对新教材“圆锥曲线方程”一章的认识及教学体会，本文主要内容关键词为：圆锥曲线论文,方程论文,一章论文,新教材论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、对新教材“圆锥曲线方程”一章的认识
新教材“圆锥曲线方程”一章是在原教材《平面解析几何》的第二章“圆锥曲线”的基础上改编而来的.原教材“圆锥曲线”一章包含了曲线与方程、圆、椭圆、双曲线、抛物线和坐标变换等六部分内容.新教材把“曲线与方程”和“圆”两部分内容与“直线”合并成单独一章“直线和圆的方程”.由于新教材“平面向量”一章已包含了“坐标变换”，故“平移”这一小节这里已被删除.于是，新教材又把椭圆、双曲线和抛物线另立一章为“圆锥曲线方程”，从而使得这一章的内容更独立、更系统、更统一、更与课题相吻合.从方程的形式看：在直角坐标系中，这三种曲线的方程都是二元二次的；从点的集合（或轨迹）的观点看：它们都是与定点和定直线的距离之比是常数e的集合（或轨迹），而定点是它们的集点，定直线是它们的准线；此外，这三种曲线都可以看成是由平面截圆锥面而得到的截线（见新教材章头图），故这三种曲线方程合并取名为“圆锥曲线方程”的章节显得科学、合理.
从具体内容安排上来看，“圆锥曲线方程”与“圆锥曲线”相比，相应的内容也发生了一些微妙的变化：（1）增加了两个数学实验.“圆锥曲线方程”保留了用图钉和铅笔尖把绳子拉紧画椭圆的实验，新增了利用拉链画双曲线的实验和利用直尺和三角板画抛物线的实验.新教材针对椭圆、双曲线和抛物线三部分内容分别以实验引入新课，此举无疑使学生增强了“数学来源于现实生活”的意识，从而克服惧怕心理，激发学习兴趣，同时也为他们探究数学世界的奥秘创设了情境.（2）强化了建模意识.这主要表现在新教材新增了三个利用建模求轨迹方程的例题：“椭圆”部分的例2（P[，94]）、例3（P[，95]）和“双曲线”部分的例3（P[，106]）.这为本章的教学指明了方向，即学习本章的目的是为了让学生能利用所学知识解决实际问题，从另一个侧面也反映了数学的实用性与工具性.（3）淡化了尺规作图的意识.原教材有两个例题介绍如何利用尺规作椭圆（P[，74]例2）和抛物线（P[，96]例2），由于电脑作图软件的发展，新教材对此内容作了删减.（4）加强了一题多解的训练.在这一章里，原教材未曾出现过一题多解的例题，而新教材出现了三个范例：P[，118]例3和本章“复习与小结”中的两个“参考例题”，在“复习参考题八”B组（P[，133]）也有意识的安排了多个能用多种解法求解的习题，这无疑有助于培养学生的求异思维能力和创新意识.
对比新旧教材的内容，我们不难发现，新教材更贴近于现实生活，更有利于学生自主探索与自主学习，更能培养学生的创新意识与创新精神，同时也体现了新大纲确定教学内容本着“有用、基本，能接受”的原则，为数学教学改革开辟了道路.
二、几点教学体会
教材的改革与创新，归根结底要靠教师的“教”来实现，因此，作为一名数学教师，不仅要对新教材有深刻的认识与领悟，更应该把新教材的精神落实到每一堂课.教材要创新，教法更要创新.笔者结合自己的教学实践，针对“圆锥曲线方程”这一章节，谈几点教学体会.
（一）精心设计实验，创设问题情境，增强学生主动探究的意识与能力.
对于实验，往往有人误解为只有物理、化学、生物才能做，数学似乎与实验无缘，其实，一切知识都来源于现实世界，数学也是如此.新教材之所以在本章节中不厌其烦地安排三个实验，就是为了让学生在实验中体验数学，体验在实验中获取数学知识的乐趣，因此，在每一种曲线教学的第一堂课上，教师都要精心设计实验，让学生人人参与实验，不能用多媒体演示来取代学生实验，更不能教师一人用粉笔在黑板上“做实验”，因为学生通过亲手实验，不仅能对相关的圆锥曲线产生浓厚的兴趣和一定的感性认识，而且能以实验为手段对有关知识进行进一步探究，从而达到理性的认识.例如，在学习椭圆的第一堂课上，教师可这样引导学生通过实验主动探究椭圆的概念：
让学生拿出课前准备好的一块纸板、一段细绳和两枚图钉，按课本要求画椭圆.
先用多媒体演示画法，再让学生自己动手画，使其品尝到成功的喜悦，并提出如下问题：
（1）在纸板上作图说明了什么？
（2）在绳长不变的条件下，改变两个图钉的距离，画出的椭圆有何变化？当两个图钉重合在一起时，画出的图形是什么？当两个图钉的距离等于绳长时，画出的图形是什么？当两个图钉固定，能使绳长小于两图钉之间的距离吗？能画出图形吗？
经过实践由学生得出结论：当2a＞2c时是椭圆；当2a=2c时是线段；当c=0时是圆；当2a＜2c时，轨迹不存在.
（3）根据以上的作图实验回答：椭圆是满足什么条件的点的轨迹？（由学生归纳椭圆定义）？
通过上述实验、问题情境的创设以及问题的回答，学生便对椭圆概念有一个清晰、全面、深刻的理解.
（二）理论联系实际，渗透数学建模思想，增强学生学数学用数学的意识和能力.
