真与悖论问题——贺柏和“真”之公理化研究进路浅析，本文主要内容关键词为：进路论文,公理化论文,悖论论文,贺柏和论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：B81 文献标识码：A 文章编号：1674－8425(2013)09－0069－05
doi:10.3969/j.issn.1674－8425(s).2013.09.013
自1975年以来，经由克里普克(S.Kripke)、霍维奇(P.Horwich)、古普塔(A.Gupta)、贝尔纳普(N.Belnap)、赫兹伯格(H.Herzberger)、菲尔德(H.Field)等人的研究与发展，真理论成为哲学中的一个分支，该理论的相关研究一直在稳步推进。2000年以后，新一代研究者开始崭露头角，其中，贺柏和①(Volker Halbach)教授表现尤为突出，是当前该领域的代表人物。贺柏和教授深谙证明论，包括真概念的证明论方法研究，在逻辑技术上特别强大；另一方面，他有很强的哲学分析手段，使他在结合逻辑与哲学方面拥有一种独特的能力，把当代数理逻辑的成果广泛而深入地应用于有关真的哲学问题[1]。由此，他也成为有关内涵性谓词和算子(例如，必然、知道等等)逻辑与哲学研究的重要专家。其新著《真之公理化理论》在学界已经产生较大影响。
一、真与说谎者悖论
“悖论”问题是当今逻辑学、逻辑哲学等领域的核心问题。与真相关的说谎者悖论等语义悖论历史悠久，处理它们需要非常小心。现代西方哲学高度分化，有些哲学家想简单地置身悖论之外，把困扰留给逻辑学家[2]。但实际上，逻辑和悖论问题是与哲学理论紧密交织的，说谎者及其相关悖论对哲学各部分都产生着广泛的影响。
面对经典的说谎者悖论这类语义悖论，不论其采取何种形式，悖论专家的解决办法都是关注于真谓词，明确真谓词中的假设。而另一些学者则怀疑问题不在于真谓词，而在于原句式的奇异特征。贺柏和教授将进一步分析自我指涉问题与模态谓词的内在关联，探讨悖论问题解决的可能思路[3]。
一个句子“
”是真的，当且仅当，。
这是塔斯基的公理模式，它对于一个极小的真理论来说是直接而最自然的要求，通常被称为塔斯基-双条件式(Tarski-Biconditional，简作TB)[4]。TB包含一种去引号的直觉：若你真心打算假设性地或非假设性地断言某个句子，最好也要准备断言是真的。
但若考虑说谎者句子L，它自称为假。那个“质朴的”公理模式告诉我们，L是真的，当且仅当L。但L当且仅当L不是真的——因为这是L的自称。因此，L是真的，当且仅当L不是真的。从而我们陷入了不一致。这一论证被称为说谎者悖论(Liar Paradox)。类似的悖论还涉及知道、必然性、过去与将来等内涵性概念，一定意义上，它们可视为说谎者悖论的变种。矛盾会像疾病传播那样四处感染，这将危及整个逻辑事业[5]。因此，必须正视悖论并给予回应。
有些哲学家认为，是真的不属于句子，而是属于命题，即句子p所反映的命题是真的，而句子p本身不是真的。但悖论仍然存在，试考虑：
(P)被P所标记的句子并不表达一个真命题。不难发现，哪怕坚信只有命题才能是真的，矛盾仍然会产生。
有人认为，悖论在于“真”概念的不清晰。自柏拉图以降，“真”一直是一个哲学上的关键概念。哲学家需要“真”这个词，不仅因为“真”本身存在于哲学之中，而且哲学的很多领域都涉及“真”。实际上，认识论、存在论、伦理学的研究都离不开“真”。而逻辑学中的“真”概念与其他领域不一样。
不论逻辑学中的“真”概念应该是怎样的，但“真”本身不能因产生悖论而受到指摘，因为没有“真”也能产生悖论。例如蒙塔古(Montague)悖论，也叫必然性悖论。我们把说谎者句子中的“真的”代之以“必然的”：
(M)M不是必然的。
上述一行是“标记为M的句子不是必然的”的简写，换用命题的必然性表达，可以说“由M所表达的那个命题不是必然的”。
继而我们可作如下推理：
若M是必然的，则M是必然的。
但因为M就是句子“M不是必然的”，我们也得到：
