高永存[1]2001年在《无限维李代数与广义顶点代数》文中提出Kac-Moody代数，特别是仿射李代数是一类对数学和物理产生了深刻影响的无限维李代数。本文讨论几类与仿射李代数相关的无限维李代数与广义顶点代数。全文包括第一章引言在内共由五章构成。 第二章讨论仿射李代数的Cartan子代数，正则Cartan子代数及可裂Cartan子代数的关系。Cartan子代数在有限维李代数，特别是半单李代数的研究中起着十分重要的作用。1998年Y.Billig和A.Pianzola对任意维的李代数引入了Cartan子代数和正则Cartan子代数的概念。我们证明对仿射李代数而言有如下事实： 可裂Cartan子代数(?)正则Cartan子代数(?)Cartan子代数。特别地我们给出了仿射李代数的子代数为可裂Cartan子代数的一个由正则局部有限元刻划的充分必要条件（定理2.2.6）并确定了全体正则局部有限元（命题2.2.9），这些结论部分地推广了有限维半单李代数的结果。 Toroidal李代数T_[m]是仿射李代数的一种自然推广。当m＝1时Toroidal李代数即为非扭仿射李代数。第叁章我们讨论Toroidal李代数及表示的某些性质。 第一节是预备知识。 第二节讨论Toroidal李代数生成元，理想及导子的性质。我们证明T_[m]的系数在T_[m]中的一阶上同调群的维数为m~2。 第叁节给出了多重Loop代数有限维不可约表示的分类和实现。 第四节利用仿射李代数的中心作用为零的模构造了一类Toroidal李代数的模。 一个李代数称为完备李代数若其中心为零且导子均为内导子。第四章为与完备李代数相关的内容。 第一节我们证明了具有极大秩幂零根基的可解李代数完备的一个充要条件（定理4.1.10）。事实上我们给出了一种构造所有这样完备李代数的方法。 第二节首先利用有限维半单李代数的有限维表示构造了一类新的无限维完备李代数。然后利用这些无限维李代数导出了一类具有极大秩幂零根基的非可解完备李代数并证明其Borel子代数及抛物子代数均为完备李代数。 第叁节利用仿射李代数的属于范畴o的模构造了另一类新的无限维完备李代数．这些李代数的广义Borel子代数及广义抛物子代数也是无限维完备李代数． 第五章是与广义顶点代数相关的内容．共由叁节构成． 第一节回顾广义顶点代数的定义及一些基本对偶性质． 第H节为本章的核心内容．设W是一G分次空间．首先我们定义一种W上仿费米算子的广义顶点前代数．然后我们证明任一W上仿费米算子的广义顶点前代数自然生成一广义顶点代数且使 W成为其模．这一结果推广了p2］中的一个结果． 第叁节利用第二节的结果证明对水平为任何非零值的仿射李代数的模存在典型的广义顶点代数．
洪燕勇[2]2013年在《量子包络代数与共形代数的若干研究》文中研究说明本文的主要结果分为五个部分.首先,我们探讨量子包络代数在量子空间上的模代数结构和Ur,t的伴随作用.量子包络代数Ur,t是由吴在[83]中引进的.当q不是单位根且所在的域是复数域C时,我们利用类似于文章[35]中的方法,对Ur,t在量子平面上的模代数结构给出了一个完全的分类,并描述了这些表示.另外,我们还完全分类了Uq(sl(3))在量子3-空间上的模代数结构.并且,当k是特征为0的代数闭域,q∈k不是单位根时,我们对Ur,t的伴随作用进行了研究.我们描述了它的局部有限子代数结构,并刻画了Ur,t的所有理想和它的一些本原理想.其次,我们研究了对应于量子包络代数U1(f(K,H))(见[81])的由李引进的弱Hopf代数(见[63,64]).在第叁章中,我们定义了一类新的代数,记为(?)Uqd.当d=((1,1)|(1,1))时,我们把(?)Uqd记为(?)1Uq;当d=((0,0)|(0,0))时,我们把(?)Ud记为(?)2Uq.并且,我们详细地研究了(?)1Uq和(?)2Uq.在某些情况下,我们给出了(?)1Uq和(?)2Uq成为弱Hopf代数的充分必要条件.(?)1Uq和(?)2Uq的PBW基也已给出.并且,当域是复数域C,q∈C不是单位根时,我们刻画了(?)1Uq的表示和中心.