摘 要：方程是高中数学中的主线，它不仅是对中枢中相关变量之间关系的描述，更是我们解题的重要手段。学生只有通过对于数学思想与方法的深入理解和熟练应用，才能真正理解数学学习的意义与价值。在高中数学学习中，对于方程思想的掌握能够为数学学习奠定良好的基础。
关键词：高中数学 教学体系 方程思想
一、方程思想的界定
狭义的方程思想是指从分析问题中的数量关系入手，寻找问题中未知量与已知量之间的等量关系，通过设元构建方程或方程组，随后解元完成未知向已知的转化过程，从而使问题得以突破的思维方式。广义的方程思想是指对等量关系的转换、分析。其核心是动中求静，研究运动中的等量形式；变中求定，解析变化中的一定之规。当一个问题中的若干数值可能具有某个等量关联时，可构造等式并利用相关性质进行研究。包括一些具有表达式函数问题也可看作多元方程，继而使用方程思想进行分析。故而方程思想是高中数学最重要也是最基本的核心思想之一，在历年考试中举足轻重。
二、方程思想在数学学习中的应用实践
1.方程思想在导数中的应用。导数考点属于近年来高考中的重要考点内容，而方程思想在导数题型中的应用是各级、各类考试中的热点问题。导数的单调性、极值、最值等性质的研究常常和函数与方程思想相结合，主要综合考查学生的思维能力。
2.方程思想在解析几何中的应用。在解析几何题型中，常常会出现直线、圆、圆锥曲线之间的位置关系问题，通常会使用联立方程组的方法进行解决。
3.方程思想在不等式中的应用。不等式2x-1＞m（x2-1）能够对|m|≤2的一切实数m恒成立，求得实数x的取值范围。对于不等式这种问题，了解关于x的不等式后，这种问题会形成一种思维定式，但是应该进行视角的改变，把不等式当做关于m的不等式，并且构造函数f（m）=（x2-1）m-（2x-1），这一问题就会转化为求得m∈［-2，2］上，使f（m）＜0恒成立的x的取值范围。而对于一次函数来说，图象为一条线段，如果想要f（m）＜0，应该让f（-2）＜0，f（2）＜0才能解得x∈( ， ）。在通常情况下，含有多个变量或参数的问题，应该对变量与参数进行积极确定，将函数关系提出来，从而使问题更加明朗。
4.三角函数问题处理中的方程思想。提及三角函数，很多高中生都大皱眉头，原因无他，公式太过繁琐多变，而且很多公式大同小异，以致于学生很容易发生混淆。因此，在处理三角函数问题时，我们不能让学生将思维定格在公式应用上，我们应该鼓励学生将方程思想运用于其中，指导学生灵活运用相关的思想和方法来完成问题的分析和处理。
例，求sin18°的值。
解析：设18°=α，则2α=90°-3α，所以sin2α=cos3α，因此有2sinαcosα=cos（2α+α）=4cos3α-3cosα。因为cosα≠0，所以2sinα=4cos2α-3，即4sin2α+2sinα-1=0.解之可得sinα= ，结合上述范围最后可得到sinα= 。
反思：本题所涉及的角度并不是一个特殊角，所以如果希望通过两角和与两角差的公式进行求解，这是很难得到最后结果的。但是我们如果利用这个角度与90°之间的数量关系，并且构造出有关18°正弦值的一元二次方程，这样既可让学生在方程求解的过程中获得最后的结论，也可以收获化难为易的学习效果。
5.方程思想在实际问题中的应用。例如一个实际应用问题：某班级组织20名学生在一条直线公路上植树，要求以10米为间隔，并且每人植一棵树。在开始之前，要求将树苗集中放在某一个树坑旁边，能够让每位同学领取树苗所用的路程总和最小，求这个最小值。对于这一问题来说，应该建立合适的数学模型，通过列式向函数的最值问题转化，如下图：
当i=10或11时，s的值最小，为1000。因此往返路程的最小值为2000米。对于这类问题，还有另外一种解答方式，针对轴对称图形的原理，两端的树坑旁边放着树苗，路程的总和相同，能够取得一个最值。因此从两端的树坑移动到中间过程中，路程总和的变化是相同的，到第10个以及11个树坑旁边时，路程总和达到一个最值，因此只需进行两个路程总和的计算就可以。将树苗放在第一个树坑旁，路程总和为10×（1+2+…+19）×2=10×19（1+19）×2=3800。树苗放在第10个与第11个旁边时，路程总和为10×（1+2+…+9）+10×（1+2+…+10）×2=2000。因此，路程总和最小应为2000米。对于二次函数形式的构造具有重要作用，函数对实际问题的解决具有重要意义。对于这道题能够借助实际模型的建立，通过函数解析式的方式，对函数的性质进行研究，从而促进实际问题得到合理的解决。
综上所述，在高中数学的教学过程中，教师要关注问题的分析和思考，要让每一个学生都能在学习过程中有所收获，这样的教学有助于学生更加全面地发现并认识问题，同时也有助于他们领会数学知识的真谛。
参考文献
[1]方彤 应用函数与方程思想培养数学核心素养[J].数学学习与研究，2018，（1）。
[2]董军 函数与方程思想在解题中的应用[J].中学数学教学参考（上），2016，（8）。
论文作者:孙盛
论文发表刊物:《教育学》2019年4月总第174期
论文发表时间:2019/5/27
标签：方程论文; 思想论文; 函数论文; 总和论文; 路程论文; 不等式论文; 树苗论文; 《教育学》2019年4月总第174期论文;