关于“消元——二元一次方程组的解法”（第一课时）——两种教学设计的对比分析与研究，本文主要内容关键词为：方程组论文,解法论文,两种论文,课时论文,教学设计论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“同课异构”是数学课堂教学策略与教学设计研究的主要形式之一，是在同一课题下，根据对教材的把握，对学生理解的不同而产生不同的构想，从而有不同的教学实施策略和思路。不同的构想和设计，只要能以学生的“最近发展区”为基础，准确把握概念核心，促进学生思维的发展，就是成功的教学设计。同课异构的比较，能更好地帮助教师理解教材、理解学生、理解数学。下面以人教版课标教材“8.2消元——二元一次方程组的解法”（第一课时）的两种不同的教学设计为例，进行对比分析与研究。
一、内容解析
本节教学内容属于“数与代数”领域，是继学习了一元一次方程和二元一次方程之后，首次接触方程组，是对方程组解法的入门学习。
二元一次方程组是方程组中最基本的类型，又是方程与不等式学习的基础。通过本节内容的学习，可以了解一般的一次方程组的求解过程和思路，认识基于消元思想求解方程组的意义——转化为学生熟悉的问题，学会分析问题，提高对多元问题的认识，为后继高次与不等式的解法奠定思想基础。同时，二元一次方程组又是联系方程与函数的纽带，二元一次方程实际刻画的是两个变量之间的函数关系，而通过待定系数法确定函数解析式、函数图象的交点等问题又需借助方程组来进行计算，所以，二元一次方程组为后续的函数学习奠定了基础。
消元、化归思想是解方程组中蕴含的主要数学思想，是解方程组时“化多为少，由繁至简，各个击破，逐一解决”的基本策略，是产生具体解法的基础，而代入法和加减法则是落实消元思想的具体方法。本节教学的核心是“消元”，从讨论解方程组的需要出发，引导学生理解解决问题的基本策略：逐步减少未知数的个数，使方程组化归为一元一次方程，先解出一个未知数，然后逐步解出其他未知数。在这种思想的指导下，将学生对同一个问题的不同解法进行对照，发现用代入的方法能够实现消元，不仅对消元思想的理解由抽象到具体，而且摸索出了解二元一次方程组的一种基本方法——代入消元法。
二、案例呈现
教学设计A
目标定位
1.经历由实际问题抽象为方程组的过程，让学生体会其中蕴含的符号化、模型化的思想，进一步了解建模思想；
2.通过对不同解题思路及方法的对照、比较，发现“二元”到“一元”的转化，理解消元思想的内涵；
3.经历“二元”到“一元”的转化过程，理解代入消元的本质；通过对代入法解二元一次方程组过程的提炼、归纳、整理，掌握这一方法的基本解题过程并会灵活应用；
4.让学生通过阅读一次方程组的古今表示及解法，了解一些有关数学史的知识，感受我国古代数学的光辉成就。
教学重点
解决问题的一般思路——转化，即化繁为简，化难为易，化新为旧；对消元、化归思想的初步理解；用代入法解二元一次方程组。
教学过程
1.背景引入
师：老师在我们学校代3个班的数学，所教学生共143人，其中男生人数的2倍比女生人数的3倍少14。
(1)找出题目中隐含的相等关系；
(2)试用你自己的办法求出老师所带班级中男生和女生的人数。
学生思考，尝试解决问题的办法，教师巡视学生解决问题的情况，并发现不同的解法。
2.研究解法
师：题目中包含哪些相等关系？
：两种相等关系，分别是：学生总人数为143；男生人数的2倍比女生人数的3倍少14。
师：下面展示同学们的解决方法。
：解法1：（设两个未知数）设女生人数为x，男生人数为y。于是得方程组
。
：解法2：（设一个未知数）设女生人数为x，则男生人数为143-x。
由题意，列出方程3x-2(143-x)=14。
师：上述解法分别体现了几种相等关系？
：解法1直接体现了两种相等关系，但解法2好像只能体现一种相等关系。
：不对，解法2其实已经包含了两种关系，只不过是通过一个式子体现出来的。
师：那是否说明了这两种不同的解法其实反映的是同样的相等关系呢？
：是的。
师：接下来，我们进一步观察所得到的方程组和方程，它们有哪些联系？
（学生开始思考。）
：方程组可以合并为方程，同时方程也可以拆成两个方程，从而组成方程组。
师：试具体说明一下，你是如何将方程组“合并”成方程的？
：我们可以将方程组中的第二个方程先变成y=143-x，之后把所得到的新方程代入到第一个方程中，这样就可以把方程组变成方程3x-2(143-x)=14。
