以勾股为基，构建初中数学几何知识体系的设想——中国古算新用一例，本文主要内容关键词为：一例论文,几何论文,中国古论文,初中数学论文,体系论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题的提出
我国中学数学60多年来，变来变去，几乎无时不在“改革”之中.尤其以几何内容的处理，莫衷一是.在为学生“减负”的借口下，几何成了主要靶子，每次都是精简的对象，把几何内容几乎减得“体无完肤”，一部平面几何，简直是面目全非.现在我国最新的“课改”的初中数学课本，已无几何知识体系之可言.所谓“几何”者，无非是看看图形，折叠纸张，计算线段长短、面积大小而已.至于说“学几何培养学生逻辑思维”之说，早已经不知所云了.
但是，初中是我国所有公民必须接受的义务教育，初中数学是学生最为重要的基础知识，初中数学教育是我国公民基础教育的基础.对那些不能继续读书而走上社会的未来公民来说，初中数学就是他们以后赖以生存的“心中有数”之数了.所以，对待初中数学内容的选择和安排，是有关国家未来，有关众多公民生存权的大事，马虎不得.
众所周知，几何知识学习的重要意义在于，对青少年的逻辑思维能力的训练和培养.在几何教学中，学习逻辑推理，是不可替代的.像现在新初中数学课本那样，只是看图计算，并不是几何教学基本目的所在.但是学生学习几何的逻辑推理和几何证明，确实又存在困难.几何教学又必须进行改革.如何改革呢？除了删减几何知识体系，去掉几何推理和证明，就别无出路了吗？——非也.我们可以在几何知识体系本身的“优化”做些文章.
早在40多年前，张景中院士就进行过尝试：用三角形面积公式作为突破口，构建初中几何知识新体系，以面积计算公式为几何推理的帮手，把几何推理和证明，归结为几何演算.以后他又将此方法推而广之，发展为一套几何新知识体系，写成专著《几何新方法和新体系》.[1]
但是，张院士的想法和做法固然好，实行起来也有困难之处.我们在专著[2]中有过分析.第一，计算不能完全代替逻辑推理，不能将面积公式方法进行到底；第二，如果计算完全代替逻辑推理，则几何教学的本意又将失去.这就使我们处于两难的境地.
难道除此以外就没有别的路可走了吗？不然.我们又从我国古算中得到启示，用勾股和勾股术作为基础，试图构建起初中几何新的知识体系.
我们的设想是：初中几何知识内容，在小学数学对基本几何图形的认识基础上，限于三角形、多边形和圆，而以三角形为重点.主要讲全等三角形、相似三角形、解直角三角形，简单几何测量.
在上述几何知识中，以逻辑推理作为关联，建立起几何知识的逻辑体系，把逻辑推理，寓于实际问题及其解决之中.以实际问题作为引导，从具体问题中抽象出数学命题和计算公式，把直观与推理相结合，使逻辑与计算相结合.在解决实际问题中，建立起几何知识的理论体系，在解决问题中，进行逻辑推理的学习和训练.
二、中国几何学的历史源头
中国古算源远流长，而自具特点，那就是以问题和问题解决为目标，建立的算法体系，寓理于算.几何形象与数的算法紧密结合，将逻辑推理与直观的合情推理结合，理论与解决实际问题相结合，构建具有中国特色的数学理论体系.这种数学思想和数学知识体系构建，避免了单纯逻辑推理的堆砌，降低了学习的难度，适合于中小学学生的思维特点.在构建初中数学尤其是几何知识体系中，我们完全可以借鉴.以下就是我国古算中有关几何内容的简单引述，以作为我们以后讨论的基础.
（一）勾股，实用的产物
勾股定理，被认为是数学史上的第一定理.但是，它在东西方的数学发展史上的作用和地位，却大不相同.中国古代，勾股定理是归纳的结果，来源于人类进行实际测量（例如测量日影，兴修水利测量地势高下等）的实际活动.在古希腊，勾股定理则是演绎推理的结果，来源于几何理论.
相传在公元前三千年，中国大禹治水，左规矩，右准绳.这里所说的规矩、准绳，就是测量地势高下，治理水利的工具.其中“矩”是最重要的测量工具之一.
“矩”是由两条直木条制作而成的，构成直角尺（与现在所见到三角板不同，没有第三边——斜边），如图1所示.其中较短的边称为“勾”，较长的则称为“股”.其作用是用来画直角和垂线.但只有当勾与股这两边构成直角，才能准确测量高低远近.如果勾与股不垂直，那么用其来测量，便会差之毫厘，失之千里.但是，怎样才能保证“勾”与“股”这两边构成直角呢？这是个非常困难的现实问题.
