它们的可验证的后承是如此丰富，它们对整个领域的阐释是如此清晰，它们提供的解决问题的方法是如此强大（甚至能最大限度地以构造性的方式解决它们），以至于不管它们是否具有内在必然性，都应象接受任何已经建立起来的物理理论一样接受它们。([4]，p.261)
这是一条创造性的、影响深远的原则。我们尝试着将它概括如下：
哥德尔原则 存在着一些数学公理，它们的公理地位源自对数学实践的归纳和经验概括。
需要澄清的是这并不意味着要动摇数学真理的必然性。相反，如果你是一个柏拉图主义者，则会倾向于相信，通过这一原则而得到的公理与其他数学公理应该具有相同的地位。有人会对数学中是否存在这样的由“经验”原则而来的公理表示怀疑，但考虑一下选择公理，这不正是这类公理中的一个完美例证吗？这条原则还说明，哥德尔式的柏拉图主义具有了新的特性，大大减少了神秘主义的色彩。一条数学命题取得公理的地位并不是一件神秘的事情，而常常是某一时期数学实践的结果。无论如何，这一原则与哥德尔纲领一起，几乎指导了所有寻求新公理的工作，特别是本文将要介绍的那些结果。
三、理解CH
如何理解CH，以及CH所代表的独立性现象？从哲学上讲，这实际上是有关数学真理的问题：一个集合论语句φ如何才是真的？形式主义者认为一个集合论语句为真当且仅当它是形式系统ZFC的定理，在一阶逻辑框架内，这意味着“真”就是在ZFC的所有模型中都真。而那些独立性的命题则在一些模型中为真，在另一些模型中为假，因而并无确定的真值。这种观点蕴涵着我们要平等地看待ZFC的所有模型，平等地看待所有独立性命题，正是这一点，使得形式主义不能很好地解释数学实践中的很多现象。虽然都是ZFC的模型，但有些模型总是比其他一些更为特殊，更容易让人接受；虽然都是独立性命题，但总有一些比其他独立性命题更符合人类的直观。到目前为止这些还都是模糊的说法，但我们的确能通过一些方式使它们精确起来。
在一阶算术领域，我们有一个标准的公理系统PA。但显然的是，算术真理并不等于是PA可证的，而是在标准模型N中为真。著名的哥德尔不完全性定理就是说，PA是不完全的：存在一个（在标准模型中）真的算术命题，例如哥德尔句，不是PA的定理。但是，PA不仅仅是在这种“注定”的意义上是不完全的，它还是在更糟糕的意义上是不完全的：存在着有趣的算术命题，如古德斯坦定理，是独立于PA的。这里，我们用“有趣的”表示在数学实践中有着实际趣味的命题。按照这个标准，类似于表达“我是不可证的”这类哥德尔语句就不是有趣的。根据哥德尔不完全性定理，针对任何一个包含PA的公理系统，都可构造相应的哥德尔句，因此这些系统都是“注定”不完全的。但这对数学实践并无什么影响。数学家只关心那些有趣的数学命题是否能从相应的系统中推出。因此一个自然的问题就是我们能否找到一个（比PA）更强的公理系统，它当然在“注定”的意义上仍然是不完全的，但却能证明（或否证）有关一阶算术结构的所有“有趣”的数学命题呢？这是一个经验判断，而且我们永远不能证明这一点，因为谁也不知道明天数学家们会构造出什么样的算术命题。但我们可以弱化这个条件：找到一个理论，它能决定今天我们已知的有关算术结构的所有有趣命题。如果存在这样的理论，我们就称它对于一阶算术结构是经验完全的。⑨
对于一阶算术结构，这样的理论确实存在，这就是ZFC。古德斯坦定理是ZFC的定理，而且，直到现在，尚未出现独立于ZFC的“有趣的”算术命题，因此我们有以下事实：
那形式主义者立刻会指出，这就意味着“在标准算术结构中为真”并不是一个有确定意义的命题。因此，柏拉图主义者把算术真理等同于“在标准算术结构中为真”也就难以成立，而这进一步意味着断言存在一个特殊的、标准的算术模型也是十分可疑的。不过幸运的是，在ZFC的框架内，这是不可能发生的：
重要的是，不论科恩的扩张方法还是哥德尔的限制方法都不能影响算术命题在算术结构中的真，因此对存在一个真正的数论模型的直观尚未受到挑战。([6]，p.568)我们把这样的性质称为脱殊绝对性或脱殊不变性。
AD：实数的所有子集都是可决定的。
决定性公理蕴涵关于实数子集的所有“好的”性质。例如，如果A是可决定的，则且A是勒贝格可测的。由于选择公理蕴涵“存在实数的不可测子集”，因此选择公理与AD矛盾。不过我们可以考虑AD的一些“片段”，即，“可定义决定性”。
投射决定性公理PD 所有投射集都是可决定的。
PD蕴涵实数的投射子集的所有“好”的性质，因此根据前面的讨论，ZFC+PD是二阶算术的一个经验完全的理论。
由于对任意自然数k，ZFC+PD可以证明ZFC+“存在k个武丁基数”是一致的。所以PD接近事实二的条件，因此我们可以大致断言：
对于H（
），ZFC+PD是“好”的理论。
但是，PD本身是否可信呢？我们有什么理由相信PD是真的？1986年马丁(Donald A.Martin)和斯第尔(John Steel)证明：
定理 如果存在无穷多武丁基数，则PD成立。
大基数公理是关于超穷数的，而PD是关于实数的，以上定理将这两个完全不同的领域相联系，这本身是对PD可靠性的一种有力支持。而且，大基数公理享有先天的“内在必然性”，而这一定理表明，PD继承了来自大基数公理的“内在必然性”。这虽然不是PD成为公理的“数学证明”，但是运用“哥德尔原则”，这是将PD作为公理的有力辩护。