若M是必然的，则“M不是必然的”是必然的。
接下来应用“若‘A’是必然的，则A”这一一般原则，我们得到：
若M是必然的，则M不是必然的。
因此，我们已经确立M：
M不是必然的。
从而我们得出结论“M不是必然的”是必然的，因而：
M是必然的。
这与此前矛盾。
因此，必然性概念同样也受到不一致性的威胁。
还有人认为，需要对是真的、是必然的用法进行限制。我们不能假定包含“真”的句子是真的或假的，也不能假定包含“必然”的句子是否是必然的。尽管这一限制很强，能阻断说谎者悖论和蒙塔古悖论，但却不能安全地阻断一切悖论。
为此，贺柏和教授在2006年构造了一个悖论，其中真不被应用于包含“真”的句子，必然也不应用于包含“必然”的句子，结果矛盾仍然会产生。
他设计了一个句子N：
(N) 
是必然的。
句子用以下方式来定义：
() N不是真的。
由此，我们有如下论证：
1.若N是真的，则N是真的。
2.若是必然的，则N是真的。(来自1和N的定义。)
3.若“N不是真的”是必然的，则N不是真的。(“若“A”是必然的，则A”这一原则的应用。)
4.若是必然的，N不是真的。(“N不是真的”被定义为。)
5.不是必然的。(来自第2步和第4步)
6.N不是真的。(这是因为N说是必然的。)
7.是必然的。(前面我们已经说N不能为真，所以是必然的。)
第5和第7行相互矛盾，但论证中没有一行把“是必然的”应用于包含“必然的”一词的句子，也没有把“是真的”应用于任何包含“真”的句子。
人们又发现，说谎者句子指向自身，是否悖论与自指(self-reference)相关？即，悖论的产生源自我们使用语言的方式，即我们对那些指称自己的表达式的使用[6]。首先，在现实生活中，很多自指没有任何问题，例如：
(1)(1)这句话中有九个汉字。
如果说谎者句子由于自指而成为非法，则(1)句也应当非法。
当然，人们可能怀疑自指最终是不融贯的。尽管尚不清楚这种观点与真的质朴理论是否冲突，但是哥德尔已经表明，自我指涉是融贯的。他创造了一种数学上精确的方法，使得在一种表达力丰富的语言中，借助编码句子能谈论其自身。塔斯基也表明，在这样一种自指的语言中，说谎者悖论的论证能够形成。
哲学需要“真”，我们也不能通过禁用“自指”来阻断悖论，因此我们的逻辑理论需要进一步发展。有些人想到改变现有的逻辑，称经典逻辑不正确；有例如，发展弗协调逻辑(paraconsistent logic)以包容矛盾性的句子；也有人在拒斥矛盾的同时，拒斥“句子
或者是真的，或者不是真的”，甚至拒斥“若是真的，则是真的”。最近不少人在想新办法，力求在避免悖论的同时，不拒斥以上句子。
贺柏和不想写很多哲学著作，他想到的是公理化的进路[7]。尽管对于“是真的”这一表达有各种各样的研究方式，但贺柏和等人的公理化进路中，将集中关注真被看作是一个由特定公理和规则所支配的初始谓词。说谎者悖论与其他悖论要求非常小心地去构建这些公理与规则。尽管关于真概念要构造一个令人满意的公理列表是一项很困难的工作，但这是一项重要的任务。
二、贺柏和真之公理化进路
在贺柏和教授看来，通常哲学逻辑被认为是主要关注于内涵逻辑，也即模态逻辑及其延伸，如道义逻辑或认知逻辑等等，这部分的哲学逻辑直接建立在命题逻辑与谓词逻辑的基础上，无需直接考察数学逻辑的任何部分[8]。但哲学逻辑还有另一个领域，当哲学逻辑家研究真与悖论问题时，通常应用哥德尔在算术中应用的编码句法，这需要不少数理逻辑的相关技术。
哥德尔不完全性定理是对形式化方法的一个根本回应，已经有大量关于哥德尔定理的简洁证明。贺柏和通过对码数法复杂性的分析，应用一种公理化句法对形式系统的不完全性进行说明，指出了哥德尔的主要动机：他希望显示出数学理论不完全，不能证明某些真论题。最终用一种句法理论来替换通行的算术理论，并揭示出形式不完全性的哲学意义。