第叁,我们给出了一类新的量子包络代数Uq(f(K,J))和一些新的Hopf代数,这些新的Hopf代数是广义Kac-Moody李代数的量子化包络代数借助任一Hopf代数的某种扩张.这种构造推广了一些已有的在量子化包络代数上加一个Hopf代数的扩张,并且提供了一大类新的非交换非余交换的Hopf代数.第四,我们引进了左对称共形代数的概念来研究顶点代数.顶点代数是用来描述2维共形场论的一个严格的数学定义.通过Bakalov和Kac在[8]中利用李共形代数和左对称代数给出的顶点代数的等价刻画,我们可以发现,在研究顶点代数时,我们需要处理这样一个问题：是否在一类特殊的李代数(形式分布李代数)上存在与它相容的左对称代数.在第六章中,我们对这个问题进行了研究.左对称共形代数和Novikov共形代数的定义可见第二章.我们在第六章中列举了很多有关这些代数的例子.最后,我们利用左对称共形代数给出了一种构造顶点代数的方法.这种构造提供了一大类有限非交换的顶点代数.最后,我们讨论了共形意义下的左对称双代数.左对称双代数的定义是由白在[5]引进的,它等价于一个parakahler李代数,这类李代数是带有G不变parakahler结构的李群G的李代数.在第七章中,我们介绍了左对称共形余代数和左对称共形双代数的定义.并且,我们给出了李共形代数和左对称共形代数的匹配对(matched pairs)的构造.我们证明了一个有限的作为C[(?)]模是自由的左对称共形双代数等价于一个parakahler李共形代数(见定义7.18).另外,我们也得到了一个共形意义下的S-方程(见[5]),并给出了共形symplectic double的构造.
李军波[3]2008年在《与Virasoro代数相关联的几类无限维李（双）代数的结构与表示》文中指出本文主要研究了几类与Virasoro代数相关联的无限维李(双)代数的结构与表示理论,确定了一类与Virasoro代数相关联的无限维李代数B的双代数结构,研究了扭Schrodinger-Virasoro李代数的导子代数和自同构群,讨论了形变Schrodinger-Virasoro李代数的二上循环,给出了Schrodinger-Virasoro李代数的中间序列模的分类。众所周知,特征0代数闭域F上的叁维单李代数sl(2,F)是研究有限维李代数结构和表示理论的有力工具。而Witt代数及其中心扩张Virasoro代数作为无限维李代数最简单的例子,自从一出现就备受数学家和物理学家的关注,很多好的结果不断出现,随着其结构理论和表示理论的日臻完善,其结果、方法和处理问题的技巧对其它无限维李代数特别是与其相关联的无限维李代数有很好的借鉴作用。这时出现了很多研究高阶Viraoso代数或广义Viraoso代数的文献(如文献[1]-[6]等)。我们知道利用李代数本身和它的表示可以构造一个新的更大的李代数,这样就很自然地出现了很多建立在Virasoro代数基础之上的代数结构,如q形变Virasoro代数、W型代数、(广义)Block型代数、广义Witt型代数、(广义)Virasoro-like李代数及其q类似、Virasoro-toroidal李代数、(广义)(扭)Heisenberg-Virasoro李代数、N=2的共形超代数、Schr(?)dinger-Virasoro型李代数等,当然也出现了大量研究这些类型的代数的文献(如[7]-[22]等)。本论文所做的工作正是在上面的背景下展开的。本论文在第一章研究了与Virasoro李代数相关联的一类无限维李代数B的李双代数结构,证明了李代数B上的每一个双代数都是叁角上边缘的。李双代数的概念由Drinfel'd于1983年引入。文献[23,24,25]分别对Witt型与Virasoro型、广义Witt型和广义Virasorolike型李双代数进行了研究,文献[26,27,28]分别对上述类型的代数结构进行了量子化。鉴于目前还没有统一的方法来研究李双代数,不同的代数会遇到不同的问题,进而得到具体的不同的量子化代数。本论文第二章主要研究了形变Schr(?)dinger-Virasoro代数的二上循环和带中心扩张的扭Schr(?)dinger-Virasoro李代数L的导子代数与自同构群,完全刻划了形变Schr(?)dinger-Virasoro代数的二上同调群,给出了不同参数情形下的生成元,证明了L的导子代数由其内导子代数和叁个线性无关的外导子张成。