“补形法”——立体几何解题中的转化策略，本文主要内容关键词为：立体几何论文,策略论文,补形法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在复习空间几何体——柱体、锥体、台体和球的概念，与学生一起做了一道高考题：（2003全国）一个四面体的所有棱长都为
，四个顶点在同一个球面上。则此球的表面积为______。
与学生共同用传统法解决完后，有一位同学提出这样一种解法（本想作为后续课中的内容）——补成正方体的方法。该生的思想是这样的：如图1，该四面体是一个正四面体，可以认为是嵌在正方体中的。可以连接正方体六个面的对角线成为一个正四面体，这样很容易就求得正方体的边长是1，这样正方体的体对角线是
，而球的直径是，所求的表面积是3π。
学生通过比较传统法，要由棱长为算出外接球半径（或直径），运算量大，而通过自己对正方体的了解进行合情推理，构造正方体，会使问题直观化，从而达到解决的目的。
正（长）方体是一个很基本的多面体，所含线线、线面、面面的位置关系的内容十分丰富，通过构造正（长）方体解题，思路自然，方法简捷。“补形法”就是指将一个几何体补成另一个几何体（如常见的长方体、正方体、平行六面体等），然后在所补成的几何体中研究原几何体中的有关元素的位置关系及其计算的方法。究其本质就是一种图形的等价转化思想，巧用补形法，对解决常见立体问题，常能起到化繁为简、一目了然的作用。通过学生课后解题的反馈，笔者特意找了些补形的资料，结合近几年的高考题，来说明这种方法的常见运用，希望对学生有所借鉴。
一、正四面体补成正方体
例1 一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为(
)
A.3π
B.4π
C.
D.6π（2003年全国新课程卷）
补成正方体不但便于求距离，在一些复杂几何体中，比如两异面直线所成角，有时有些同学很难通过平移找到平面角，若能根据题目条件构造正方体来解，便能“豁然开朗”了。
例如，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于(
)度
A.90
B.60
C.45
D.30
通过正方体很容易发现，EF与SA所成角即为侧棱与面对角线所成的角，故选C。
变式1：（浙江卷14）如图2，已知球O点面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O点体积等于______。
因为AD、AB、BC是三条两两垂直相等的棱，所以可以补成以三棱为侧棱的正方体，CD就是所要找的体对角线，即外接球的直径。若AD、AB、BC的长度不相等但垂直可以补成长方体，由此归纳出第二种补法：
二、三条侧棱互相垂直的三棱锥补成长（正）方体
有时为避免一些烦琐的运算（由于运算量太大，有些学生不愿选择空间向量），可以通过补形达到事半功倍的效果：
由于三个侧面（投射面）两两垂直，故可以把它补成一个长方体，这样三条投影就成了长方体的面对角线，这面棱长就成了体对角线，一个抽象的三视图问题与我们再熟悉不过的长方体建立了等价关系，从而为找到它们的数量关系奠定了基础，再利用不等式的基本知识，问题就迎刃而解了。我们把这个三视图背景的问题总结为：
三、三条侧面互相垂直的三棱锥补成长方体
分析：四面体的三组对棱相等，联想到长方体中相对的面的面对角线长度相等，从而构造长方体。
四、对棱长相等的三棱锥补成长方体
有时一些课本典型例题的结论对我们的计算有很好的辅助作用，比如：
分析：只要直五棱台（或部分也可）就可用空间向量法解决出三个问题了。（略解）
补形法的基本思想即是图形间的等价转化，是一种化归的思想，本文通过几种常见的补形法的介绍，旨在让学生面对形形色色的几何体问题，多一种解决问题的途径。我们可以进一步认识到，要较好地使用补形法，往往与分割法是不可分的，平时应有意识地锻炼学生的分割意识，比如在一个长（正）方体中如何得到正四面体、对边相等的三棱锥等常见的几何体。只有经常有这样的逆向思维，才可以灵活地解决立体几何中角、距离及体积等问题。
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