美国CM数学教材统计内容编制的特点及启示_数学论文

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      统计内容在中国数学课程中受到越来越高的重视.教育部2001年正式颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》将“统计与概率”作为4个内容领域之一，列入中国义务教育阶段各学段的数学课程[1].《义务教育数学课程标准（2011年版）》进一步将“数据分析观念”作为数学课程的重要目标之一，明确数据分析是统计的核心[2].很多国家都将统计内容列为初中数学课程的重要组成部分[3].

      由培生出版集团（Pearson）2009年出版的Connected Mathematics 2教材（以下简称CM教材）包括3册：Connected Mathematics 2（Grade Six，Seven，Eight），供6～8年级使用.CM教材是由美国国家科学基金提供资金支持、CMP项目组开发的面向中学教师和学生的数学教材.CM教材统计内容的设计非常有特色，内容设置、呈现方式及统计内容的编写等方面很值得中国教育工作者进行思考和借鉴.

      一、CM教材统计内容设置及呈现方式

      1.内容设置

      CM教材的统计内容共有3章、11节（探究），主要包括以下几个方面的内容：统计图（线图、条形图、茎叶图、坐标图、直方图、盒式图、散点图）；统计量（平均数、中位数、众数、极差）；抽样（样本、总体、抽样方法）；数据的分布；有关联的两个变量等.CM教材的统计内容涉及面比较广，具体章节内容的设置见表1.

      

      分别从CM教材统计内容包含的章数、节数以及页码数3个方面进行统计，并计算其所占教材的比重情况，得到的结果见表2.

      从表2可以看出：CM教材统计内容包含的章数、节数以及页码数分别为3章、11节（探究）、277页，占全书的比重分别为12.5%，10.68%，12.99%.

      

      2.呈现方式

      CM教材统计内容的栏目设置和教材体例很有特色，具体呈现方式见表3.

      

      从表3可以看出：CM教材统计内容按照章节顺序呈现相关内容，章前设置主题图、章引言、学习目标及学习指引，章内设置若干节（探究）内容，章末设置回顾与展望、复习题及相关词汇解释.部分章内还设置有章“课题”，让学生经历完整的统计活动过程.

      节（探究）内容是CM教材的核心部分，教材通过“探究”展开相关统计内容的学习，每个“探究”一般都会先提出问题或任务，引发学生进行思考，“探究”里面再分成若干小节（小探究）内容，每个小节都以实际问题为背景引出要学习的相关内容，并通过“问题准备”、“问题”等栏目的设计，让学生在回答问题的过程中掌握相关的统计知识和方法.每个探究内容的最后都有节习题和数学反思：习题分成“应用”、“联系”、“拓广”3个层次；数学反思则是以问题的方式帮助学生梳理本节所学习的内容，通过思考并与同学、老师的讨论建立自己对本节内容的学习总结.

      二、CM教材统计内容编写特点

      1.以探究为主线

      20世纪80年代，数学菲尔兹奖获得者托姆曾针对当时中学数学学习的现状大声疾呼：数学的学习主要应是一个自发探究的过程，如果认为只需大量的生记强练，就会更容易地学到数学，那无论如何是一个可悲的错误[4].而要使学生逐步建立统计观念，最有效的方法是让他们真正投入到统计活动中[5].CM教材突出探究的重要性，以探究作为主线，将统计内容的学习融入学生参与、思考的统计活动过程中.

      以7年级“数据分布”一章为例，教材共包括4个探究：“探究1 理解变异性”、“探究2 理解集中趋势”、“探究3 比较分布：同等数量的数据值”、“探究4 比较分布：不等数量的数据值”，分别从描述变异性、集中趋势、比较数据分布等方面让学生初步理解数据分布的刻画和比较.每个“探究”里面再分成若干个小探究，如“探究1”分成“1.1 分类数据的变异性”、“1.2 计数数值的变异性”、“1.3 测量数值的变异性”、“1.4 两种类型的变异性”4个小探究活动，让学生从不同类型的数据分别探究和表示数据的变异性.每个小探究活动中，教材一般会先提出一个实际问题，让学生进行自主探究和思考，并在解决问题的过程中学习统计的相关内容.如“1.3 测量数值的变异性”，教材在提出“班级需要定制合适尺寸的棒球帽”这一实际问题后，设计了A，B，C三个任务：任务A让学生分别测量选定的一个男生、一个女生和自己头的尺寸；任务B要求将全班测量的尺寸分别进行汇总，并用线图将其表示出来；任务C则设置了8个小问题，对任务B中得到的3个线图分别进行探究，8个问题从数据的最大最小值、极差、异常值、聚集和间隙情况、选择典型尺寸等方面层层递进，最后让学生描述数据的变异性.学生在自主探究的过程中解决了实际问题，并逐步加深了对测量数值变异性的理解.