原始的Schr(?)dinger-Virasoro李代数是由Henkel在文献[29]中在非平衡统计物理的背景下引入的。目前,研究这种类型的李代数的文献虽不多,但却已经开始得到人们的重视(见文献[29]-[33])。文献[32]给出了它们的顶点表示。第叁章主要证明了无中心扩张扭Schr(?)dinger-Virasoro李代数上不存在不可约交叉模,并对带中心扩张的Schr(?)dinger-Virasoro李代数的中间序列模进行了分类。文献[37]证明了文献[38]给出的Virasoro代数上不存在不可约交叉模这一猜想。文献[21]和文献[11]分别证明了扭Heisenberg-Virasoro代数和W代数W(2,2)上也不存在不可约交叉模,同时,也有很多文献研究过李(超)代数的中间序列模(如[3,5,19,39,40,42,43,44]等)。
徐萍[4]2011年在《与Virasoro代数相关的一类李代数的顶点表示》文中进行了进一步梳理李代数的结构理论及表示理论的研究一直都是李理论研究的重要问题之一. Vi-raoso代数是一类重要的无限维李代数,随着李代数的发展,许多与Virasoro代数相关的李代数不断出现,变成了人们研究的热门方向之一.本文主要分四个部分:第一章是绪论,主要介绍了李代数,无限维李代数,顶点代数的相关发展.第二章是叁角导子李代数,主要研究的叁角导子李代数的中心扩张.叁角导子李代数中至少含有d个Witt代数,它是Witt代数的一类扩代数.第一部分我们给出叁角导子李代数的定义;第二部分给出了叁角导子李代数的刻画;在第叁部分我们通过确定叁角导子李代数2-上循环的办法给出了叁角导子李代数的中心扩张,它的形式表明叁角导子李代数的中心扩张是Virasoro代数的推广.第叁章是扭Heisenberg-Virasoro代数的顶点代数.这章主要是通过对其限制模的刻画,从而得到扭Heisenberg-Virasoro代数的顶点代数.第四章是结论.
汪春花[5]2016年在《2-toroidal代数的模与Kirillov-Reshetikhin模》文中进行了进一步梳理本文主要是研究2-toroidal李代数的模.根据不同的叁角分解及PBW定理来构造最高权模,然后研究它们的性质,包括可约性、可积性等.同时在圈代数的表示基础上,研究了Kirillov-Reshetikhin模的fusion product,讨论了分次特征不同的表达式及性质.在第一章中,我们论述了本文的研究背景及研究意义,简要介绍了无限维李代数的研究历史与进展,阐述了toroidal李代数的表示以及分类.另外,我们给出了Kirillov-Reshetikhin模的概念和它们的分次特征.在第二章中,我们主要给出了有限维李代数和无限维李代数的基本概念和重要结论,为本文的研究提供一个理论依据,尤其重视的是toroidal李代数的提出,它是无限维李代数的典型例子之一.在第叁章中,我们使用了叁种不同的根空间分解来分别构造2-toroidal李代数的imaginary Verma模,parabolic imaginary Verma模和水平为零的Verma模.我们研究了这叁种模之间的关系,推广了仿射李代数的部分表示结果.特别地,我们研究了imaginary最高权模、可积模以及不可约的判别标准.在第四章中,我们采用了一种新的叁角分解来研究2-toroidal李代数sl2的最高权模.通过类似于水平仿射李子代数的条件,我们决定了Verma模的奇异向量,并且描述了c1>0,c2=0情形下的最高权模.在第五章中,我们介绍了Kirillov-Reshetikhin模,包括它的张量积、fusion product,尤其是它们的分次重数及分次特征.对于slr+1,Francesco和Kedem构造了满足对偶量子Q系统的广义Macdonald差分算子,继而得出了分次特征的具体表达式.我们通过对对偶量子Q系统的微小改写,分析了分次特征的性质.另外我们也给出了分次特征的另一种矩阵表达式.