在悖论问题上，贺柏和教授试图证明，导致悖论的并不是自指，而是“是真的”、“是必然的”这样一些谓词。以此为基础，他试图提供一种解决悖论的全新方法。基本上，他的方法分为两步：首先讨论不包含“是真的”这一类导致悖论的词项的语句的真，这时他基本上是在塔斯基对象语言与元语言区分的基础上进行工作；其次，讨论包含“是真的”这一类导致悖论的词项的语句的真。为了解决(或者避免)悖论，贺柏和教授构建了一种形式语言，并采取了真之研究的公理化进路，即不试图去定义“真”或“是真的”，而表明真语句的全部外延。
真通常借助符合、融贯或其他概念来定义。然而，真的定义能否导致一种哲学上令人满意的真理论，这点还远不清楚。塔斯基关于真谓词不可定义性的定理表明：对这一谓词的定义所需要的资源已经超出了真在其中进行定义的形式语言(所拥有的)。与之相比，公理化进路并不预设真可被定义。相反，形式语言通过一个关于真的新初始谓词得到扩充，而且关于该谓词的公理接着也被确定下来。可以进一步研究，满足那些公理的初始谓词是否能够借助定义引入，但公理化进路并不预设可定义性。
在塔斯基于1935年所构想的语义性真理论中，真谓词是为某种语言，即所谓的对象语言，进行定义的。该定义在元语言或元理论中给出，后者被典型地看作包括集合论或至少另一个强的理论，或表达力上丰富的解释语言[9]。塔斯基关于真谓词不可定义性的定理表明，给定某些一般假设后，元语言或元理论的资源必须超越对象语言的资源。因此，语义学进路通常必然使用比对象语言更为强大、并为对象语言提供语义学的元语言。
与此对照，公理化的真理理论可以在非常弱的逻辑框架中给出。这些框架只需要很少的资源，尤其是无需一个强的元语言与元理论。此外，公理化真理论的形式工作已经有助于说明语义性真理论。例如，对于一个元语言要足以定义真谓词所需要的东西，它已经给出的信息。反过来，语义性真理论为我们提供了研究公理论真理理论的模型所需要的理论工具。因此，对真的公理化进路与语义进路是紧密交织的。
在大多数公理化理论进路中，真被认为是对象的谓词。关于真所应用的对象范畴有广泛的哲学讨论：命题被认为是独立于任何语言的对象，语句与言说的类型与殊相，思想，还有很多其他对象得到倡议。由于视为类型的语句结构相对明晰，类型句经常被用作能为真的对象。在许多情况下，没有必要作出非常具体的形而上学承诺，因为仅需要对这些对象的结构作出某种谦虚的假定，这独立于它们最终是否被视为句法对象、命题或其他某些东西。描述真可归之于对象属性的理论被称为基础理论。对该基础理论的刻画并不包含真谓词或任何具体的真一理论假定。基础理论能够描述语句、命题，以及类似东西的结构，所以像“否定”这样的概念可以用于构建真-理论公理。
在形式语境下，真通常被当作一个应用于语句的哥德尔数的谓词。已经证明皮亚诺算术是真之应用对象的通用理论，主要因为向皮亚诺算术(Peano Arithmetic，简作PA)增加真一理论公理产生有趣的系统，也因为皮亚诺算术等价于诸多直接的句法理论，甚至是命题理论[10]。
当然，我们也能研究把真-理论公理增加到像集合论那样更强的理论上所产生的理论。通常无法证明集合论另加真-理论公理的一致性，因为若没有超出集合论的假定，集合论自身的一致性无法建立。在许多情况下，甚至相对的一致性证明也不能建立。然而，若向PA增加某些真-理论公理产生某个一致的理论，向集合论增加类似的公理不会导致不一致，这似乎至少是合理的。因此，希望在于针对PA的真理论研究将给出某种建议，当我们用真谓词的公理扩展更强的理论时会发生什么。
三、不同的真之公理化系统
基于用公理化方法处理“真”概念的思路，曾经有过各种不同的公理系统。贺柏和教授把它们分为两类[11]。一类是真之类型理论，其中，真谓词只能应用于不包含真谓词的句子；另一类是真之类型-自由理论，在这些理论中，对真谓词的用法不作限制。②
(一)真之类型理论
在真之类型理论中，只考虑哪些允许人们去证明哪些不包含真谓词的句子之真理的公理。
塔斯基本人也曾尝试用公理化方法处理真概念，但最终没有继续下去。可以把塔斯基关于真之定义的归纳条款转为公理，并对此展开研究。
包含多于一个真谓词的真理类型论，原则上未排除悖论性语句。例如某个语言可能有2个谓词
和
，其中