矩的另一大作用是用来测量日影长度.中国自古以来就是“以农立国”，农作物的种植和收成，与季节关系极大.为了把握农时，制订历法就十分重要.而历法的制订，首先要确定一年的起始点.一年的时间循环往复，不知始终.起点如何确定呢？人们通过长期观察，发现对于同样一个人，或者一棵树，不同季节里的日影长度发生周期性变化.一年中有一天的日影最长，这一天定为冬至日；又有一天的日影最短，这一天定为夏至.因为日影长时易于观测，于是便将冬至确定为一年（回归年）的起始点.从冬至点到下一个冬至点，定为一个回归年.
那么，如何来测定日影比较准确呢？这又是个大难题.因为，如果日影测量不准确，一年的开头日子，就不准确，回归年的长度就不准确，农时安排就会发生错误，而影响农业收成.要想将日影长度测量准确，首先要用同样一根长度不变的测量标杆（称为表），将其直立于地面（即表与地平面垂直）.这又发生问题——怎样才能判断表与地面垂直呢？经过人们长期观察和试验，发现：如果直立的标杆只要两次与日影（看作一根木条或一条线段）垂直，那么这根树立的标杆就一定与地面垂直（这就可以看作是一条公理）.于是想到了“矩”.其办法是：将两个矩的直角顶点和一边（例如股边）重合，另两条边（勾边）相交成一个角度，将其放到地面上，如果两条勾边均平落在地面上，那么，矩的股边就垂直地面.此时将标杆与矩的股边重叠，就确定了表与地面的垂直位置.（如图2所示）.
（二）从勾三股四弦五到勾股定理
我们的祖先，在多次试验和实践，经过无数次失败之后，终于发现了“勾三、股四、弦五”的真理！即取勾长为三单位，股长为四单位，若能用一根五单位长的绳子将勾与股的两端恰好连接成“弦”，那么，这勾、股两条边，就一定垂直.由此定理（实际上是勾股定理的逆定理），便能够很方便地制作标准的测量工具——“矩”.这真是个了不起发现.
大家不要以为“勾三、股四、弦五”这只不过是勾股定理的特例，并不能算是发现了勾股定理.其实，这却是勾股定理的最重要的特例.而且这是中国古代劳动群众，在长期劳动实践中的伟大创造.人们利用这一发现，才能判定和制作两边垂直的矩，也只有用这样标准的“矩”，才能进行准确的测量，判定地势的高低远近，才能治理水患.我们可以这样合情推理：人们正是从这简单的特例，逐步发现勾股定理的一般情形.而反过来，若直接用勾股定理的一般情形，是绝对制作不出来两边垂直之“矩”的.
三、初中几何教材的构想
第一章 关于点、线、面的基本公理：
作为逻辑的起点，必须有一些人所共知的基本认识，规定为公理.在小学几何图形观念的基础上，可以提出以下几何公理作为几何逻辑推理的基础：
（1）平面上任何两点，可以连成一条直线.
（2）在任意一条直线的上可以取任意长度的线段，线段有两个端点.
（3）任意一条线段，可以向两端任意延长.
（4）任意两条直线可以相交于一点，也可以不相交.不相交的两条直线a，b，叫做平行线，记作a//b.
（5）过直线外一点，可以作，也只能作一条平行线.
（6）相交的两条直线a，b.如果沿其中一条直线对折，另一条直线两部分（射线）重合，则称此二直线垂直，记作a⊥b.（注意：不可以先用90度角来定义直角！）
（7）以任意一点O为心，以任意长度R为半径，可以作一圆，记为⊙（O，R）.
（8）从一点出发的两条直线构成一角，指定一面为角的内侧，另一面则为角的外侧.
（9）如果角的两边互相垂直，则称此角为直角.凡直角皆相等.
（10）规定直角的九十分之一为1度角，记为1°.四个直角，构成一个周角，二直角为一平角.故1周角=360°，1平角=180°.
第二章 基本几何作图
几何作图，在《几何原本》中地位很重要.五个几何公理中，前三个都是几何作图（作直线，作线段，作圆），在其余各章中也有大量的几何作图问题.特别是希腊三大几何问题（三等分角、二倍立方，化圆为方）都是几何作图问题.
在我国五六十年前高等师范学院经典教科书《平面几何复习和研究》（梁绍鸿编著）中，几何作图题，也占有很大比重；其中不少难题，均是几何作图问题.
