试谈数学活动的思维深度，本文主要内容关键词为：深度论文,思维论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
课题“让学生获得基本活动经验的探索”为中国教育学会“十一五”规划课题“新课堂教学研究”子课题（编号：080419，主持人：唐传义、叶新和），其产生背景为东北师大史宁中校长在主持《义务教育课程标准》修订工作中提出，要将“总目标”中“双基”修改成“四基”，即：让学生能够获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。
因为该课题的前瞻性较强，挑战性大，可供参考的资料又少，我们仔细研读了《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《课标》）以及《数学课程标准解读》（以下简称《解读》），以期从中得到有关指导。
《课标》中提出“让学生获得广泛的数学活动经验”。《解读》指出：学生数学学习的本质是学生自主建构自己对数学知识理解的过程，学生的学习过程是真正意义上的再创造过程，有效的数学学习活动主要有三个方面的特点：是建立在经验基础上的一个主动建构的过程，过程中充满了观察、实验、猜想、验证、推理与交流等丰富多彩的数学活动，是富有个性、体现多样化学习需求的过程。
我们以为，这些阐述对于数学活动来说是比较贴切的，虽然跟“基本活动经验”的说法在认识上尚有差距，不过，仍能较好地指导我们的研究。经过思考，我们提出数学活动设计的一条判断标准：没有数学思维的活动不是真正意义上的数学活动，没有一定思维深度的数学活动不是好的数学活动，以此来指导我们的课题研究。这个判断标准如何提出，在实践中又该如何体现，本文拟做些剖析与介绍。
一、什么是真正意义上的数学活动
在课题申报之前，笔者便听到一些不同的声音，认为有些数学操作活动与美术课上的手工制作并没有区别。这促使我们进行了一些思考：数学活动与手工制作有何根本区别？什么是真正意义上的数学活动？
例1 一个手工制作活动的例子。
“十折剪法”（如图1，此图形选自“星点少儿美术——简单的剪纸方法”），其中左图表示操作步骤，右图表示剪得的结果。
活动过程：按照①～⑦的顺序进行折叠，最后按⑦中实线进行剪切。
图1
例2 一个数学活动的例子。
题目把一张正方形纸片按图2对折两次后，再挖去一个小圆孔，那么展开后的图形应为()。
活动过程
(1)做一做：学生动手按照图2中折纸剪纸的顺序做一做，获得题目的正确答案。
(2)分析与感悟：分析操作过程，引导学生感悟——对折一次，折痕两旁的图形关于折痕所在直线成轴对称。
(3)总结提升：将所得图形逐步展开，采用类似于“放电影”中“镜头回放”的方式来认识理解（从图3的①到②是以直线CD为对称轴而得到，从图3的②到③是以直线AB为对称轴而得到），此时正好是上页（从图2中三个图形从右依次向左逐步补充完整所得），形成折叠剪纸类问题的解题策略——“镜头回放”。
图3
(4)迁移运用：将解题策略迁移与应用到类似问题中（问题略），并与实际操作结果比较、验证，进一步加深理解。
例1、例2都是与折叠（轴对称）有关的活动，就操作的难度来讲，例1要高于例2，然而，容易发现，例1中活动目的是得到一个美观的剪纸图案，只要按照事先标好的顺序“依葫芦画瓢”即可，其中虽然隐含有轴对称的数学知识，但操作者是否意识到该知识，对于能否顺利剪纸没有影响，只能认为是手工制作。例2则不同，它以简单的剪纸活动为基础，首先通过活动获得初步感性认识（①知道正确答案为C；②知道一些涉及操作的问题可以借助于实际操作来获得答案），然后以此感性认识为基础，引导学生感悟，感悟的目的既是获得关于轴对称的数学知识，更是以此为基础进行提升形成“镜头回放”的解题策略。在整个过程中，学生既获得了数学知识，又在分析与反思中形成了数学解题策略，此后的迁移与运用，在加深对“镜头回放”策略理解同时，还有助于空间观念的形成，当然可认为是数学活动。
由此可见，真正意义上的数学活动是关于“数学”的活动，它以有关操作活动为基础，以获得有关数学知识、形成一定的数学技能为目的，或者以学会数学的思维方式为目的，或者以感受数学思想、逐步形成数学观念为目的。
二、好的数学活动判断的标准是什么
活动设计应该是一种预设性的数学活动方案，借助它，师生能够方便地进行数学活动，而通过数学活动要能够有助于学生形成数学基本活动经验。一方面，为方便活动，使用方案既不能太“粗线条”；另一方面，为便于复制，能够供各地学校师生使用，它也不能像教学实录那样过于“精雕细刻”。
关于“经验”，《辞海》解释为：(1)经历、体验；(2)泛指由实践得来的知识或技能；(3)通常指感觉经验即感性认识，有时也指理性认识（上海辞书出版社，1979年版，1164页）。对照“数学基本活动经验”的提法，笔者以为《辞海》中关于“经验”解释的三层含义都具有：(1)它是建立在数学活动基础上的，当然有数学活动的经历与体验；(2)活动的目标是指向数学本质的，也就是说，通过活动最终能够获得一些关于数学的知识或者技能；(3)“基本经验”则说明感性认识需要进行提升，形成理性认识，这样才有较好的普遍指导意义，也就是说，这样才有“资格”称为“基本”的经验。其中，最重要的是从感性认识到理性认识的过程化。
一方面，对于“数学基本活动经验”的描述，由于诸多限制，难有更多深入认识；另一方面，笔者以为对于一线教师来说，使数学活动有判断其优劣的标准，可能是更加有价值的事情。