师：从上面的分析可以看出，以上方程组和方程所反映的相等关系是一致的，也就是说它们的本质是相同的，于是我们可以通过变形代入的方法，使方程组转化为以前学过的一元一次方程。
师：这样，如何解二元一次方程组呢？说说你的想法。
（学生恍然大悟，纷纷举手回答。）
3.规范解法
师生共同完成二元一次方程组的解法书写过程，深入体会转化与消元的思想。
师：上述解二元一次方程组的思路是：把二元一次方程组中的一个方程变形成用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
4.小试牛刀
(1)你能把下列方程写成用含x的式子表示y的形式吗？
①2x-y=3；
②3x+y-1=0。
(2)解方程组
教学设计B
目标定位
1.理解解二元一次方程组的基本思路——“消元”，经历从未知向已知转化的过程，培养观察分析能力，体会转化思想，初步体会解方程组过程中体现的程序化思想；
2.能用代入消元法、加减消元法解简单的二元一次方程组，会根据方程组特征选择适当的方法，体会简化思想，培养运算能力；
3.在探究过程中，培养合作交流意识与探究精神，增强学习兴趣，感受数学美。
教学重点
理解解二元一次方程组的基本思路——“消元”，会用代入、加减消元法解简单的二元一次方程组。
教学过程
师：在上节课，我们通过对一道与篮球比赛得分有关的实际问题的研究，学习了二元一次方程组以及二元一次方程组的解。当我们列出二元一次方程组后，大家所关心的就是如何解这个方程组，求出它的解。在此之前，我们学习了如何解一元一次方程，解一元一次方程的主要依据是等式的性质。今天我们来共同研究，看能否利用已经学过的等式的性质和一元一次方程的相关知识来解二元一次方程组。
1.问题呈现
师：（出示方程组）我们在上一节课，通过对实际问题的分析，列出了二元一次方程组
你会解这个方程组吗，
（教师不加任何解释和引导，让学生自主探究方程组的解法。此过程用时约5分钟。）
教师巡视课堂，发现两种不同的解法，之后由两名学生对两种解法分别进行板演。
2.解法研究
：（解法1）②－①，得x=18。
把x=18代入①，得y=4。
所以原方程组的解为
师：第一步的依据是什么？这一步包括哪些操作？
：依据是等式的基本性质，其中包括变形、加减、求解。
师：第二步中，把x=18代入②可以吗？试一试。
：可以。
师：这一解题过程包括五个步骤：变形、加减、求解、回代、结论。
：（解法2）（变形）由①，得x=22-y。③
（代入）把③代入②，得2(22-y)+y=40。
（求解）解这个方程，得y=4。
（回代）把y=4代入②，得x=18。
（结论）所以原方程组的解是
（教师点拨每一步的操作说明。）
师：为什么可以把③代入②？依据是什么？代入①可不可以？
（一些学生陷入思考中，一些学生进行验证。）
：因为方程①和②中的x或y所代表的意义是相同的，因此可以用x=22-y代换②中的x，方程③不能代入①，否则会出现恒等式。
师：求解得到的结果y=4代入①可以吗？代入③呢？
：将y=4代入①、②或③，都可以求出另一个未知数。
3.总结思路
师：对比上述两种解法，发现有哪些相同点和不同点？
：相同点是都消去了一个未知数，使二元一次方程组化为一元一次方程，不同点是所采取的方法不同，具体来说，解法1采用两式相加减的方法，解法2采用代入的方法。
师：生，归纳得很好。我们把这两种解二元一次方程组的方法分别称为加减消元法和代入消元法，具体思路是分别采用加减或代入的办法，消去方程组中的一个未知数，转化为一元一次方程。
4.运用新知
解下列方程组。
学生分组解答，然后汇报、交流不同的解法，这时教师应注意纠正学生解题过程中的细节问题。
三、对比分析
1.教学目标、教学重点对比分析
两种设计均把“理解解二元一次方程组的基本思路——消元，经历从未知到已知、由二元到一元的转化过程”确定为主要目标，不同的是，在知识与技能上，教学设计A要求“通过对代入法解二元一次方程组过程的提炼、归纳、整理，掌握这一方法的基本解题过程并会灵活应用”；而教学设计B要求“能用代入消元法、加减消元法解简单的二元一次方程组，会根据方程组特征选择适当的方法，体会简化思想，培养运算能力”。教学目标的差异，直接导致了两节课教学重点、教学思路和教学策略的不同，教学设计B侧重于两种解法的教学，教学设计A则依据教材安排，只进行代入消元法的教学。
2.情境设置对比分析
