例谈数学探究课题的选择与教学设计，本文主要内容关键词为：教学设计论文,课题论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
概括文[1]、[2]的研究结果可知：“从定义、定理到例题再到练习、习题”的学习处于概念语义记忆和解题程序操作层次，获得的大多是“知其然而不知其所以然”的“工具性”理解.在这个基础上进一步认识概念的意义和知识的结构，懂得概念、定理、公式的来龙去脉，能发现知识间联系并用于解决新问题，才能获得“知其然且知其所以然”的“关系性”理解，实现数学学习所应追求的一个重要目标. 笔者认为，善于发现知识间联系并用于解决新问题，是数学创造性思维活动的重要特征.这就需要教师有意识地选择一些具有挑战性的探究课题，为学生创造自主探究与发现的机会，使学生在“有指导的再创造”过程中更好地理解教材内容，并培养创新意识与创造性思维能力. 笔者在教学实践和培训调研中都深切地感到，筹划数学探究课题方案时，内容的选择与探究教学过程的设计是两个棘手问题.下面以《椭圆》的教学中开展探究性课题学习为例介绍笔者的一些做法，敬请批评指正. 一、立足教材选择探究课题 能作为数学课堂探究课题的素材很多，可来源于宇宙时空、物理天体、大自然、生产实践和日常生活，也可来源于其他学科、课外学习材料和教材等等，但并非所有内容都适合作为探究课题.一般说来，适当的探究课题，其内容应当与核心概念、主干知识有关，有一定的知识拓展性，对学生的思维也要有一定的挑战性，但不宜脱离教材.笔者认为，立足教材选择探究课题应当成为教学设计中思考的主要方向之一. 1.从数学教材中寻找合适的探究内容 首先，我们可以在课堂上适时组织学生对难以理解的知识点或问题展开探究.这种探究不是专题性的，费时不多，涉及的知识大都不会局限于课时内容，有助于沟通知识间的联系，促进学生对当前所学知识的理解. 实际上，各版本教材都设计了“探究与发现”内容，如果能善加利用，则可收事半功倍之效.例如，人教A版教材[3]在选修2-1《椭圆》一节中设计了“探究与发现”：为什么截口曲线是椭圆，对图1中的一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的事实进行了证明，过程大致是：
对以上的证明思路，笔者曾组织学生在信息技术支持下进行探究，不仅让学生懂得椭圆图形的“来龙”，悟得椭圆概念新知，窥见圆、球、圆锥和椭圆等几何图形间浑然一体的联系，而且让他们从中“看”到椭圆的“不变量”和准线，这对学生理解椭圆几何特征发挥了很好的作用. 2.从数学教材挖掘值得进一步探究的内容 数学教材中蕴含了值得进一步探究的问题，这些问题往往可以作为组织专题探究式教学时的素材.我们知道，数学教材中的知识都是具有基础性的，它们具有很强的自我生长能力，由此可拓展延伸出更多的概念、公式、性质等.选择其中某些内容作为数学探究课题，引导学生进行拓展、延伸，不仅可以让学生了解知识的发展规律，更深入地认识知识间的内在联系，而且可以使学生体会如何发现和提出问题，从而提高他们的创新能力. 例如，在圆锥曲线一章中，教材对圆锥曲线的性质只讨论了最基本的范围、对称性、离心率等，而对圆锥曲线的光学性质没有进行系统讨论.我们知道，光学性质是圆锥曲线的重要性质，对这些性质进行探究，可以让学生更深入地了解圆锥曲线的应用价值.笔者在教学中曾经选择“椭圆光学性质的探究”作为专题，其中的一个问题是：从椭圆的一个焦点
发出的任一条光线经过椭圆反射后，反射光线会出现什么规律？ 这一问题是想让学生动手操作，先发现反射光线一定经过另一个焦点
，然后给以证明.借助信息技术，学生能发现结论，但证明结论时需要用到过曲线上一点的切线、法线的知识，还要用到角平分线定理的逆定理，所以难度较大.能不能另辟蹊径？笔者引导学生进行了如下思考：
方法2：如图3所示，在两定点
、
间连接一条长度为
的绳子，在绳子间的某点P处挂一不重物G，使之可随意滑动，显然，点P位于一个椭圆上.因为重物在重力作用下会不断下落，在下落过程中，重力势能转化为动能，当整个力学系统处于静止状态时，重力势能达到最小，也就是说这时点P必位于椭圆的最低点，因而，点P处的椭圆切线就是通过点P的水平线.点P同时受到重物G产生的垂直向下的重力、左右两边绳子的拉力作用，在平衡状态下，两个拉力的合力竖直向上，与重物G产生的竖直向下的重力大小相等.因为绳子内部的张力是相等的，所以，两个拉力大小相等，两个力的方向与竖直方向的夹角也相等.也就是说，点P与两焦点的连线与切线的夹角相等.
