建构思想在新教材数学教学的实践探索，本文主要内容关键词为：新教材论文,数学教学论文,思想论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
建构主义的认识论从哲学的观点提出：知识并不是独立于观察者的客观世界，而是在现实世界中可以通过我们的感觉和经验来建构我们的知识.数学学习并非是一个被动的接受过程，而是一个主动的建构过程.也就是说一个人的数学知识必须基于个人对经验的操作、交流，通过反省来主动建构.《全日制普通高级中学教科书（必修）数学》（以下简称新教材）的内容编写就渗透着建构思想，在各章节中均有提出一些问题让学生自己探索解决.怎样把建构主义的学习理论融入平时的数学教学，凸显“以学生的发展为本”，让学生通过自己的探索，与同学、老师的互动交流反思来主动建构知识呢？笔者在这方面做了一些探索，下面以新教材第一册（下）4.7节《二倍角的正弦、余弦、正切》为例加以说明（学生为一般三级学校高一年级学生）.
一、对二倍角公式的主动建构
1.教材内容
教材给出填空式的公式：
sin2α=____，cos2α=_____，tan2α=_____.
利用sin[2]α+cos[2]α=1还可得：
cos2α=_____=_____.
2.教材简析
教材设置的问题是让学生自己探索sin2α，cos2α公式，这是一个好的问题，比起教师直接给出公式并证明给学生看要好得多.但从另一个角度来想，为什么要设定2α，而不是3α或（α/2）？为什么会想到这个公式，是如何发现的？推出sin2α，cos2α公式的目的是什么？这些让学生感到困惑不解，因为数学的许多概念在其发展的长河中如何被提出、发现，又如何被抽象、概括、推证成现在的公式的一系列过程常常被浓缩、修饰，隐去了一系列的思维活动过程.这些思维过程中蕴含着极其丰富的思维因素和数学思想，而只有当学生通过自己的思考建立起自己的数学理解力时才能真正学好数学.因此，教师必须重视思维过程的揭示，应尽可能让学生亲自参与“知识再发现”的过程.通过精心创设问题情境，模拟一种问题产生的实际背景，使学生有机会经历探索过程，更深刻地认识概念、公式、数学思想.正如陈重穆先生提出的“置问题于概念之前，由问题产生概念”那样，使学生在问题的激发下主动建构.笔者以问题为出发点来引导学生自主探索发现公式及其应用，设计如下教学内容.
3.教学设计
问题1 已知sin53°=0.8，求sin106°的值.
设置的问题是由本节44页练习3（已知sinα=0.8，α∈（0，（π/2）），求sin2α和cos2α的值）适当改换而来的.采用近似值是为了方便计算，用53°代替α或含α的复杂式子，可避开求cosα时符号的讨论（课本例1的情况）及变化的技巧，提高学生的可接受程度，减少障碍.学生通过自己探索、讨论发现106°=53°+53°，即可利用上节课公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ求解，接近学生思维的最近发展区，课堂上几个小组均在5分钟内讨论出解题方法：
sin106°=sin（53°+53°）
=sin53°cos53°+cos53°sin53°=2sin53°cos53°，这时只需求出cos53°即可.
反思1 教师接着问学生：从sin106°的求解过程中得到什么结论？学生回答：sin2α=2sinαcosα.
教师让学生自己证明.
问题2 已知sin53°=0.8，求cos106°的值.
学生得出：
方法1 cos106°=cos（53°+53°）
=cos53°cos53°-sin53°sin53°=cos[2]53°-sin[2]53°.
方法2 在方法1的基础上，利用sin[2]53°+cos[2]53°=1，得
cos106°=cos[2]53°-sin[2]53°=1-2sin[2]53°.
方法3 同方法2，得出cos106°=2cos[2]53°-1.
反思2 教师接着问学生：从cos106°的求解过程中得到什么结论？
cos[2]α=cos[2]α-sin[2]α=1-2sin[2]α=2cos[2]α-1.
有了问题1的基础，问题2完成的情况较好.方法1属于模仿性质，方法2和方法3均有部分同学做出，而且学生能评价出方法2最好.在10分钟内学生通过两个问题的解决发现sin2α、cos2α的公式及其简单的应用，调动了学生的积极性，也有时间让学生完成课本例1和课后练习，加深对公式及其直接逆向应用的理解.
问题3 若已知cos106°的值，如何求sin53°、cos53°的值？
反思3 从此题的求解过程中能得到什么结论？
（对sin[2]θ=（1-cos2θ/2）和cos[2]θ=（1+cos2θ/2）的理解应用，为下节课45页例4中的“α”到“（α/2）”的转变作铺垫，初步理解“升幂缩角”“降幂扩角”）
二、应用二倍角公式解决实际生活问题的主动建构举例
1.教材内容
新教材第一册（下）4.7节《二倍角的正弦、余弦、正切》课后习题；如图1，把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法能使横截面的面积最大（分别设边或角为自变量，并将解法进行比较）.