徐崇斌[6]2014年在《无限维李（超）代数的结构与表示》文中研究表明扩张Schro¨dinger-Virasoro代数s v与李代数W是两个通过扩张Virasoro代数得到的李代数，与Virasoro代数有着密切的联系.在本文里，我们对s v和W进行了推广，引入了两个新的李代数ds v和W [G]，随后研究了它们的导子代数，自同构群与Verma模.Toroidal李（超）代数是仿射Kac-Moody李（超）代数的自然推广，拥有许多与仿射Kac-Moody李（超）代数类似的性质.在本文里，我们利用波色场和费米场构造典型2-Toroidal李（超）代数的表示，推广了文献[25]与[59]中关于仿射Kac-Moody李（超）代数的相应结果.本学位论文的主体部分由七章组成.各章的具体内容叙述如下：第一章首先简单地回顾了一些与Virasoro代数相关的李代数和Toroidal李（超）代数的研究成果.然后比较详细地介绍了本文所做的主要工作.第二章收集了本文后面章节所有需要的基础知识，包括一般李（超）代数的基本概念，Kac-Moody李（超）代数，Toroidal李（超）代数的概念和性质以及表示论里常用的形式计算的基本技巧.第叁章引入了双扩张Schr¨odinger-Virasoro代数d sv的概念并讨论了它的导子代数和自同构群的结构.第四章定义了结合于群G的李代数W[G]并讨论了它的自同构群的结构以及Verma模可约性.在第五章里，我们回顾了文献[25]与[59]中利用波色和费米场算子构造典型（仿射）Kac-Moody李代数和（仿射）正交辛李超代数的模的具体过程，为随后两章的推广工作作准备.第六章与第七章是本学位论文的主要内容.在第六章里，我们分别用波色场和费米场算子构造了所有典型2-Toroidal李代数在对应的Fock空间上的表示.本章表示的构造是建立在2-Toroidal李代数的Moody-Rao-Yokonuma（MRY）–表现基础上的.在第七章里，我们首先给出并证明了典型2-Toroidal李超代数的一个类似李代数情形的MRY-表现.然后在此基础上构造了典型2-Toroidal李（超）代数的波色-费米表示.此外，我们还给出A(m,n)型的2-Toroidal李超代数的一个顶点表示.为了方便，本文的附录部分列出典型仿射李代数的Cartan矩阵以及酉型与正交辛型仿射李超代数的特别Cartan矩阵.
张良[7]2007年在《B_n～（1），C_n～（1），F_4～（1），G_2～（1）型广义顶点算子代数》文中认为本文是在许以超老师B_n~(1)，C_n~(1)，F_4~(1)，G_2~(1)型顶点算子表示的基础上，来进一步讨论与其相对应的顶点算子代数(vertex operator algebras)．我们知道用根格顶点代数(root lattice vertex algebras)能构造出A_n~(1)，D_n~(1)，E_6~(1)，E_7~(1)，E_8~(1)型顶点算子代数．若想用根格顶点代数的方法，来构造出B_n~(1)，C_n~(1)，F_4~(1)，G_2~(1)型顶点算子代数，在计算的过程中，会出现分数情形，造成一些困难．本文以此问题为出发点，引入了顶点算子间的形式乘法运算，也即找到一个系数函数，来解决类似的一系列问题．
楚彦军[8]2010年在《顶点代数理论中若干问题的研究》文中指出顶点代数又称顶点算子代数,是共形场论和统计力学中至关重要的代数结构.陪集构造是构造新的共形场模型的一种重要方法,在共形场论中有深入的研究和广泛的应用.作为顶点代数的一类子代数,commutant代数是共形场论中陪集构造的一种数学推广.本文主要研究了顶点代数理论中某类commutant代数的描述问题.给定一个李代数g,相应地有一类顶点代数,称为流代数.对于一个向量空间V ,对应有一个偶顶点代数,称为βγ-系统.如果V是李代数g的一个表示,对于李代数g的某个对称不变双线性型B,流代数可以作为βγ-系统的一个子代数来实现.本文针对李代数sl(2,C)两个不同的表示,研究了相应的流代数在βγ-系统中的一些commutant子代数.在第叁章中,我们描述commutant代数S(sl(2,C))~(Θ+).令S(sl(2,C))~(Θ+)是流代数O(sl(2,C),?38K)在βγ-系统S(sl(2,C))中的commutant代数,我们得到了commutant代数S(sl(2,C))~(Θ+)的生成元和它们之间的OPE关系.