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中图分类号：B51/56 文献标志码：A 文章编号：2095－0047(2014)02－0069－21 一、开篇 我们关于算术真理的知识具有什么样的认识论地位？莱布尼茨认为它们是分析的，是纯粹理性的产物；经验主义者(尤其是密尔)认为它们是后天的，是高级的经验真理；康德则认为，虽然我们关于5＋7＝12的知识从根本上取决于经验，但它们是先天的。谁是正确的？这正是弗雷格在他的哲学生涯中主要关注的问题。他的目的是证实莱布尼茨的看法，说明算术真理是从逻辑真理推出的。我们现在称这种观点为逻辑主义。 弗雷格从不同方面讨论了这个问题，可以简单地分为肯定的方面和否定的方面。否定的方面是对密尔和康德等人的批评。这些批评出现在许多地方，但集中于《算术基础》①的前三章。肯定的方面是证明从逻辑真理可以推出算术真理，以此来说明算术真理是如何建立在纯粹理性的基础上的。因此弗雷格的方案有一个纯粹数学的方面，我将主要关注这个方面。 弗雷格并不是第一个试图说明如何从基本假设推出数学真理的人。然而，相比于前人，他的方法更为严格和全面。莱布尼茨也曾尝试证明“2＋2＝4”这样的算术真理。但是，和欧几里得一样，莱布尼茨的证明依赖不明晰的假设。例如，莱布尼茨随意地使用加法结合律，即(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，也就是说，他任意地重新安排括号。但是，任何为算术规律提供认识论基础的做法，都必须严格规定证明算术规律所依赖的假设。也就是说，证明必须以严格的方式给出：一旦它们所依赖的假设被规定以后，任何多余的假设都不能悄悄溜进来。弗雷格的方案是在“形式系统”内给出证明：根据语法标准明确规定所有的推理步骤，以至于只需经过简单的计算，就可以确定证明过程所依赖的假设。 当时的逻辑系统来自布尔(从根本上应该来自亚里士多德)，但是这些逻辑系统并不适合弗雷格的目的，原因有二：首先，这些系统不适合给出证明；其次，这些系统也不适合表达证明中所包含的语句。具体来说，布尔系统不能表达全称语句，例如“所有马的头都是动物的头”，或者更为相关地，“所有的数都有一个后继”。虽然在某种意义上这些语句也可以表达在布尔逻辑中，但这种表达并不能让我们清楚地看出：为什么从“所有的马都是动物”可以推出“所有马的头都是动物的头”。因此，即使如此简单的事实也无法在布尔逻辑中证明。 正是由于这一原因，弗雷格被迫发明了新的逻辑系统，也就是在《概念文字》②中所给出的系统。正如弗雷格所一再强调的，这一系统适合表达前面所提到的语句；其推理规则虽然很少，但可以完成在布尔系统中不能形式化的证明。一旦发明出一个适合表达数学证明的系统，关于算术认识论地位的问题就得到了转化。不过，这一问题还不能直接转化为“证明算术规律的前提假设是什么”，因为即使能够识别出这些假设，我们也要追问“这些假设的认识论地位是什么”。但是，哲学问题毕竟以纯粹数学的面貌呈现出来，因此数学的方法将对其产生影响。 由此可见，弗雷格的方法是利用数学来解决哲学问题。我认为，无论怎么强调这种方法的重要性都不过分。这种方法通过罗素、维特根斯坦、卡尔纳普等人的著作流传至今，遍及当代分析哲学。但其影响并不局限于哲学。“从特定前提可以推出或推不出什么”也是数理逻辑所关心的问题。只有在弗雷格这样的逻辑系统中，数理逻辑的问题才能以数学化的方式表述出来。 正是在这种意义上，弗雷格的方法比任何先前的方法都更为严格。在另一种意义上，这种方法又更为全面。当莱布尼茨尝试证明算术规律的时候，他仅仅关注2＋2＝4这样的断言；而弗雷格却关注更为根本的算术真理。然而，即使能够表明所有的算术真理都可以从逻辑规律推出，也无法将这些算术规律逐个地证明，因为有无穷多个算术规律。可行的办法是，找出基本的算术真理，从它们可以推出所有其他的算术真理，然后证明从逻辑规律可以推出这些基本的算术真理。也就是说，正如欧几里得已将几何公理化，算术也需要公理化，然后只需给出这些公理的证明。弗雷格并非是第一个给出这些公理的人，一般将其归功于皮亚诺，不过，历史的考证表明戴德金实际上是第一个表述这些公理的人。③弗雷格确实以不同于戴德金的方式给出了算术公理的一种表述。而且与戴德金一样，他还证明：这些公理在同构的意义上可以充分刻画自然数的抽象结构(同构是检验公理化是否充分的标准)。④ 当然，我们还不能在严格的意义上从逻辑系统推出算术公理：逻辑系统的语言没有任何用于指称数的表达式，所以我们还不能写出这些算术公理。必须用逻辑符号定义基本算术符号，然后根据这些定义把算术公理翻译到逻辑系统中。用现在的术语说，这是在逻辑系统中“解释”算术。