“学以致用”是新教材的一大特色，这同样体现在本章的教学内容中，如椭圆单元中的例3（P[，99]）求卫星运行的轨道方程问题.这是一道学生还没有做就感到困难的应用题，为了让学生消除恐惧感，教师可以作如下教学设计：
①先阅读题目2到3遍，然后思考本题求什么？需要哪些数据？
②利用多媒体演示卫星绕地球运转的动画图象.
③观察画面，在画面中找出地心、近地点A、远地点B、然后观察A、F[，2]、B是否在同一条直线上？为什么在同一条直线上？
④重新阅读题目，明确各数据的含义及其相互关系，然后对照题图（见课本P[，99]图8-8）找出等量关系.
⑤建立坐标系，标出有关点的坐标，进行解答.
通过上述五个步骤，化解了难点，加强了学生阅读能力的培养，提高了学生对信息加工、数据处理的能力，即建模能力.
如何建模是本章的一个难点，解决这个难点，并非一日之功，更不是靠一两个例题解决，而是要靠千日之功，有时要靠其它学科知识的帮助.如双曲线单元的例3（P[，106]）是一道应用双曲线定义和标准方程求解实际问题的应用题，本题须用到物理公式S=vt来把听到爆炸声的时间差转化为A、B两地到爆炸点的距离差，并由此建立数学模型.为了提高学生分析与解决综合问题的能力，我们在教学中还应该注重其它学科知识的渗透，如物理知识、地理知识，让学生识多见广，从而为他们顺利建模铺平道路.对双曲线单元的例3可作如下变式：
某国北部沿海顺次分布着纬度相同的A、B、C三地，A距B200千米，B距C300千米，若A、B、C三地分别于当日10时零8分，10时零3分，10时13分监听到海上一火山岛火山爆发时的巨大爆炸声，并且此时声速为20千米/分钟.问这一火山岛大约在距C地多远的什么方向的海面上（结果精确到0.1千米）？（答案：火山岛约在距C地346.4千米的西北方向的海面上.）
这是一道具有一定综合性，并且开放性很强的题目，建立数学模型求解仍是关键.根据本题条件可以建立多个数学模型，真正求解时并不都用到，另外本题求解时如何建立直角坐标系也有多种选择，不同的选择可直接导致答案的简繁.在解题过程中将要求两个标准方程，求解方法也不唯一，还要解由两个方程组成的二元二次方程组，计算数字也较大，讲解本题对培养学生数学思维的缜密性与发散性及提高他们的计算能力很有好处.
（三）重视解题方法的教学，优化解题过程，增强学生的解题信心和解题能力.
解析几何的实质就是以代数中数与式的知识为基础来研究几何问题，这一章的学习要求学生能灵活应用代数知识，能灵活应用几何性质，因而难度较高，因此教师在教学中应尊重教材，不要随意拔高难度，要循序渐进，否则极容易挫伤学生的学习积极性.在本章内容的教学中，教师要力求数形结合分析每一个问题，使学生逐步养成先画草图，再观察，把形与数结合起来考虑问题的解题习惯.
在解析几何中，繁琐的计算与推理往往使学生望而生畏，丧失信心，因此教师在加强通解通法训练的同时，应重视解题方法的指导.本章常用的解题思想和方法有：①回到定义中去解题的方法；②待定系数法；③点差法；④韦达定理的应用；⑤平面几何性质在解析几何中的应用.求曲线轨迹方程的方法有直接法、定义法、转移法、参数法等.教师应该引导学生选择恰当的方法解题，以达到减少计算量优化解题过程的目的.
解法越简洁，学生越感兴趣，教师可以利用学生的这种“求简”心理，加强解法指导，使每位学生都能感受到成功的乐趣，从而增强他们的解题信心与解题能力.
（四）引导学生一题多解，一题多变，增强学生的创新意识与创新能力.
一题多解的训练是数学学习的重要方面，是培养学生求异思维的好方法，因此，教师要为学生提供一题多解的条件，提倡学生用多种方法解题，拓宽视野，整合知识结构，提高认知水平.
例如本章抛物线单元的例3（P[，118]）就是要求教师引导学生一题多解.教师可以采用分步推进的办法，引导学生理清思路，探究解法：
①求出直线方程.
②求出交点A、B的坐标.
③如何求线段AB的长？计算AB长是否一定要具体计算A、B的坐标？
由于创设一题多解的情境，学生会提出三种解法：
解法一：先求交点坐标，然后直接运用两点间的距离公式求线段AB的长.
解法二：根据抛物线定义，把线段AF与BF转化为线段AA′和BB′（图见教材）.
解法三：利用圆锥曲线的弦长公式.
最后教师可以对三种方法分别加以点评，让学生找出解法之间的联系与区别，体会到最佳解法的奥妙和通解通法的重要.
在本章的教学中，教师还可以选择适当的例题加以推广引伸，引导学生提出新问题，寻求新结论，即所谓的“一题多变”，这不仅能激发学生的学习兴趣，大大提高学习的积极性与主动性，而且能使学生从一类问题的解法上达到举一反三的目的，在探索过程中有效地提高了他们的创新能力.
例如，求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切.
引导学生证完了此题后可作如下推广：用同样的方法证明（1）以椭圆中任意一焦半径为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切；（2）以双曲线中任一焦半径为直径的圆必和以实轴为直径的圆相切.
实践证明，选择好恰当例题，并把问题推广到能为学生所接受的深度和广度，对学生的创新思维的培养往往能起到推波助澜的作用，同时也激活了课堂教学.
最后值得一提的是，新教材虽然没有提到“共轭双曲线”，但“共轭双曲线”是双曲线的一种很美的对称关系，为了拓宽学生的知识面，教师不妨把它介绍给学生，让学生有所了解，但不宜展开.
以上几点教学体会纯属笔者个人观点，仅供参考，不当之处敬请批评指正.