      2.通过比较强调统计图的异同

      统计图表是整理和描述数据的有力工具，它的作用是从数据中获取信息.CM教材中涉及的统计图主要包括线图、条形图、茎叶图、坐标图、直方图、盒式图、散点图等.虽然教材中出现的统计图种类较多，但教材并不是把每一种统计图孤立割裂开分别进行学习，而是通过对统计图的比较强调不同统计图之间的相同与不同之处.例如，在线图和条形图的学习过程中，教材提出了以下问题：（1）分别用线图和条形图描述Ms.Jee班级学生名字的长度，你发现了什么？（2）两个图有什么相同与不同之处？（3）用每种图如何能得到全部名字的字母总数？类似这样比较的处理方式贯穿统计图学习的始终，如垂直条形图和水平条形图、背靠背茎叶图（两个茎叶图）、线图和直方图、同一刻度下两个盒式图等.通过对不同统计图的比较，学生不仅学会了各种统计图的概念、如何制作统计图，而且更容易理解不同统计图的适用条件和范围，同时有助于他们在具体情境中选择合适的统计图解决实际问题.

      3.从多个角度理解统计量的意义

      统计量是将多个数据“加工”为一个数值，使这个数值能够反映这组数据的某些重要的整体特征.CM教材涉及的统计量分为数据的集中趋势和数据变异性两个方面，主要包括平均数、中位数、众数和极差.教材非常注重学生对统计量本身意义的理解，以平均数为例，在6年级的“探究3平均是什么意思？”中，通过“3.1 寻找平均数”“3.2 具有相同平均数的数据”“3.3 使用平均数”这3个小探究活动，让学生从摆放立方块开始初步体会平均的涵义（每堆立方块都同样高），然后利用线图理解平均，进而得出一组数据的平均数的计算方法：所有数据值的总和除以这组数据的个数.在7年级的“探究2 理解集中趋势”中，教材通过“2.1 平均数作为均分”、“2.2 平均数作为分布的平衡点”两个小探究活动，分别从数值均分和数据分布的平衡点两个方面进一步理解平均的涵义，同时还将对平均数的理解与条形图和线图联系在一起（见图1和图2），从“数”和“形”两个角度帮助学生建立起对平均数的不断深入认识.CM教材螺旋上升的设计有助于加深学生对平均数意义的理解.

      

      

      4.以分布为线索整体把握数据

      在生活、工作和学习中处处都有大量的数据，但数据并不等于信息，真正有用的信息是隐藏在这些数据之后的关于数据的整体特征的描述及对其发展趋势的预测[6].分布即用于描述数据的整体特征，一旦明确了数据的分布，也就对数据的规律有了全面把握.CM教材多处出现了分布的概念，并以分布为线索引导学生整体把握数据.6年级通过线图、条形图、中位数、众数、极差、茎叶图等描述、比较数据之间的分布.7年级探究数据的变异性、集中趋势与分布形状之间的关系，并进行了同等或不等数据值之间数据分布的比较.8年级进一步借助直方图与盒式图进行数据分布的比较，并且明确了描述数据分布的方法：读取数据本身的信息，确定每个数据值及数据的最小值、最大值、极差；读取数据之间的信息，确定数据聚集的区间或数据之间的间隙；读取数据之外的信息，描述分布的形状，确定统计量，如平均数和中位数，并与分布的形状相联系.CM教材把数据分布作为一个重要的概念和统计内容展开的线索，将对分布的理解渗透到相关统计图表、统计量和数据比较的学习之中，通过对数据分布的不断探究和深入理解，促进学生从整体上把握数据的特征.