在一个理论(称其为基础理论)中解释另一个理论(称其为目标理论)，即是表明：可以用基础理论的初始词汇定义目标理论的初始词汇，使得目标理论的公理都可以转化为基础理论的定理。弗雷格的目的是在某种逻辑理论中“解释”算术。⑤这种解释至少能够表明：如果基础理论是一致的，则目标理论也是一致的。换言之，假如在目标理论中可以推出一个矛盾，这个推理过程可以复制到基础理论中，由此在基础理论中也可以推出一个矛盾。所以如果可以证明基础理论没有矛盾，则目标理论也没有矛盾。 与弗雷格同时代的几何学家非常熟悉这种解释的方法。弗雷格本人也是一名训练有素的几何学家。解释的方法通常用来证明不接受平行公理的非欧几何的一致性。如果在某种公认一致的理论中可以解释非欧几何，则可以证明这些非欧几何的一致性。 需要强调的是，即使我们承认弗雷格的“逻辑系统”是逻辑的，承认其所有定理都是分析真理，在其中解释算术的做法也不一定有助于我们发现算术的认识论地位。原因如下。弗雷格认为算术和解析(关于实数的理论)都是分析的。但是，假如给出有序对的定义，在解析中可以通过笛卡尔坐标的方式解释欧几里得几何。这样看来，欧几里得几何岂不也是分析的？而弗雷格认为欧几里得几何是先天综合的，在这方面他同意康德的说法。但是弗雷格的上述观点并非前后矛盾。“解释”仅仅表明：在解析中可以证明看起来像欧几里得公理的东西。而问题在于，这些看起来像平行公理的东西真的就是平行公理？也就是说，对于几何基本概念的定义真的表达了这些概念的通常意义？例如，“实数的三元有序组”是对于点的合适定义吗？如果不是，则这种解释并没有表明在解析中可以证明几何真理。也就是说，如果不是按照字面意思而是按照实际意义来理解欧几里得几何，即使可以在解析中解释它们，也无法证明它们的真理性。 与上述问题相应的是弗雷格关于算术基本概念的定义。康德主义者可以质问：弗雷格的定义真的表达了算术概念的通常意义吗？如果没有，则弗雷格并没有表明在逻辑中可以证明算术真理，而只是表明：在逻辑中可以证明与算术真理在语法上不可分辨的语句。因此，弗雷格方案的一个重要部分是：表明算术基本概念确实是逻辑概念，也就是说，通过逻辑术语对算术基本概念的定义确实是恰当的定义。 将以上讨论总结如下。弗雷格的哲学计划是要表明算术规律是分析的，我们可以在纯粹理性的基础上认识这些规律。通过建立逻辑系统，弗雷格把这项计划以数学的面貌呈现出来。首要的目标是用逻辑概念定义算术基本概念，然后在逻辑系统中证明算术公理。正是通过这种方式，弗雷格可以识别出算术基本规律，即算术推理所基于其上的基本假设。但从另一个同样重要的方面来看，关于这些基本假设的认识论问题仍然没有得到回答，因为以下两类问题仍然没有解决。首先，弗雷格对于算术基本概念的定义是否真的表达了它们的意义？我们是否能够成功地证明算术公理并且识别出算术基本规律？其次，我们还是要追问：这些基本规律的认识论地位是什么？只有在这些基本规律是逻辑真理和分析真理的前提下，我们才能表明算术公理是分析真理。我们将会看到，这两类问题在有关逻辑主义的文献中都很突出。 二、弗雷格的逻辑系统 如我们现在所知，弗雷格在《概念文字》中发明的逻辑系统实质上是非直谓的二阶逻辑：除了量化对象外，它还允许量化概念(谓词的指称)和关系。然而，《概念文字》的系统并不满足弗雷格所要求的严格性。具体来说，这个系统有一个没有明确表述的推理规则，即代入规则。或许有人认为弗雷格的这种遗漏是无关紧要的：如果能证明一个公式，则也能证明把其他表达式代入这个公式的变元后所得到的结果，定理经过代入后仍然是定理。或许如此，但在二阶逻辑中断言代入规则的有效性，这是一个非常强的论断。 代入规则在弗雷格系统中所扮演的角色正是我们现在的概括公理所扮演的角色：概括公理刻画了二阶变元(概念和关系)的取值范围，也就是说，作为一种公理模式，概括公理的每一个例示都断言一个特定的概念或关系的存在。在非直谓的二阶逻辑中，我们可以对任何公式进行概括：每个形如A(x)的公式都可以定义一个概念，这个概念由满足A(x)的对象构成；每个形如B(x，y)的公式都可以定义一个二元关系；其余由此类推。如果取消概括公理，二阶逻辑就会非常弱。即使对概括公理进行直谓的限制，即定义概念和关系的公式不包含二阶量词，二阶逻辑也会非常弱。 许多哲学家担心：非直谓的概括公理会把某种循环引入到对概念和关系的刻画中。罗素就认为通过对概念的量化来刻画概念的做法是循环的。弗雷格从未讨论过这个问题，但我认为他的回答可能是：论域中的概念并不是由概括公理决定的，所有的概念都应该包括在论域中，也就是说，概念的存在不是由概念的定义方式决定的；而概括公理仅仅是断言每个公式都可以定义一个概念。⑥ 弗雷格没有在《概念文字》中给出代入规则的清晰表述，这是一个疏忽。但在后来的《算术基本规律》中，他对这个疏忽进行了弥补。实际上，《算术基本规律》所给出的系统与任何哥德尔之前的形式系统都一样严格。 然而，仅有二阶逻辑还不能证明算术公理。