教学设计A以教师所在班级人数为背景引入，引起学生的好奇与关注，激发学习兴趣，拉近师生距离，使严肃的课堂变得活跃起来，缓解紧张气氛；同时，从实际问题中引导学生发现问题、设计问题，体会把实际问题抽象为数学问题，渗透数学建模的思想。教学设计B并没有设计生活中的实际背景问题，而是以教材引例中与篮球比赛得分有关的问题直接引入新课的学习，找准了学生的“最近发展区”，因势利导，对一元一次方程和等式的性质进行巩固复习，提出研究问题——解二元一次方程组，这一设计恰当、自然，同样能激发学生的学习兴趣。两种设计尽管采用不同的导入方式，但都能够找准学生的“最近发展区”，巩固复习相关内容，激发学习兴趣。
3.课时内容对比分析
在教材内容的编排上，本节教学内容仅为代入消元法及其应用，这样安排的原因有两点：一是代入消元能更好地体现转化的数学思想；二是在对消元和转化有一定的理解之后，便于进一步学习加减消元法，遵循“循序渐进”的原则。教学设计A基本上是依据教材的编排思路进行设计的。在二元一次方程组解法的探究过程中，尽可能设计富有针对性的数学问题。引导学生将二元转化为一元，避免出现加减消元的思路。在设计上，尊重了教材编排，符合学生的一般认知规律，更符合学生的认知水平。教学设计B则大胆地尝试将两种解法的教学同时进行，有意让学生想到加减消元法，最后归纳总结两种解法的共同特点，从而渗透转化的思想，同样取得了很好的效果，这样的设计更适合于基础好一些的学生。“教学有法，教无定法，贵在得法。”只有在理解教学、理解数学、理解学生的前提下，才能设计出更适合于学生的教学方案。
4.教学立足点对比分析
从知识角度来看，本节教学要求学生会解二元一次方程组，内容并不难。事实上，在具体操作中，学生基本都能准确地求出二元一次方程组的解，但仅仅只是停留在简单的模仿层面，对于其中所蕴含的思想和方法并没有深入理解。本节教学内容的重点是用消元的方法解二元一次方程组，而消元的关键是转化思想的渗透，让学生想到“转化”，应是教师解决所有问题的前提。因此，让学生如何想到“转化”应是本节课的教学立足点。
在教学设计A中，首先以具体的实际问题为载体，引导学生发现题目中隐含的两种相等关系：
①班级总人数为143；
②男生人数的2倍比女生人数的3倍少14。
其次，为学生解决问题预留了较大的思考空间，让学生按照各自的方法列出解决问题的方程或方程组，于是便出现了两种有代表性的解决方案。
方案1：（设两个未知数）设女生人数为x，男生人数为y，
根据题意，列出方程组。
方案2：（设一个未知数）设女生人数为x，则男生人数为143-x。根据题意，列出方程3x-2(143-x)=14。
接下来，引导学生观察、对比、分析两种不同的解决方案，发现方案1是两种相等关系的直接数学符号化的结果，而方案2同样包含有题目中的两种相等关系，是一种关系代换另一种关系的结果，也就是说，尽管这两种方案外在的表现形式不同，但所表达的数学本质是相同的，至此，便找到相互转化的连接点，学生就会自然而然地想到用等量代换的方法，把二元一次方程组转化为以前学过的一元一次方程，问题得到了解决，从而实现了转化思想的渗透，达到了消元的目的，为学生提供解决问题的方法和思路。在这样的教学过程中，学生学到的不仅仅是知识，更重要的是解决问题的策略和方法。
教学设计B中，在出示了二元一次方程组
后，教师给学生充分的思考时间和空间，让学生探究解二元一次方程组的方法，随后在小组展示的过程中，便出现了加减消元和代入消元两种解方程组的方法。在设计上具有更大的开放性，让学生自己探究解决问题的方法，同时在解法上渗透了化归的数学思想，但对“学生是如何想到的”没有做进一步的探讨，在从思想和方法的角度引导学生体会问题解决的策略这一点上，该设计不够到位。
事实上，在解决数学问题的过程中，学生所缺少的，正是问题解决的“想法”，一旦有了“想法”，一切便会变得自然和顺理成章。对于本节课，知识的传授、技能的训练、数学思想的渗透是教学的重点，同时还应进一步提高教学的立足点，渗透解决新问题的方法。也就是说，让学生在解决新问题时，能够想到与之相关的旧知识、旧问题的解决办法，设法找到新旧问题（知识）之间的联系，借鉴旧问题的处理办法，从中渗透解决问题的基本思路和方法。
数学是思维的科学，数学教学是思维的教学。教学中，对某一问题的回答要多问几个“为什么？”“你是怎么想到的？”“你为什么这么说？”从中展示、挖掘这种结果、方法产生背景的思维过程，而不仅仅只是获得一个结果，要更加重视学生思维能力的培养。