      5.明确抽样方法及用样本估计总体的思想

      CM教材在8年级“探究2从总体中选择样本”中介绍了有关抽样的内容，通过实际案例给出了总体、样本、抽样的概念，明确“抽样计划（sampling plan）”是“从总体中选择样本的一种策略”，呈现了方便抽样、系统抽样、自愿响应抽样和随机抽样4种具体抽样方法，并重点讨论了随机样本的选择和样本大小的选择.在接下来的“探究3解决现实问题”中，教材给出了两个探究活动：一是考古学家在两处新地址挖掘出土得到了箭头的数据，借助其他4处已知年代的遗址和各处挖掘得到的箭头数据信息，估计两处新地址的年代；二是通过模拟饼干制作时巧克力豆的添加过程，得出为确保一打（12块）饼干中每块上面至少有5颗巧克力豆，总共需要多少颗巧克力豆.通过解决现实生活中的这两个实际问题，让学生会用随机抽样的基本方法，并体会用样本估计总体的思想.

      三、进一步研究及启示

      1.适当增加统计内容的比重并加强内容的层次性

      从表2可知，CM教材统计内容包含的页码数占全书的比重12.99%.研究中国的北师大版、人教版初中数学教材，可以得到统计内容分别为2章、8节，2章、6节，统计内容页码数占全书的比重分别为6.89%，6.41%.通过比较容易看出，CM教材统计内容占全书的比重明显高于中国两个版本教材.对中英美3个国家数学课程标准中内容分布的比较研究显示，美国和中国“统计与概率”内容在初中数学课程内容中所占的百分比分别为20.99%和7.33%[7]，这与中美两国初中数学教材中统计内容所占百分比的差异是相符的.关于统计与概率教学内容的研究表明，虽然一些教材的编排达到要求，但还是有一些问题，如内容编排的层次、梯度不够清晰[8].因此，建议适当增加中国初中数学课程中统计内容的比重，引入CM教材中的数据分布、茎叶图、盒式图等内容，并进一步加强统计内容的层次性，使学生在初中阶段有机会了解更多的统计知识和统计方法，且更符合学生的认知结构与学习规律.

      2.注重探究并经历统计活动的过程

      数学探究作为培养学生自主学习、探究能力的重要途径，已经成为最受关注的数学学习方式之一.数学探究学习的开展应立足于过程知识的获取，而不是一味地追求结果知识的掌握[9].中国初中数学教材统计部分的探究主要是在统计内容的学习过程中，结合具体的栏目设计（做一做、实验与探究等）或活动设置（综合与实践、课题学习、数学活动等）进行的，简单地说是以知识方法为主、探究为辅，是在知识方法的学习过程中进行适当的探究.CM教材则是将探究作为主线，把统计内容的学习蕴含在探究活动之中，让学生在探究中感受统计知识发生发展的过程.此外，教材设置的与“探究”并行的章“课题”，同样也是采用探究的方式，引导学生经历完整的统计活动过程，且对学生探究水平的要求相对比较高，可以看成是对正文探究内容的有益补充.比如6年级的课题“有谁是典型的吗”，围绕初中生的一些典型特征进行问题设计，让学生自主经历收集数据、整理数据、分析数据、做出推断等过程，并以制作海报、撰写报告等方式展示各自的结论.

      在统计教学中，设计有效的统计活动，使学生经历完整的统计过程，包括收集数据、整理数据、展示数据、从数据中提取信息，并利用这些信息说明问题.学生在这样的过程中，不断积累统计活动经验，加深理解统计思想与方法[2].因此，建议中国教材更加注重探究，让学生经历统计活动的过程，可以借鉴CM教材的处理方式，将统计活动的开展和统计内容的学习进行更有效的整合，使过程知识的获取和结果知识的掌握相互促进，让学生在统计活动的过程中更好地掌握统计的知识方法，理解统计的基本思想.

      3.突出核心概念并把握数据分析的方法

      美国《共同核心数学课程标准》着重强调“突出重点（focused）”和“注重连贯（coherent）”两个核心思想[10].初中阶段统计学习的重要内容之一即是对数据的分布进行概括和推断.而分布同时又是一个很复杂的概念，具有许多不同的特征和理解的层次，与统计图表和统计量等内容有着密切的联系.中国教材对分布内容的处理相对比较弱化，初中阶段只是在频数直方图的学习中提到了频数分布的概念，分布的正式出现要到高中阶段.CM教材则将分布这一核心概念作为学习的重点，将其贯穿统计学习的始终，重视分布与统计图表和统计量等内容的联系，有助于学生发现数据的整体特征，并把握数据分析的方法.