为此，笔者对于例2以及“拼接梯形中的发现”活动设计又进行了分析。在例2这样的数学活动中，关键性的步骤是“总结提升”。形成的“镜头回放”式解题策略可以用于解答折叠剪纸这样一类题，该策略属于理性认识，相比于最初的感性认识而言，是认识上的一个飞跃。正因为有了这样一个认识方面的飞跃，那么思维的深度就体现出来了。至于像“拼接梯形中的发现”这一类活动设计，主要是揭示活动中隐含的规律。第一层次规律揭示了：用等边三角形来拼接等腰梯形，当等腰梯形只有一层时所用三角形的个数跟等腰梯形腰长、上下底长的关系（注：为方便起见，活动中涉及的等边三角形其边长都取1，并且涉及到的p、n、m均为正整数），(2n+1)个三角形可以拼接成层数为一层的等腰梯形，其腰长为1，上底长为n，下底长为(n+1)。第二层次规律是对于等腰梯形的层数进行推广：m(2n+m)个三角形可以拼接成m层的等腰梯形，其腰长为m、上底长为n、下底长为(n+m)。第三层次则是揭示了一个正整数p分解因数的形式与相应等边三角形拼接成的等腰梯形的关系：如果p可以分解成m(2n+m)的形式，那么p个单位等边三角形可以拼接成腰长为m、上底长为n、下底长为(n+m)的等腰梯形。如果p有k种不同的分解形式，那么相应可以拼接成k种不同的等腰梯形。笔者以为，规律属于理性认识的范畴，能够揭示规律，思维的深刻性当然是体现得比较充分的，更何况此处三个层次的规律，又是由浅入深、层层深入的。
由此，可以提出判断好的数学活动的下列标准：好的数学活动必须具有一定的思维深度，没有一定思维深度的数学活动不是好的数学活动。
三、实践中怎样来体现思维深度
所谓思维深度是指一个过程，过程的终了状态跟最初的状态相比，思维品质尤其是思维的深刻性得到比较充分的体现。
从课题组的实践来看，笔者以为能够有效地体现思维深度的做法有：
1.利用逐层深入的问题串来揭示规律。“拼接梯形中的发现”通过六个问题形成问题串来揭示第一层次的规律：首先设计问题1与问题2（内容：引导分析1：观察所拼成的图形，其中有3个，等边三角形拼成一层，所需三角形个数是3,5,7。问题1：你能够按照此方式继续拼接下去吗？问题2：观察你所拼接的等腰梯形，你有何发现？你能够告诉同桌或者其他同学吗？），引导学生发现当拼得的等腰梯形为一层时需要三角形个数的特征以及相应等腰梯形的上下底与腰长的特征。其次，设计了问题3（内容：引导分析2：三角形个数为8时，能够拼接成层数为2的等腰梯形。问题3：你能够按照此方式继续拼接下去吗？对照问题2以及问题2中发现的结论，你能够写出类似的结论吗？），引导学生通过类比进行探索，当等腰梯形的层数为两层时，与问题2相对应的问题以及相对应的结论。问题4与问题5（内容：问题4：你是否能够拼出其他层数的等腰梯形？对照上面的问题，你能够提出类似的问题吗？问题5：对于你的问题，你能够通过小组合作的方式来解决吗？你的结论是什么？），引导学生继续就层数进行探索。问题6（内容：问题6：对于上面所得到的几个式子，你能够用一种形式统一表达出来吗？）则试图引导学生对具体探索的情形进行抽象与归纳，上升到用一个统一的形式来表示的高度。
2.先观察，再猜测，最后验证（或说理或证明）。在观察的基础上进行猜测，有助于发展探索能力，发展合情推理的能力与培养创新精神，而说理与证明作为探索活动的自然延续和必要发展，可以进一步发展思维能力。
“探索算术平方根知识”活动设计中“探索活动3”设计了如下过程：
3.用数学思想方法来指导探索活动，或者借助于活动进行总结上升到思想方法的高度。数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，是数学的核心和灵魂。
例如，在“关于中点四边形的探索”活动设计中，对于“探索活动3：探索中点四边形面积与原图形面积关系”首先是特殊化：①算算矩形中点四边形面积；②算算菱形中点四边形面积。这应用了一般与特殊的辩证关系思想。后来对于猜测（内容：中点四边形面积是原图形面积的一半）进行验证与说理的两种思路都渗透了化归（或转化）、整体处理的数学思想：
思路一：如图4，要说明图形5的面积是原图形面积的
，只要转化为说明图形1与图形2的面积之和是原图形面积的
即可。
图4
思路二：如图5，将图形1平移至图形4处，图形2旋转至图形5处，图形3旋转至图形6处，再说明所得的两个平行四边形面积相等（等底同高）即可。
图5
四、体现思维深度时需要注意什么问题
1.起点要低。起点低是为了使得所有学生都参与活动，提高活动参与率，同时获得的成功体验也有助于产生积极的情感体验，从而有助于后续活动中思维的进一步展开。如在“填幻方学思维”的活动设计中，笔者首先设计了这样一个问题：如图6，表格中三个空格处已经填写了三个数字，请你再在其余六个空格处填上适当的数字，使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数字的和都为15，对于这个问题即便是基础较差的七年级学生也容易解决。
图6
2.从多角度来体现思维深度。探索或者提升时，尽可能从数学思想方法角度来认识，以有助于数学思想方法的渗透与理解。对于探索发现的结论，如果能够进行证明，应进行证明，如果不能证明但能够验证，需要进行验证。如果问题解决中处理的方法能够提升形成一定的策略，需要尽可能提升，从而有助于完善思维方式，有助于迁移。顺便指出的是，像例2那样的总结提升（该策略其实应该算是“解题技巧”，也即“解题术”的范畴），在目前实践中并不是多见，这既可能是适合于活动的素材并不多见，也可能是我们的研究还不够。