2.教材简析
（1）教材编写专家可能考虑到实际问题的解决对大部分同学来说难度较大，所以给予设边或设角两种解法的提示，而且想渗透设角利用sinα的最值解决最值问题的方法.
（2）从学生的解题情况来看，设边或设角两种解法对学生的障碍都很大.大部分学生采取设边的方法.设BC为x，CD为y，得y=
，S[，ABCD]=x，不知如何用二次函数的方法求最值.
（3）对于设角的方法，难度更大，大部分学生无法主动建构，需要老师提示或示范讲解再练习巩固，因为学生对为什么要连接DB，设∠DBC=θ得到CD=2Rsinθ，BC=2Rcosθ来解题感到突然或困惑，甚至可能连想都想不到这种方法解题.学生对用sinα的最值解决不同类型最值问题的方法感到十分陌生（以前是用二次函数的方法求最值），对于学生而言难度较大，障碍多.
3.教学设计
问题4 如图2，AB为半圆O的直径，C为弧AB上的动点（不同于A、B两点），若∠CAB=θ，AB=10.
①用含θ的式子表示S[，△ABC]；
②θ取何值时，S[，△ABC]最大？
利用学生熟悉的直角三角形的边角三角函数与面积关系来设置问题，直接设∠CAB=θ及AB=10，提高学生对问题的可接受程度，隐含2sinθcosθ=sin2θ及求最大值时对θ的讨论，为问题②的证明作铺垫，使学生对设θ来证题的方法不会感到突然和陌生.从课堂的讨论效果来看，学生在5分钟内能讨论解决第①个问题，
S[，△ABC]=（1/2）AC·BC=50sinθcosθ.
对第②个问题小部分学生遇到求最大值的障碍.可喜的是：一个学生提出第②题的另一种解法：S[，△ABC]=（1/2）AB·h[，AB]，把AB当作底边，它的高随着C点的运动而变化，当C点运动到弧AB的中点时，高的值最大为5，这时△ABC为等腰直角三角形，θ=45°.
教师把6个大小相同的圆形纸片分发到各个小组，并提出：
问题5 要在半径为R的圆形纸片上剪一个面积最大的矩形，该如何剪？如何证明剪下的矩形面积最大？
学生很快讨论出把圆形纸片折成（1/4）圆形纸片，沿（1/4）圆弧所对的弦剪下后展开成一个正方形，其面积最大.如何证明呢？一个学生马上提出“补形”，化未知为已知，即把问题4的半圆补成圆，等腰直角三角形补成正方形即可得出结论.而且大部分学生能用设∠DBC=θ的方法证明.
反思4 如果把问题5中的圆改成半圆或（1/4）圆，结果如何？说明理由.
问题6 如图3，有一块半径为R，圆心角为45°的扇形铁皮，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问：工人师傅是怎样选择矩形的四个顶点的？并求出面积的最大值.
三、教学感悟
反思是建构学说在教学实践中的主要体现，它是对主体建构活动的再建构，惟有反思，才能加深理解，提高自己的认识水平，才能促进数学观念的形成和发展，更好地进行建构活动，实现良好的循环.数学教学必不可少的一部分是加强学生的反思，反思主要有两条：一是教师要向学生提出明确的反思任务；二是教师创设问题情境让学生尽可能多地进行由不知到知的体验，让他们在所创设的情境中暴露思维过程，引起多方面的反思，而不是局限于忙碌的活动之中，而应常常反思他们的活动.反思1、2就是教师创设问题情境让学生探索后提出明确的反思任务：初步建立二倍角公式的知识结构并体验转化划归的数学思想.反思4是对主体建构活动的再建构，加深对利用二倍角公式确定圆内接矩形面积最值的理解；反思3让学生理解：二倍角公式不仅是指2α为α的2倍，它的本质是揭示两个角的倍半关系，如4α为2α的2倍，α为（α/2）的2倍，也可以用（α/2）代替α得到sinα=2sin（α/2）cos（α/2）等等.体现公式正逆方向的相互转化及公式的灵活变用，用辩证观点、函数观点来理解“升幂缩角、降幂扩角”的相互转化，逐步完成对公式的意义建构、提高思维能力.新教材在很多章节的内容编写上都渗透着建构思想，这对教师认真钻研教材、正确理解编写意图，灵活处理教材的能力提出了较高的要求.本文是在建构思想指导下的教学实践探索，不足之处敬请批评指正.