因为即使存在两个对象的断言也不是二阶逻辑的定理，而算术不仅断言两个对象的存在，而且断言无穷多个自然数的存在。这个断言是从逻辑推出算术的主要障碍。我们关于无穷多个数的知识到底来源于哪里？无论人们如何确定算术的认识论地位，它们都要面临这个最大难题。 三、三个教益和一个问题 在《算术基础》前三章，弗雷格认为，康德和经验主义者的算术哲学是行不通的。为了说明自己的观点，他给出了三个教益，但也留下了一个问题。第一个教益是：如莱布尼茨所说，自然数可以用“0”和“加1”来刻画。下面将会看到，弗雷格是如何定义“0”和“加1”的。第二个教益是：“数的陈述包含着概念的断定”(Gl§55)。这句话的意思是：数不能在严格的意义上归属于对象。假如我指着一堆扑克牌，问道：“有多少？”点完这些牌的数目，你会告诉我：“共有104张牌。”但你也可能告诉我：“共有2副牌。”这取决于你如何理解我的问题。这个问题本身有些含糊，可以更具体地问：“有多少什么？”——“有多少张牌？”或者“有多少副牌？”然而，这堆扑克牌是离散的对象，它作为一个聚合是由其部分而构成的，既可以把一张牌看作是这个聚合的部分，也可以把一副牌看作是这个聚合的部分。似乎不能直接把104这个数归属于这堆牌，因为2这个数也可以归属于这堆牌。由此可见：数的归属是主观的，它取决于我们如何看待眼前的这堆扑克牌。然而弗雷格认为：数是归属于概念的，这个概念可以是关于牌的张数，也可以是关于牌的副数。 因此，很自然的想法是：数是一种高阶属性，是概念的属性。⑦例如，0是空概念的属性，空概念是没有任何对象落在其中的概念。如果有一个对象落在某个概念中，则1是这个概念的属性。因此，1是“与乔治·克林顿相同的对象”这个概念的属性，因为只有乔治·克林顿落在这个概念中。如果有一个对象x落在某个概念中，而且还有n个不同于x的对象落在这个概念中，则n＋1是这个概念的属性。因此，1＋1是“与乔治·克林顿相同或者与詹姆斯·布朗相同的对象”这个概念的属性，因为除乔治外，詹姆斯也落在这个概念中。 弗雷格在Gl§55—61讨论了上述想法。但并不清楚为什么他后来又拒绝了这个想法。一个似乎合理的解释是：这个想法不能使我们证明算术公理。假定世界上只有两个对象：一个叫乔治，另一个叫詹姆斯。由此可以得到三个概念：一个概念具有0的属性，一个概念具有1的属性，还有一个概念具有2的属性。但无法得到一个具有1＋1＋1属性的概念，因为仅有两个对象存在，我们找不到有三个对象落在其中的概念。基于同样的原因，也无法得到一个具有1＋1＋1＋1属性的概念。如何解释这种结果？我们可以说：“根本不存在1＋1＋1这个数”，或者“1＋1＋1和1＋1＋1＋1是相同的”。但这两种说法都得出了同样的结论：只存在有限多个数，而且无法证明算术规律。例如，根据上面的解释，要么2＋2根本不存在，要么2＋2和2＋1相同。 当然，并非仅仅存在两个对象。然而，即使假定存在有限多个对象，也会出现类似的问题。如果直接假设存在无穷多个对象，就可以消解这个问题。罗素和怀特海在《数学原理》中就假设了无穷公理。但弗雷格对这种解决方法完全不感兴趣。如前面所说，关于算术认识论地位的最大难题是：如何说明我们关于无穷多个数的知识。“存在无穷多个对象”这一假设无助于认识论问题的解决。从这个假设证明算术规律的做法只是简单地回避了认识论问题，因为我们还要追问：这个假设的认识论地位是什么。另外，如果我们承认其存在的对象只是像乔治·克林顿这样的物理对象，则逻辑根本不可能断言：存在无穷多个物理对象。人们甚至会怀疑这样的断言是不是真的。 第三个教益是：虽然数的陈述包含着概念的断定，但数本身并不是概念的属性，它们是对象。从语法上说，数词并不是谓词的谓词，而是专名。人们一定会好奇地问：第二个和第三个教益不矛盾吗？对此的回答是：我们仅仅认为命名数的基本表达式是专名，这类表达式形如“属于概念F的数”。数的陈述(“桌子上有104张牌”)可以重新表述为同一陈述(“属于‘桌子上的牌’这个概念的数与104相同”)。这个同一陈述包含着概念的断定，但104并不是作为概念的属性而出现的。 然而，弗雷格留给我们一个没有解决的问题。因为数既不是通过知觉，也不是通过直观而给予我们的，所以他认为算术既不是先天综合的，也不是后天的。数究竟是如何给予我们的？我们是通过什么方式来认识算术对象的？弗雷格在回答这个问题的同时也微妙地改变了这个问题： 只有在一个语句的语境中，一个语词才有意义。因此，(为了说明数词的意义)只需解释数词出现于其中的那个语句的意义……对于当前的情形，我们需要给出如下语句的意义：属于概念F的数和属于概念G的数相同。也就是说，我们需要以其他方式重新表述这个语句，避免使用“属于概念F的数”这样的表达。(Gl