主要采用的方法如下:第一步,利用经典不变量理论,特别是Hilbert级数理论,给出?-环gr(S(sl(2,C)))~(Θ+)的生成元;第二步,证明gr(S(sl(2,C))~(Θ+))和gr(S(sl(2,C))~(Θ+)是?-环同构;第叁步,根据?-环gr(S(sl(2,C))~(Θ+))的重新构造定理,具体给出commutant代数S(sl(2,C))~(Θ+)的生成元.在第四章中,我们描述commutant代数S(V_4)~(Θ+).对于sl(2,C)的最高权为4的不可约表示V_4,考虑流代数O(sl(2,C),?85K)在βγ-系统S(V_4)中的commutant代数S(V_4)~(Θ+),我们证明了S(V_4)~(Θ+)是一个强有限生成共形顶点代数,并给出了这个子代数的生成元及它们之间的OPE关系.同时,我们也证明了S(V_4)~(Θ+)的两个特殊子代数Sβ(V_4)~(Θ+), Sγ(V_4)~(Θ+)是强有限生成的,并得到了它们的强生成元.我们主要的方法和李代数sl(2,C)的伴随表示的情形类似,但V_4的情形要复杂得多.在表示V_4的情形,首先,我们利用Hilbert级数理论,找出了?-环gr(S(V_4))~(Θ+)的生成元;其次,通过顶点算子“量子修正”的办法,我们找到了这些生成元在S(V_4)~(Θ+)中所对应的顶点算子,并根据?-环gr(S(V_4)~(Θ+))的重新构造定理,给出了S(V_4)~(Θ+)的有限生成元.更进一步,根据由自由场所生成的场之间OPE关系的计算方法,我们给出了S(V_4)~(Θ+)生成元之间的OPE关系.
蔡延安[9]2015年在《Kac-Moody代数在U(h)上的模结构及其应用》文中研究说明令g为Kac-Moody代数,其Cartan子代数为η.本文首先研究Kac-Moody代数上的U(η)-自由模,即g-Mod的如下满子范畴H(g)={M∈g-Mod|Resu(h)u(g)M(?)u(h)U(h)}.我们利用Dynkin图扩张证明：只有Al(l≥1)型和Cl(l≥2)型Kac-Moody代数的范畴H不是空集,并具体给出H非空时其中的对象。其次,我们利用H(g)中的模来考虑基本李超代数的范畴H并证明只有B(0,l)(l≥1)型基本李超代数的范畴H非空。同时,我们利用Kac-Moody代数g的U(η)-自由模来构造与之相关的(全)troidal李(超)代数L(g)的一类新模,即H1={M∈L(g)-Mod|Resu(h1)u(L(g))M(?)u|(h1)u(h1)}.其中h1=h+Cd1+…+Cdn.最后,我们确定了由sll+1(C)的秩1自由模诱导的sll+2(C)上的广义Verma模的单性。
余德民, 梅超群[10]2018年在《由六个顶点的箭图诱导的项链李子代数》文中进行了进一步梳理无限维项链李代数是新的一类无限维李代数,本文重点讨论了由六个顶点的箭图诱导的项链李子代数,研究了这类李子代数的子代数,同构和同态,这类李代数是Virasoro-like李代数的推广,并讨论了它的其他一些性质.
参考文献：
[1]. 无限维李代数与广义顶点代数[D]. 高永存. 南开大学. 2001
[2]. 量子包络代数与共形代数的若干研究[D]. 洪燕勇. 浙江大学. 2013
[3]. 与Virasoro代数相关联的几类无限维李（双）代数的结构与表示[D]. 李军波. 上海交通大学. 2008
[4]. 与Virasoro代数相关的一类李代数的顶点表示[D]. 徐萍. 黑龙江大学. 2011
[5]. 2-toroidal代数的模与Kirillov-Reshetikhin模[D]. 汪春花. 华南理工大学. 2016
[6]. 无限维李（超）代数的结构与表示[D]. 徐崇斌. 华南理工大学. 2014
[7]. B_n～（1），C_n～（1），F_4～（1），G_2～（1）型广义顶点算子代数[D]. 张良. 河南大学. 2007
[8]. 顶点代数理论中若干问题的研究[D]. 楚彦军. 华南理工大学. 2010
[9]. Kac-Moody代数在U(h)上的模结构及其应用[D]. 蔡延安. 中国科学技术大学. 2015
[10]. 由六个顶点的箭图诱导的项链李子代数[J]. 余德民, 梅超群. 纯粹数学与应用数学. 2018