上述方法1是从镜面反射与曲面反射的内在联系入手，可以培养学生的想象力，而且还蕴含了与微分几何有关的一些思想；方法2则是从数学与物理之间的联系角度入手，可以让学生充分感受到，不同知识的联系可以激发创造性思维，为解决问题带来意想不到的效果. 二、立足学情设计探究过程 当前，探究性学习在中学开展的不尽如人意，除了应试教育的影响外，教师不善于设计探究过程也是重要原因.笔者在实践中感到，选定探究素材后，如何从中挖掘可探究的问题和设计探究的路径往往成为教学成败的关键.笔者的经验是：探究过程的设计要充分考虑学情，做到“低起点、高立意”.这就是说，要让探究从简单的知识和容易发现的切入点开始，让学生可入手；同时，要设计适当的引导性问题，激发学生的创造性思维，促使学生提出问题并发现解决问题的方法. 例如，在高三第二轮总复习教学中，笔者曾选择平面几何的“费马点”问题作为探究专题. “费马点”问题：有三个村庄以图4中的点A、B、C表示，若在这三个村庄附近掘一口井，如何才能让掘的井和三个村庄的距离之和最小？即如何在△ABC内找到一个点P，使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？
这是一个有挑战性的问题.笔者遵循低起点的原则，安排了如下过程： 问题1 请大家回忆以往是否遇到过类似的问题，你是怎么解决的？ 在学生回忆出“将军饮马”问题后，将它改造为： 问题2 如图5，点P是∠AOB内的一点，分别在射线OA、OB上求点C、D，使△PCD的周长最小.
经过引导，学生“移植”了解决“将军饮马”问题的方法，作出图5中的辅助线，找到所要求的点C、D. 问题3 请你比较问题2与“费马点”问题，它们有什么共同点？ 学生在比较中发现，“费马点”问题的处理也要以线段P、PB、PC为三边构造一个四边形，并使四边形的第四条边为定长.由此，许多学生画出了图6的草案（未连接AP′、AC′），并在图上标出AP=PP′，PC=P′C′，注明BC′为定长. 接着的问题是：如何才能使BC′为定长呢？同时，由于点P是动点，如何才能保持AP=PP′，PC=P′C′？这是学生在探究过程中自己提出的问题，其实这也是难点.对此，笔者做了如下点拨.
问题4 如果点C′是一个定点，则BC′即为定长，但如何才能让点C′变为定点？ 经此点拨，许多学生虽若有所思却仍无良策.笔者提示他们连接AP′、AC′后，或许是回忆起平面几何中曾用过的旋转变换方法，几个学生先后指出，如果将△APC绕点A逆时针旋转60°，似乎所有问题都将迎刃而解. 一语点破玄机，全体竞相思索：将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，则△APP′为等边三角形，因为AP=pp′，PC=P′C′，故PA+PB+PC=PP′+PB+P′C′，而点C′是点C绕点A逆时针旋转60°后所得的定点，故BC′为定长. 至此，大部分学生已恍然大悟，懂得要选择一个适当的点P，使B、P、P′、C′四点共线，方可让PA+PB+PC达到最小值BC′，因而画出下页图7.在课后，一些学生通过进一步思考获得了相关结论：当△ABC三个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每一条边的张角都等于120°；当△ABC有一内角大于或等于120°时，所求的点P是钝角的顶点.甚至，有的学生还将认识延伸至拿破仑定理：“以三角形各边为边分别向外侧作等边三角形，则他们的中心构成一个等边三角形”，并得到“费马点”的作图方法.
经过以上探索，学生对“费马点”问题的实质有了明确认识，对转化与化归思想的策略意义有了更深体会. 那么，这个问题与椭圆知识有什么内在联系呢？实际上，问题中出现的“PA+PB+PC”是一个重要提示.据此，笔者在假设点P就是所找的“费马点”后，继续让学生认真观察图4并提出如下问题引导学生展开联想： 问题5 从问题中的“PA+PB+PC”和图4联想椭圆的定义，然后在图4中画出一个椭圆. 待许多学生画出以点A、C为焦点、以PA+PC为长轴长的椭圆后，笔者指出“探索法”的精髓在于不断的尝试，在尝试中找到灵感.如果以点B为圆心、以BP长为半径画一个圆（如图8所示，尚未有点P′和虚线），观察图形，你有什么发现？ 经过提示、观察和思考，有学生提出：如果在相交区域内取一点P′，则点P′既在圆内又在椭圆内，因此，P′A+P′B+P′C＜PA+PB+PC，但点P是费马点，PA+PB+PC应当要更小才合理.
事实上，学生已指明圆与椭圆不可能相交，只能相切.由此，笔者借助几何画板，先画出相切的圆与椭圆，并将圆心和两个焦点连接成三角形，然后连接AP，BP，CP，得到图9.至此，许多学生已经意识到，如果画出内公切线，则BP与公切线垂直，且为椭圆在点P处的法线.由椭圆的光学性质可知，BP平分∠APC，因而∠APB=∠CPB，同理有∠APC=∠CPB，所以∠APC=∠APB=∠CPB=120°，即获得△ABC三个内角都小于120°情形下的结论.
通过上述引导性探究，学生发现了圆、椭圆和“费马点”问题间存在的出人意料的联系.这个探究过程有难度，但确实培养了学生的创造性思维. 当前，我国基础教育已经进入深化课改的新阶段.《教育部关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见》中提出，要进一步提升数学课程的育人功能；要在发挥各学科独特育人功能的基础上，充分发挥学科间综合育人功能，开展跨学科主题教育教学活动，将相关学科的教育内容有机整合，提高学生综合分析问题、解决问题能力.开展探究性课题学习，无疑是实现这一要求的有效途径.本文介绍的做法具有一定的学科综合性，是笔者在整合数学、光学、力学等学科内容，用以提高学生综合分析问题、解决问题能力上的一种尝试.
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