62)正是此处，弗雷格做出了“语言转向”。这并不是说弗雷格之前的哲学家不关心语言。洛克就曾被语言所困扰，他一再强调：许多哲学问题都是由于对语言的误解而造成的(洛克可能是第一个逻辑实证主义者)。弗雷格的原创性在于，他所提出的认识论问题被转化为语言哲学问题，并以此来解决而非回避这个问题。 对于认识论问题，弗雷格此处的暗示是：我们通过指称数的能力(我们能够理解指称数的表达式)来解释对数的认识。当然，如果用专名指称对象的能力依赖于我们知觉到或直观到这个对象，则弗雷格的暗示并没有带来多大好处。然而弗雷格提出“语境原则”的目的正是为了摆脱对我们所具有的知觉和直观的依赖，语境原则是：通过理解整个语句的意义来理解语句所包含的表达式的意义。这样就需要用逻辑概念给出“属于概念F的数和属于概念G的数相同”的定义。如果这是可能的，我们就能够以逻辑的方式理解指称数的表达式，也就是说，能够以逻辑的方式指称数，因此能够以逻辑的方式认识数。 在引用休谟的一段话后，弗雷格给出了数的相同的标准。假如我想证实盘子的数和杯子的数是相同的，一种方法是：分别对它们进行计数，也就是说，把两个数分别归属于“桌子上的盘子”和“桌子上的杯子”这两个概念，然后比较这两个数是否相同。另一种方法是：把盘子和杯子进行配对，然后看一看“是否每个盘子上都有一个杯子”，或者“是否有杯子没有放到盘子上”，也就是说，能否建立杯子和盘子之间的一一对应关系。如果存在这样的对应关系，则杯子的数和盘子的数就是相同的；否则，就是不相同的。 如弗雷格所乐于指出的，计数过程本身依赖于一一对应关系的建立。⑧点盘子的数目即是在盘子和以1为开端的自然数序列之间建立一一对应关系，然后把这个序列的最后一个数归属于“桌子上的盘子”这个概念。可以断言：如果把相同的数分别归属于“桌子上的盘子”和“桌子上的杯子”这两个概念，则杯子的数和盘子的数相同。原因在于：如果在盘子和从1到n的自然数序列之间存在一一对应关系，并且在杯子和从1到m的自然数序列之间也存在一一对应关系，则在盘子和杯子之间存在一一对应关系当且仅当n和m相同。 一一对应的观念就可以通过逻辑词汇定义。一个关系R是概念F和概念G之间的一一对应关系，需要满足以下两个条件： ①关系R是一对一的；某个对象只与一个对象有R关系，也只有一个对象与某个对象有R关系。 ②所有落在F中的对象都与某个落在G中的对象有R关系，所有落在G中的对象都与某个落在F中的对象有R关系。可以用符号表示为：
由此可见，如果存在满足上述条件的R，则概念F和概念G之间存在一一对应关系，称这种一一对应关系为“等数”。于是，数的相同的定义是： 概念F的数和概念G的数相同，当且仅当，F和G等数这就是所谓的休谟原则。之所以称其为休谟原则，并不是因为休谟最先给出这个原则，而是由于弗雷格在给出这个原则时引用了休谟的一段话。 四、凯撒问题和弗雷格的解决方案 弗雷格算术哲学所留下的主要问题是：上面对“概念F的数”的解释是否合理。另一个相关的问题是：这个解释是不是纯粹逻辑的解释。前者比后者更为一般化。弗雷格的想法是：我们对抽象对象的名称的理解可以说明我们指称抽象对象的能力。他认为，我们对“方向”(作为名称)的理解可以说明我们指称“方向”(作为抽象对象)的能力。对“方向”(作为名称)的理解可以通过如下原则说明： 直线a的方向和直线b的方向相同，当且仅当，a和b平行这个原则与休谟原则相似。但弗雷格认为，这个原则不能保证我们能够纯粹逻辑地理解“方向”(作为抽象对象)，因为直线只有通过直观才能给予我们。但这并不要紧，因为直线的方向不是通过直观而给予我们的。直线的方向究竟是如何给予我们的？弗雷格一般性地回答了我们如何指称抽象对象的问题(Gl§64—65)。这个解释的优点和缺点为近年来许多哲学家所关注。⑨ 奇怪的是，弗雷格最终认为休谟原则不能合理地解释数。原因在于：这个原则“不能确定‘凯撒’是否与‘罗马皇帝的数’相同”⑩。休谟原则只是告诉我们“F的数和G的数相同”的意义；当q不是形如“F的数”时，休谟原则无法告诉我们“q是G的数”的意义(Gl§66)。这是非常隐蔽的问题。我的结论是：这不仅仅是一个问题，而是许多问题。首先，确信无疑的是：无论数是什么，凯撒都不可能是数，更不可能是“罗马皇帝的数”。但是，如果这种确信不是包含在对数的理解中，我们很难找出其他来源。(凯撒不是数，这并非是经验事实！)如果这种确信包含在对数的理解中，休谟原则对数的解释就是不充分的，因为它没有把“凯撒不是数”这个基本意义表达出来。 其次，当我说“凯撒不是数”时，我使用了数的概念。如果我们能够理解数的概念，就会很容易地理解“某个对象a是不是数”。a要么是数，要么不是。如果a不是数，a就不是“某个概念F的数”；如果a是数，a就一定是“某个概念G的数”，休谟原则就可以进一步告诉我们a是不是“F的数”。这样的话，弗雷格不仅需要解释我们指称个别数的能力，也需要解释数的概念本身。