重温圆的名题，体验数学文化，本文主要内容关键词为：数学论文,文化论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
我们对圆很熟悉，无处不见圆，无时不有圆。用圆、玩圆，我国好多成语有圆字，如“没有规矩，不成方圆”，“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺”。民间活动也有用圆表示的习俗，如圆圆的五环，孕育奥运精神，牵动全球，连通世界；哥伦布绕地球一圈，发现地球是圆的。国际上有圆桌会议，与会者围圆桌而坐，共同协商，平等交流。圆是最基本的图形，也是最简单的曲线。我们知道，小学讲圆的周长、面积、对称性。中学也讲圆，主要讲圆的几何性质，圆的方程，圆与直线、圆与圆的位置关系等。可是，我们没看到人类研究圆的任何活动，察觉不到人在圆中的痕迹。事实上，自古至今，人类对圆给予了充分的关注和研究，研究发现太阳、地球都是圆的，求地球半径、周长，求圆周率、面积，化圆为方、欧拉圆，拿破仑四等分圆等，都深深地打上人类活动的烙印，体现了人类对圆的执着、对圆的热情，反映着人类对圆的欣赏，平面中最美的图形是圆，立体图形中最美的是球。我们会发现，在人类的研究过程中，圆成为数学模型，去刻划、描述天体物体的运动规律，其中也给予我们许多经典的历史名题，展示了人类在圆的研究过程中巧妙的思维方式和思维方法，重温这些圆的历史名题，既能学习前人绝妙的思维，又能继承人类的探索精神，既让我们惊叹人类对圆的执着热爱，又能让我们欣赏圆的美及与世界的和谐，滋润于数学文化丰富的营养。
1.早期天体研究，提出经典名题
毕达哥拉斯认为，最美的平面图形是圆。古时候，很多人猜测地球是圆的。泰勒斯认为，地球乃是浮在水面上的一块圆盘。亚里士多德（公元前384～前322）从月蚀推测地球是圆的，他在《论天》中明确写道：在月蚀时，它的外线总是弯曲的：既然月蚀是由于地球插入（太阳与月亮）其间，那么，它外线的那种形状就应是地球的表面所造成的，所以，地球必定是圆球形[2]。公元前320年，欧几里得的《几何原本》里用圆去描述球，半圆绕着直径旋转一周而回到初始位置时，这样描绘的形状就是球。古希腊学者埃拉托色尼认为，太阳离地球很远，太阳光应平行地照在地球上，而地球上有的地方有影子，有的地方没有影子，这就说明地球是圆的。那么地球的周长、半径是多少。这是早期数学家努力去解决的问题。
图3
2.数学家与化圆为方
尺规作图三大问题中有化圆为方的问题。有人指出，化圆为方可以转化为正多边形尺规作图问题。如果把圆能化为正多边形，而正多边形容易化为正方形了。似乎为化圆为方的尺规作图提供了思路，正多边形的尺规作图成最有诱惑力的问题，正多边形尺规作图与费尔马数还有紧密关系。后来，高斯研究了正十七边形的尺规作图问题并成功解决。也有人认为，若弓形能化为三角形面积，那么也能化圆为方。在这样的研究思路中，出现了希波克拉底的半月形和阿基米德皮刀匠形这两个最有名的问题。
2.1 希波克拉底与半月形
用圆规、直尺化圆为方即作一正方形，使其面积等于给定圆形的面积。三等分角即三等分弧。公元前430年，享有盛名的希波克拉底，利用圆的特征把曲线面积化为直线形面积的方法，把两个半月形的面积化为三角形的面积。如图4，等腰直角三角形ABC，以AB、BC、AC为直径分别作三个半圆，整个图形除去以AB为直径的半圆，得到两个半月形。利用毕达哥拉斯定理得到，AB为直径的半圆的面积等于BC为直径的半圆面积与AC为直径的半圆的面积之和，各自除去AB为直径的半圆上弦BC、AC所对的弓形面积，则直角三角形ABC的面积等于两个半月形的面积。
图4
2.2 阿基米德与皮匠刀形
图5
如图5，阿基米德首先研究并提出命题：大半径圆内含两个相切的小半圆。三个半圆间的曲线图形，即皮匠刀形，面积等于两个小半圆公切线长为直径的圆的面积。
图6
伟大的数学家阿基米德对圆的研究给予了极大的关注，用圆内接正n方形和圆的外切正n边形来估算，如图6。其《圆的度量》中研究认为，圆的面积等于一直角三角形的面积，此直角三角形的两条直角边分别等于圆的半径和圆周；圆的面积与其直径上的正方形面积之比，近似地等于11∶14。圆周比直径的三倍大，所大部分小于直径的
，大于直径的
。
3.开普勒巧妙求圆的面积
圆的面积历来是人们非常关心的问题。开普勒对圆进行深入的研究，把半径为r的圆分割为无数个相同的微小扇形，每个微小的扇形近似看作小等腰三角形，无数个小等腰三角形的底边