仅可应用于不包含
的语句。但这一限制没有排除可应用于包含的语句，反之亦然。因此循环与悖论并非排除。若上述谓词之一未被解释为真谓词，而是被解释为代表必然性或类似的某个谓词，这种情形可能更为有趣。人们对于悖论两个谓词的互相作用这一点知之甚少。
(二)真的类型-自由理论
在自然语言中的真谓词没有任何类型限制。因此真的类型化理论(公理化以及语义理论)一直被认为不适合分析自然语言的真谓词。这是研究真的类型-自由理论，也即允许人们证明包含真谓词的句子真理的真理系统的一个动机。有些真的类型－自由的理论比以上各节中考察过的类型化理论(至少只要避免带索引的真谓词)拥有更高的表达力，因此，在对其他理论(例如，二阶理论)进行还原时，真的类型一自由理论是更为强大的工具。
在这些公理系统中，最为知名的是弗里德曼－谢尔德系统(Friedman-Sheard System，简作FS)、克里普克－费弗曼系统(Kripke-Feferman System,简作KF)和范弗拉森系统(Van Fraassen System,简作VF)。
弗里德曼－谢尔德系统是经典的，它有一项优点：它在经典逻辑中形成，若一语句在FS中可证为真，则该语句自身在FS中可证，反过来，若一语句可证，则它也可证为真。其不足在于它的ω-不一致性。FS可以被视为在一切有穷层次上对修正规则的语义学的一种公理化。
范弗拉森系统由坎提尼(Cantni)于1990年受超赋值图式启发而提出。在VF中，所有经典重言式可证为真，且是VF的一个定理[12]。根据FS系统所引申的一个结论，他认为VF比KF强得多：VF在证明-理论上等值于非迭代(non-iterdted)归纳定义的ID[,1]理论，后者并非谓词化的。该结论及其后续结论提示着，一方面的二阶算术子系统的谓词化，与(另一方面的)PA上真理理论的组合性紧密相关。
贺柏和教授对前述各种理论都进行了分析评价，并基于肯定而类型-自由的塔斯基等值句(Postive and type-free uniform Tarski biconditionals)建立了一个PUTB系统，他证明了可以在没有塔斯基的对象语言与元语言区分的情况下避免悖论式的不一致，同时，PUTB系统也是KF的一个子系统[13]。
四、相关哲学问题
略去公理化方法中复杂而精细的技术性处理，当真之公理化系统构建完成后，诸多相关问题有待进一步讨论。
其中一个有趣的话题是，能否借助真之公理化系统把日常语言中的真概念转换成某种程序化的操作，使得我们的表达更为清晰明确？贺柏和教授认为，尽管人们有很好的理由朝这个方向努力，但是人们在公理的选择、日常语言的副词、索引词符号化等方面都面临很大的困难。
由于真之公理化理论可以解释并处理相关悖论中的不一致，与真相类似的概念，如日常生活中常用的必然、知道、将来、过去等，都可以做谓词化的理解，因此公理化理论不仅对于模态悖论、认知悖论的解决可以提供类似的方案，而且对于过去、将来等时间概念，公理化方法的处理也许有更好的发展前景。
我们认为，“真”是逻辑学、哲学、政治学等多领域共同的基本概念。贺柏和教授在分析各种不同的真之公理化系统并构建新系统的同时，还讨论了真之紧缩论与保守论、存在问题的处理、非经典逻辑的表达力等问题。虽然真之公理化理论建立形式语言基础之上，但其总体研究思路也有助于启发对这些问题的解决。
收稿日期：2013－06－25
注释：
①贺柏和(Volker Halbach)教授，生于1965年，德国人，现任教于英国牛津大学，为牛津大学哲学教授、新学院(New College)CUF讲师、研究员和导师，德国慕尼黑路德维希－马克西米利安大学哲学博士，专业研究领域为逻辑学、数学哲学、认识论等。2012年5月他曾应本文作者邀请到复旦大学讲学，并就这一主题进行了充分的讨论。
②参见Volker Halbach,Axiornatic Theories of Truth[M].Cambridge University Press,2011.该书第二部分和第三部分分别讨论了这两类理论。