考虑到休谟原则，一种解释“数的概念”的方法是：如果存在一个概念，使得某个对象是这个概念的数，则这个对象是数。因此，a是数当且仅当存在一个概念F使得a是F的数。然而，休谟原则无法说明“a是F的数”的意义，所以我们无法说明“凯撒不是数”的意义，除非还有其他定义“数的概念”的方法。 有了前面这些准备，我们就可以进一步讨论：把休谟原则当做对数的解释和定义会导致什么样的问题。如前所说，弗雷格的目的是：通过我们指称数的能力来解释我们认识数的能力，并且完全用逻辑词汇来给出数的定义。重新考虑休谟原则： 概念F的数和概念G的数相同，当且仅当，F和G等数其左边的部分(“概念F的数和概念G的数相同”)看起来似乎是同一陈述，但我们有理由将其看作真正的同一陈述吗？为什么把“F的数”看作是一个专名？为什么这个语句具有同一陈述的语义结构而非表面上的语法结构？为什么不把休谟原则的左边看作是其右边(“F和G等数”)的非常令人误解的写法？如果这个语句具有同一陈述的语义结构，则可以合理地用其他名称(例如凯撒)替换“F的数”，由此得到“凯撒是G的数”。或者用一个变元x替换“F的数”，由此得到一个开语句“x是G的数”，通过对变元赋值(例如令x是凯撒)可以判断这个语句的真假。这说明休谟原则本身不能解释上述语句的意义。这也就让人怀疑休谟原则能否解释包含数的同一陈述。 这个问题在弗雷格哲学中具有极其重要的意义。如前所述，他的主要目标是说明我们关于存在无穷多个数的知识的来源；而且他坚持认为数是对象，因为只有把数看作对象才能说明这些知识来源于逻辑。弗雷格的策略是：把0定义为属于“与自身不相同的对象”这个概念的数；把1定义为属于“与0相同的对象”这个概念的数；把2定义为属于“与0相同或者与1相同的对象”这个概念的数。只有把数当作对象，才能给出上述定义。在二阶逻辑中可以把“属于概念F的数”表示为：x的数使得x是F。由此，0、1和2的定义就是： 0是x的数使得x≠x 1是x的数使得x＝0 2是x的数使得x＝0或x＝1把0的定义代入到1的定义，可以得到： 1是x的数使得x＝“y的数使得y≠y”因此1的定义包含了一个形如“x＝‘y的数使得y≠y’”的开语句，这正是休谟原则无法解释的语句。 无论能否解决，这都是一个重要问题。弗雷格认为这个问题是无法解决的，而且他放弃了用休谟原则解释数的尝试，转而给出了数的显定义： 属于概念F的数是：“与概念F等数”这个概念的外延可以把这里的外延看作集合，因此F的数就是与F等数的所有概念构成的集合。0是所有空概念的集合；1是所有“单一例示的”概念的集合；2是所有“双重例示的”概念的集合。 为了在逻辑系统内定义0、1、2，弗雷格需要给出关于外延的公理，而且为了证实逻辑主义，这些公理应该是逻辑真理。外延概念恰好可以用现成在手的外延原则来说明：如果所有落在概念F中的对象都落在概念G中，而且所有落在G中的对象都落在F中，也就是说，F即是G，则F和G具有相同的外延。而且每个概念都有一个外延。因此，所需要的公理就是： 概念F的外延和概念G的外延相同，当且仅当，F即是G如果把这个公理看作是对外延的定义或解释，则它也面临着与休谟原则类似的问题。弗雷格在《算术基础》中并没有严肃对待它，而只是把它看作公理。他说：“假设我们都知道什么是概念的外延。”(Gl§68) 不幸的是，这个公理(即《算术基本规律》的公理V)带来了更为严重的问题。正如罗素所表明的，在非直谓的二阶逻辑中这个公理导致矛盾。考虑“是一个概念的外延但不落在这个概念中”这个概念，那么这个概念的外延是否落在它自身中？如果它落在，则它不落在；如果它不落在，则它落在，矛盾。 五、弗雷格定理 如果没有弗雷格定理的发现，故事可能在此就结束了。弗雷格证明：从公理V和数的显定义可以推出算术公理。但这个证明没有任何意义，因为矛盾的系统可以推出一切：既可以推出算术公理，也可以推出算术公理的否定。然而，如果仔细观察弗雷格的证明过程，还是能够从中发现一些有趣的地方。虽然弗雷格不把休谟原则看作是数的定义，但他没有完全放弃休谟原则，休谟原则在他的哲学中仍然占有重要地位(参见Gl§107)。弗雷格没有明确说明为什么休谟原则如此重要，但在我看来原因似乎是：弗雷格只是认为休谟原则不能充分地解释数，但它并不是错误的。数的概念与一一对应的观念有密切联系，一个关于数的合理定义必须与休谟原则保持一致，而且从这个定义可以推出休谟原则。所以，在给出数的显定义后，弗雷格要做的第一件事就是从其推出休谟原则。 在《弗雷格的数论》(11)中，查尔斯·帕森斯最先发现：一旦弗雷格证明了休谟原则，这个显定义也就退出了人们的视线，并且在后面的证明中也无需提及外延。也就是说，可以把弗雷格的证明过程分为两个阶段：首先从公理V和数的显定义推出休谟原则；然后在二阶逻辑中从休谟原则推出算术公理。这一发现并未引起广泛关注，因为只有休谟原则与二阶逻辑是一致的，这个发现才会具有重要意义。