构成圆周。于是，圆的面积就是
。也有记载认为，开普勒采用了一种有趣的方法：将圆等分为2n个小扇形，如图7然后把2n个小扇形剪开放在一起，拼成如图8所示的近似平行四边形，平行四边形的高近似等于圆的半径r，平行四边形的底约等于半圆的弧长πr，于是圆的面积等于近似平行四边形的面积
，从而解决了圆的面积问题。通过对圆的分割、拼凑求其面积，我们可以发现人类是如何猜测圆的面积。
4.拿破仑四等分圆
尺规作图深受数学家及广大数学爱好者的喜欢，有人提出单规作图。以军事、政治才能显赫于世的法国著名皇帝和统帅拿破仑，对单规四等分圆颇有兴趣，传说曾在马背上哼出了只用圆规四等分圆的妙法，具体作法为：
1)如图9，在⊙O上任取一点A，以R为半径，自点A起，顺次截取，弧AB,BC,CD相等。
2)分别以A、D为圆心，以AC为半径作弧交于点E。
3)以A为圆心，OF为半径作弧交⊙O于G、H两点，则A、G、D、H四点即为⊙O的四等分点。
图9
其合理性证明于下：
连AC、DC和AE、OE，易见AD是⊙O的直径，且∠DAC=30°。
5.数学家与共点圆
从古到今，五点圆、九点圆等共点圆问题一直受到大家的关注，经久不衰。由此而引出了欧拉圆、泰勒圆、Miquel圆、费尔巴哈圆、或庞斯莱圆等。还提出了泰勒斯定理、五圆定理、Miquel定理。当然，最有名的还数九点圆，它是一个著名的几何学问题。
5.1 欧拉圆
欧拉圆又叫做九点圆、费尔巴哈圆、或庞斯莱圆，如图10，拖动三角形ABC任一顶点，三边的中点、三高的垂足、顶点与垂心连线的中点共是九点总在同一个圆上。公元1882年，K.W.费尔巴哈证明了三角形的九点圆与其内切圆及旁切圆之间存在充满魅力的关系，证明了三角形的九点圆同时切于三角形的内切圆和它的三个旁切圆。[4]
图10
5.2 Miquel圆
如图11，在任意五角星ABCDE中，△AJF、△BGF、△CGH、△DHL、△EIJ的外接圆依次相交于点N、M、O、L、K。那么，五点N、M、O、L、K共圆。即就是Miquel圆定理，此圆称为Miquel圆。
近代很多人对它感兴趣。张景中教授、江泽民先生等也对五点共圆感兴趣。张景中教授在《计算机怎样解几何题》给出了证法，江泽民先生还特意向张景中院士请教。在出席澳门回归一周年庆典时，江先生向澳门某中学的学生给出了这道五点共圆题。这一下又引起很多人的兴趣。对五个点共圆的证明，著名数学家丘成桐说，我也要想半小时才行。毕竟是历史名题，曾有很多人关注过，自然在一些书中，如单蹲的《数学名题词典》第429页，就能找到答案。
图11
5.3 数学家Louis Brand与八点圆
1994年，数学家Louis Brand提出了八点圆。在四边形ABCD中，AC⊥BD,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，由E、F、G、H向对边作垂线，垂足分别是K、L、M、N，于是E、F、G、H、K、L、M、N八点共圆，如图12。
图12
5.4 阿波罗尼奥斯问题
生于公元前255年的阿波罗尼奥斯，在专著《论相切》中提出了一个著名的问题：给定三个元素：点、直线或圆，求作一圆通过三点（若为三点），或与给定的各直线或圆相切。
过不在同一直线上三点作圆，或作一圆与三条两两相交的直线相切，即作三角形外接圆、作三角形内切圆，都是其中的问题。公元4世纪，希腊学者Pappus研究过《论相切》，把阿波罗尼奥斯提出的问题划分为10种情况，记述详尽。
对于作一圆与另外三个圆相切的问题，极为复杂，此即就是阿波罗尼奥斯问题。从公元前200年一直到17世纪都使许多数学家为之绞尽脑汁。韦达(1540～1603)在其专著《Apollonius问题》，牛顿(1643～1727)在《广义算术》中都进行了较深入的研究。后来，蒙根(Monge)、高斯等数学家也进行深入研究，给出了众多的解法。
日本的寺阪英孝、我国的沈康身先生对这三个圆的位置关系进行细致的研究。他们把“作一圆与另外三个圆相切的问题”给出了极其有趣的分类，用相交（记J）、相切（记Q）、相离（记L）各种不同的排列形式去考虑。因而，三个圆的位置关系共有10种：①LLL②JJJ③QQQ④LJQ⑤LLJ⑥LLQ⑦QQJ⑧QQL⑨JJQ⑩JJL；每种情况又可分为若干子目。日本的寺阪英孝把阿波罗尼奥斯问题分为49个子目，我国的沈康身先生把上面分类进行改编，增补为51个子目，这种分类是否详尽无遗？沈康身先生还认为有待进一步深入探索。具体对阿波罗尼奥斯问题的研究，可查阅文[1]。