      对于统计图表和统计量等数据分析方法，中国教材主要定位于数据的整理、描述和分析，关注的重点是：不同数据分析方法的特点、能提供什么样的信息、哪一种方法提供的信息更清晰有效，不同方法的优缺点和适用范围，等等，并没有将它们与数据的整体特征即分布建立必要的联系.这也导致初中阶段的统计教学经常出现下面的问题：学生总是把数据看作是离散的一列数，而不是一个具有共同性质的整体.因此，建议中国教材在有关统计图表和统计量等内容的处理上借鉴CM教材的做法，处处渗透相关内容与分布的联系，如7年级将平均数理解为分布的平衡点，体现了分布、平均数和线图之间的内在联系；8年级借助盒式图分别描述普通花生酱和天然花生酱的质量等级图并比较它们的分布，体现了分布与盒式图的联系.在此过程中，学生不仅能更好地把握数据分析的方法，而且加深了对分布这一核心概念的理解.

      4.通过抽样体会数据的随机性

      数据随机性的内涵主要包括以下两个方面：第一是不确定性，第二是足够数据蕴含的规律性[11].CM教材的设计不仅让学生掌握了抽样的必要性、抽样的方法、样本量的大小等内容，而且还让学生通过抽样初步体会了数据的随机性.数据随机性主要体现在以下方面：测量、概率实验和抽样.统计内容中主要研究抽样的随机性，即样本信息与总体信息之间存在的差异、来自同一总体的几个样本信息之间的差异以及样本中个体之间存在的差异[12].假设每一次抽样获得的数据都来源于同一个总体，在每一次抽样之前，人们不可能知道会得到什么，但是当抽样次数多了的时候，就能估计出现某种情况的可能性有多大，如果对每一种情况出现的可能性大小都了解的话，就等于对这个总体的事情了如指掌.

      例如前面提到的模拟饼干制作时巧克力豆的添加过程，学生在模拟实验的过程中会发现：每次得到的结果可能都不相同，有时可能只需要60颗，而有时可能需要90颗，但重复足够多次模拟实验后就能找到“典型”的结果.也就是说，在对总体情况不清楚的前提下，可以通过抽样得到一些数据，根据数据的比例或者其他信息来推断总体的真实情况.类似这样的案例和统计推断的过程有利于学生更好地体会数据的随机性，能够真正体现统计的基本思想，为中国教材的编写提供了很好的启示.

      5.重视统计与现实的联系及应用

      数学应用意识是一种用数学的眼光、从数学的角度观察、分析周围生活中的问题并积极寻求问题解决的心理倾向和思维反应[13].统计教学的最终目的是培养学生良好的统计意识，在日常生活和社会实践中能够主动地从统计的角度发现问题、提出问题，利用统计的方法解决实际问题[14].中国教材的统计内容过多关注学生的个人生活，大部分内容都是围绕学生的校园生活和家庭生活，如班级同学的成绩、身高、体重、视力、校足球队的年龄、教室卫生、学生鞋号、家庭支出、家庭用电用水量、做家务活情况等；而CM教材贴近学生现实，更加注重统计内容与现实的联系，如模拟饼干制作、花生酱的价格和质量、估计鹿群的数量、考古之谜、人类发展指数和预期寿命等.建议进一步加强中国教材统计内容背景的多样化，借鉴CM教材中与学生生活、生态学、考古学及测量、生命科学等诸多方面相关的背景与素材，使学生感受统计与生活、社会、科技文化等的密切联系，在更广阔的知识面上获得对数学的认识，有助于学生在一个综合知识背景下形成良好的数学素养[15].

      另外，在习题与现实的联系及应用方面，中国北师大版教材“问题解决”、“联系拓广”习题数量共有34道，占全部习题数量的39%；人教版教材“综合运用”、“拓广探索”习题数量共有30道，占全部习题数量的56%；而CM教材探究内容后的习题分为“应用”、“联系”、“拓广”3种类型，其中仅“应用”、“联系”两类习题数量就有267道，占全部习题数量的87%，内容涉及现实生活的方方面面，充分体现统计与现实的联系及应用的广泛性.习题作为数学教材的一个重要组成部分，对具体的数学教学实践产生了不可忽视的影响[16-19].因此，建议中国教材借鉴CM教材的方式，适当提高联系实际与应用类习题所占的比例，充分激发学生学习统计的兴趣，帮助他们提高运用统计解决现实生活及其他学科问题的能力.

      由于统计进入中国中小学数学课程相对较晚，与传统的数学内容相比，已有的教材内容编写和相关的经验基础也比较薄弱，学习借鉴CM教材统计内容编写的先进思想与经验，有助于提高中国数学教材统计内容的质量与水平，积累统计教学的相关案例和素材，促进统计教学的发展.

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