但帕森斯没有考虑二者的一致性问题。 克里斯宾·莱特重新发现了休谟原则，并且详细证明：如何在二阶逻辑中从休谟原则推出算术公理。(12)他还表明罗素悖论无法在这个新的系统中重现，由此他猜想这个新的系统是一致的。后来这个猜想被证实了。(13)我们称由休谟原则和二阶逻辑构成的理论为弗雷格算术。已经证明：如果二阶算术是一致的，则弗雷格算术也是一致的，也就是说，如果弗雷格算术是不一致的，则二阶算术也是不一致的。如果连二阶算术都不是一致的，这给数学基础带来的危机将远远大于罗素悖论。因此，可以断定：弗雷格算术是一致的。而且弗雷格算术可以解释二阶算术：给出适当的定义。我们可以在二阶逻辑中从休谟原则推出算术公理。总之，休谟原则可以逻辑地推出所有算术真理。我们把这个惊人的和漂亮的定理称为弗雷格定理。弗雷格在《算术基本规律》中给出了算术公理的形式化证明，后来的研究表明这个证明在实质上就是弗雷格定理。(14)
还需要定义“加1”。弗雷格实际上是定义了数之间的一种关系，称其为前驱关系(或后继关系)。直观上，如果概念F的数是m，概念G的数是n，并且落在G中的对象比落在F中的对象多一个，则n比m多一个数，即n＝m＋1。也就是说，如果存在概念F和对象y使得F的数是n，y落在F中，而且“落在F中但不同于y”这个概念的数是m，则m是n的前驱。可以形式化地表示为：
有了以上这些，我们就可以证明三个算术公理：0没有前驱；任何数都只有一个前驱；任何数都只有一个后继。 下面证明第一个公理。假设0有一个前驱，即存在一个m使得Pm0。根据前驱关系的定义，存在概念F和对象y使得：
也就是说，存在一个概念，这个概念的数是0，并且某个对象落在这个概念中。但这是不可能的。因为0是“与自身不相同”这个概念的数，任何对象都不会与自身不相同，所以任何对象都不会落在“与自身不相同”这个概念中。因此，0没有前驱。另外两个公理的证明稍微复杂一些，但并不困难。 除了以上三个公理，还有两个公理需要证明，它们涉及自然数(或有限数)的概念。其中的一个公理是数学归纳法。归纳法一般用于证明所有的自然数都具有某种性质：(1)证明0具有这种性质，(2)证明如果n具有这种性质，则n＋1也具有这种性质。假设(1)和(2)都成立，由(1)可知，0具有这种性质。由(2)可知，0＋1即1也具有这种性质；1＋1即2也具有这种性质。由此类推，所有的自然数都具有这种性质，因为任何自然数都可以通过从0不断加1而得到。 弗雷格对自然数的定义实际上就是对“通过从0不断加1而得到”的定义。我们对自然数具有以下认识：(i)0落在其中；(ii)如果一个对象落在其中，则这个对象的后继也落在其中。其实，许多概念都满足这两个条件。例如，“与自身相同”这个概念就满足，因为所有对象都落在这个概念中。然而，也并非所有概念都满足这两个条件。“与0相同”这个概念就不满足，因为1是0的后继，但1不落在这个概念中。可见，有些概念满足(i)和(ii)，有些不满足。如果一个概念满足这两个条件，则称其为归纳的。归纳概念告诉我们：所有自然数都落在归纳概念中，由(i)可知，0落在其中，由(ii)可知，1落在其中，其余以此类推。也就是说，如果存在一个归纳概念使得a不落在这个概念中，则a肯定不是自然数。相反，如果a不是自然数，则必定存在一个归纳概念使得a不落在这个概念中。总之，归纳概念本身就是自然数的概念。因此，a不是自然数当且仅当a不落在某个归纳概念中。或者否定这句话的两边： a是一个自然数，当且仅当，a落在任何归纳概念中这就是自然数的定义。这个定义保证了归纳证明的有效性：如果某种性质满足条件(i)和(ii)，则这种性质就是归纳的，因此任何自然数都具有这种性质。 有人认为以上表述带有某种循环，但表述方式所带来的循环并不存在于弗雷格的定义中。我们可以在不涉及自然数概念的情况下给出归纳概念的定义，形式地表达为：
但这里确实存在着某种循环。如果弗雷格的目的是用逻辑符号定义算术符号，它就需要为自然数定义的合理性做辩护，而这种辩护涉及与前面提到的概括公理有关的循环。认为这种辩护存在循环的看法最早来自彭加勒，近年来又被帕森斯所继承。(15) 最后一个算术公理是最重要的：任何自然数都有一个后继。从上述四个公理都推不出无穷多个自然数的存在，实际上，即使假定只存在一个数(即0)，这四个公理也能得到满足。但这四个公理与最后一个公理可以推出无穷多个数的存在：0有一个后继，称其为1，0和1是不同的(如果0和1相同，则0就会是它自身的前驱，但这是不可能的)；1也有一个后继，称其为2，2既不同于0(否则1就成为0的前驱)也不同于1(否则0和1都是1的前驱)；2也有一个后继，称其为3，3与0、1、2都不相同；其余由此类推。 如何证明任何自然数都有一个后继？弗雷格的证明过程非常复杂，其基本思路是：把0的后继看作#x:x＝0，即1；把1的后继看作#x:(x＝0∨x＝1)，即2；其余由此类推。