所有这些结果提示我们，可以通过寻找关于H（
）的“好的”理论，来达到对连续统问题的理解，甚至解决。而以下就是按照这一方向所做的努力。
四、Ω猜想和CH
既然独立于ZFC的命题在一些模型里成立，在另一些模型里不成立，我们可以挑选一些自然的有意义的模型作为我们的检测模型(test structures)，研究在检测模型里成立的命题。这在本质上是定义一种强逻辑，在所有检测模型里成立的命题就是强逻辑下有效的命题。Ω逻辑就是一种强逻辑，用它可以更好地刻画脱殊绝对性。
重新回到有关数学真理的讨论。如果要断言CH“本身是无意义的”，那就必须同意命题“所有投射集是可测的”也是无意义的；或者就必须说清它们之间的根本不同：
……（形式主义）这种立场要站得住脚，那就或者集合论中类似的不可解问题也必须被看作是无意义的，或者必须解释为什么连续统假设的问题是与那些问题不同的。我指的是那些描述集合论的经典问题，它们在连续统假设提出不久也被提了出来。([7]，p.29)
投射集是清晰定义的实数子集，勒贝格可测性是具体的数学性质，断言“所有投射集是可测的”这类命题是无意义的，这一点很难令人信服。在这种考虑下，针对以上的挑战，形式主义者最有可能采取以下所谓脱殊多宇宙(generic multiverse)的立场来回应。
这样，假设适当的大基数公理，PD和Con(ZFC)是脱殊多宇宙的真理；但即使假设已知最强的大基数公理，CH依然在脱殊多宇宙意义下非真非假，因此是无意义的。然而，第四节的讨论表明，在合适的大基数假设下，如果Ω猜想成立，则CH也是脱殊多宇宙的真理。形式主义者依然没有摆脱前面的挑战。
限于篇幅和本文的主题，我们不能更详细地讨论Ω猜想与脱殊多宇宙真理观的关系，以及就此展开的形式主义与柏拉图主义的更多争论。(11)我们最后想表达的是对柏拉图主义的偏爱和支持，这种偏爱和支持当然是基于本文所讨论的那些有关连续统问题的历史和当代进展，但还有一些更一般的原因在里面。虽然集合论一百多年的发展为传统数学，或“主流”数学提供了众多强有力的工具，取得了引人瞩目的成就，但这不是集合论存在的主要目的，更不是唯一目的。作为一门科学，集合论探讨无穷这一至今依然略显神秘的概念，为此它必须不断加深对集合宇宙的理解和洞察，以便回答象连续统假设这样被自然提出的问题，即使这些问题“似乎”与传统数学无关。正是基于这样的认识，我们认为哥德尔和武丁的柏拉图主义立场更能体现集合论的自身价值和独立意义。正是在这一哲学立场的推动下，集合论学家们数十年来从未中断对新公理的追求，而这本身就是不断加深对集合宇宙的理解和洞察的过程。不过，读者应该注意到，这种对集合论自身目标的追求并不妨碍集合论在“主流”数学，甚至包括物理学等在内的更多领域内发挥更大的作用。恰恰相反，追求新公理的过程中发现的新工具、新概念已经成为集合论在自身以外发挥更大作用的力量源泉。
致谢：我要感谢新加坡国立大学数学系，特别是庄志达教授邀请我在2010年的AII暑期学校期间访问该系，使我有机会向很多集合论学家请教与本文有关的问题。最为重要的是，正是这次访问才使我与另外两位作者的合作成为可能。我还要感谢美国加州大学尔湾分校的Pen Maddy教授和哈佛大学Peter Koellner教授，他们先后帮助我逐步了解了本文所讨论的武丁有关连续统问题的重要工作。
收稿日期：2010-09-30
注释：
③一个基数κ是正则的当且仅当κ的共尾数等于κ。
④κ一个基数κ是奇异的当且仅当κ的共尾数小于κ。
⑤科恩的哲学立场曾经发生过变化。在初版于1966年的论文《集合论与连续统假设》中，科恩虽然已经充分意识到实在论的困难，但认为连续统假设“显然是假的”。这意味着独立性证明并非连续统问题的解决。科恩承认是罗宾逊(A.Robinson)使他最终接受了形式主义的观点。参见[1]，p.13以及[2]，p.151。
⑥X是无界闭集，如果X在中是无界的并且X的所有极限点都属于X。S是稳定集，如果S与任何无界闭集相交不空。Stationary set还有很多不同的译法，如“驻集”，“驻留集”等，最新出版的《数学大辞典》则译为“荟萃集”。
⑦哥德尔这篇文章的脚注14是这样写的：“‘x的集合’这一运算（其中变元‘x’取值于某类给定的对象）不会有一个令人满意的定义（至少在目前的知识水平上不会），而只能用其他表达式来解释，而这些表达式又牵涉集合的概念，如‘x的杂多’，‘任意数目x的聚合’，‘全体x的一个部分’，其中，‘杂多’（‘聚合’，‘部分’）被看作是独立存在的，不管我们是否能用有穷的词去定义它（因此无任何规定性的集合并没有被排除）。”([4]，p.259)
⑧其中N是自然数的集合，R是实数的集合。这里所说的“对应”意思是相应的结构之间可以互相解释(bi-interpretable)。
⑨这里我们用到了经验归纳法，而这是哥德尔认为可以在数学中使用的。
⑩ω[ω]被称为“集合论学家的实数”。
(11)对此有兴趣的读者可参阅文献[8]。
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