一般地，n的后继就是“是0或者是1……或者是n”这个概念的数。 六、结语：弗雷格定理的哲学意义 弗雷格定理表明：在二阶逻辑中从休谟原则可以推出算术公理。如何理解这个定理的哲学意义？它证实了逻辑主义吗？如果逻辑主义宣称算术真理是逻辑真理，则弗雷格定理并未证实逻辑主义，因为休谟原则本身并非逻辑真理。从当代哲学的角度看，逻辑真理在任何解释下都是真的，而休谟原则在个体域有穷的解释下是假的，所以它不是逻辑真理。 虽然休谟原则不是逻辑真理，但仍有人认为它享有一种类似于逻辑真理的认识论地位。莱特就把休谟原则看作是对数的解释，或者通俗地说，我们能够通过思考数词的意义而认识到休谟原则的真。如果休谟原则在这种意义上是分析的，算术公理在引申的意义上就是从分析真理推出的，这似乎能够满足弗雷格的认识论要求。这即使不是逻辑主义，也是其名义上的合法继承者。 最近十年以来，这种观点已经引起许多争论。它所面临的问题可以分为两类：凯撒问题和“良莠不齐”反驳。我们已经讨论了前一个问题，它表明：不能把休谟原则看作是对数的解释或定义。 称后一个问题为“良莠不齐”的原因是：虽然休谟原则不导致矛盾，但它具有导致矛盾的表现形式。休谟原则和导致矛盾的公理V都具有如下相同的表现形式： F的……与G的……相同当且仅当F……GF……G表示概念F和概念G之间关系，用专业术语来说，这是一种等价关系。问题就出在这种表现形式本身。如果一个原则本身是“良”的，但与这个原则具有相同表现形式的另一个原则是“莠”，人们就会认为这种表现形式本身存在问题，而且这个问题会影响到“良”的原则。 “良莠不齐”反驳是这样提出的。只有保证休谟原则是一致的，才能断言它是真的：除非我们已经理解它是一致的，否则很难理解它是真的。虽然我们知道休谟原则是一致的，但一致性的证明只有在一个非常强的数学理论中才能形式化，这种数学理论(根据哥德尔定理)在实质上要强于弗雷格算术本身。这似乎表明：我们只有接受了更多的东西，才能理解休谟原则的一致性，从而理解它的真。 很难评价这个反驳的意义。首先，那些主张算术是分析的人已经要求我们接受更多的东西。因此这个反驳至多表明：莱特应该再多说一些，也就是说，他应该不仅断言休谟原则是真的，而且断言它是一致的。其次，上一段的论证也会引起怀疑论的反驳。请比较：如果我知道桌子上有电脑，则我也知道有一个外部世界。但知道桌子上有电脑依赖于事先知道外部世界的存在吗？如果依赖，我们将陷入困境，因为我可以悬置一切关于外部世界的信念(像笛卡尔那样)，这样我就有办法拥有任何感觉。在认识论意义上，虽然从A可以推出B，但知道A并不依赖于知道B：我们可能是因为知道A才知道B，而非相反。类似地，如果我们知道休谟原则是真的，则我们也知道休谟原则是一致的，但是，知道它的真无需依赖于知道它的一致。 然而，无论上面的辩护是否有力，还是无法消除以下顾虑：并非任何具有上述表现形式的一致原则都是分析的。有许多这样的原则，它们虽然自身一致，但两两不一致。例如，可以写出一个仅在有穷的个体域中才能满足的原则，它本身是一致的，但它与休谟原则不一致，因为只有无穷的个体域才能满足休谟原则。或者写出两个具有上述表现形式的原则，其中一个蕴含命题A，另一个蕴含命题A的否定(16)，这两个原则也不是相互一致的。所以一致的原则不一定都真，当然也就不一定分析的真。因此需要在“良”的原则和“莠”的原则之间做出区分，但能否做出这种区分还是未知数。即使能够做出这种区分，也还是存在一个问题：所有“良”的原则都是分析的吗？(17) 然而，值得一提的是，我们不应过分强调这个问题的重要性。即使休谟原则不是分析的，它也有可能在关于算术知识的起源和基础的故事中扮演一个角色。即使休谟原则不是分析的，不能拯救弗雷格的逻辑主义，但它在直观上具有强烈的吸引力，而且在更深层的意义上，如下断言可能是真的：休谟原则与我们对数的理解密不可分，这种理解就是“两个概念的数相同当且仅当两个概念等数”。 注释： ①Gottlob Frege,The Foundations of Arithmetic,translated by J.L.Austin,Evanston IL:Northwestern University Press,1980.此后缩写为Gl并标明章节。 ②Gottlob Frege,"Begriffsschrift:A Formula Language Modeled Upon That of Arithmetic,For Pure Thought",in From Frege to Godel:A Sourcebook in Mathematical Logic,edited and translated by J.van Heijenoort,Cambridge MA:Harvard University Press,1967,pp.5-82. ③参见Richard Dedekind,"The Nature and Meaning of Numbers",in Essays on the Theory of Numbers,translated by W.W.Beman,New York:Dover Publications,1963,pp.44-l115。 ④关于弗雷格的公理和他对它们的证明，参见我的"Definition by Induction in Frege's Grundgesetze der Arithmetik",in Frege's Philosophy of Mathematics,edited by W.Demopoulos,Cambridge MA:Harvard University Press,1995,pp.295-333。 ⑤解释的定义非常复杂，我们在此不对其深究。 ⑥参见Gottlob Frege,Grundgesetze der Arithmetik(Vol.I),Hildesheim:Georg Olms Verlagsbuchhandlung,1966,Section 66。 ⑦关于这一想法的详细讨论，参见我的"The Julius Caesar Objection",in Language,Thought,and Logic:Essays in Honour of Michael Dummett,edited by R.Heck,Oxford:Oxford University Press,1997。 ⑧参见Gottlob Frege,Grundgesetze der Arithmetik(Vol.I),Section 108。 ⑨参见Crispin Wright,Frege's Conception of Numbers as Objects,Aberdeen:Aberdeen University Press,1983; Bob Hale,Abstract Objects,Oxford:Blackwell,1988。 ⑩虽然弗雷格是在此处讨论方向的定义，但显然这种讨论也适用于数的定义和休谟原则。 (11)参见我的"Definition by Induction in Frege's Grundgesetze der Arithmetik",pp.182-210。 (12)参见Crispin Wright,Frege's Conception of Numbers as Objects。 (13)布勒斯(George Boolos)、伯吉斯(John Burgess)、哈岑(Allen Hazen)、霍兹(Harold Hodes)分别对此做出了评论。参见George Boolos and Richard G.Heck,Jr.,"Die Grundlagen der Arithmetik §§82-83",in Philosophy of Mathematics Today,edited by M.Schirn,Oxford:Oxford University Press,1997，附录2所给出的证明。 (14)参见我的"The Development of Arithmetic in Frege's Grundgesetze der Arithmetik",Journal of Symbolic Logic Vol,58,No.2,1993,pp.579-601; reprinted,with a postscript,in "Definition by Induction in Frege's Grundgesetze der Arithmetik",pp.257-294。 (15)例如，在《弗雷格的数论》中。 (16)参见我的"On the Consistency of Second-order Contextual Definitions",Noǔs,Vol.26,No.4,1992,pp.491-494。 (17)参见Crispin Wright,"The Philosophical Significance of Frege's Theorem" and George Boolos,"Is Hume's Principle Analytic?",in Language,Thought,and Logic:Essays in Honour of Michael Dummett,edited by Heck,Oxford:Oxford University Press,1997。
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