但是，现在课改后的初中数学教材里，却难见几何作图问题，甚至基本作图（如作线段中点、作角平分线）都没有正式出现，这真是奇怪.其实，几何作图问题，不仅是几何学重要内容，而且其本身有很大的实际应用价值.例如，图案设计、制作几何图形商标，就首先要有几何作图技能，要有几何作图的规范.所以，在初中数学教材里，讲述几何作图问题，是不可缺少的内容.
在小学数学对基本几何图形初步认识基础上，首先要教会学生正确使用几何作图两种基本工具——圆规和直尺.然后可以讲述以下简单的基本作图方法：
（1）作一线段中垂线；
（2）作一线段的中点；
（3）过直线外一点，作平行线；
（4）过直线外一点，作垂线；
（5）作一个直角；作一个角等于已知角；
（6）将圆周六等分，作正三角形，作正六边形；
（7）作三角形的重心、垂心、内心、外心；
（8）作三角形内切圆、外接圆；
（9）求作点关于直线的对称点，作多边形关于直线的对称多边形；作关于定点的中心对称图形；
（10）求作三角形的费马点（费马点良好的几何性质，在实际中有很好的应用）等.
第三章 从勾股定理到勾股术、解直角三角形
中国古代的先贤们，不仅利用勾股定理（及其逆定理）制作标准的测量工具——矩，而且巧妙地利用“矩”或联合利用两个矩，进行各种复杂的测量工作，把勾股定理，发展成为一套解直角三角形的系统方法——勾股术（《九章算术》第九章）.
由a、b为勾股的直角三角形，称为“勾股形”（或简称为勾股）；以a、b为长、宽的矩形，称为勾股积.勾股术的应用，是以下列数学基本原理和基本算法为依据的：
1.基本原理
1°.（出入相补原理）两个图形分别分成个数相同、彼此面积相等若干部分，那么这两个图形的面积相等.
2°.矩形面积公式：以a、b为长宽的矩形，其面积S=ab.
3°.平行四边形面积公式：以a、h分别为底边和高的平行四边形面积S=ah.
4°.三角形面积公式：以a、h为底边和高的三角形面积
.
5°.矩形对角线将其分成两个等积勾股形.
6°.过矩形对角线上任意一点作二平行两边的平行线，将矩形分成四个矩形，其中不含对角线的矩形面积相等.
2.勾股定理和勾股术公式的证明
勾股定理证明：中国古代用的是直观方法——面积出入相补.
先举赵爽的弦图证法.弦图如图4：以弦长为边作正方形，以四边为弦，作四个勾股形，中间正好构成一个小正方形——称“黄方”，其面积为勾股差的平方.于是便有等式：
弦方=4勾股+黄方=4勾股+勾股差方.
若用a，b，c表示该勾股形的三边勾、股、弦，那么上述关系即为
此即勾股定理的结论.
刘徽也给出过一个图形证明法（如图5）：
将勾方、股方和弦方如图5安置，勾方与股方合起来，与弦方加以比较：在弦方以外有三个勾股形，分别为“1出”、“2出”、“3出”；而弦方内有三个勾股空缺.将外出的三个勾股形，移入“1入”、“2入”、“3入”，正好“出入相补”.因此勾方与股方之和等于弦方.这便证明了勾股定理的结论.
类似于此的图证法，后世数学家有多种设计.包括国内外发现的已知的图证法，竟有多达百种.作为数学活动，这可以让学生来一试身手.
3.勾股术
在勾股形中，除三边勾、股、弦以外，还有勾股和、勾股差（实际是大股减去小勾的差，下同），股弦和、股弦差，勾弦和，勾弦差，共计9个量.若已知其中任意两个量，就可以求出其他7个量.这就是通常的所谓“解直角三角形”.
利用以下公式，可以完成各种类型“解直角三角形”的问题.这在中国古算书《九章算术》中都有相应的例题.略举如下：
问题1 今有竹高一丈，末折抵地，去本3尺.问折断处高几何？（如图6所示）
分析 竹折断后触地，构成一勾股形，已知股弦和与勾，求股.
解 因已知股弦和=10尺，故只需求得股弦差即可.为此，作图7如下：置股方于弦方内.移股方外之左边小矩形于右下，则由弦方-股方=勾方=股弦和×股弦差.
将有关数值代入，便求得答案：股=4尺又二十分之十一尺.
由勾股定理和上述公式，求解直角三角形的所有问题，都可以得到解决.
第四章 三角形全等与相似
先定义全等勾股、相似勾股，再推向一般三角形的全等和相似.
定义1（全等勾股） 两个勾股形△ABC和△A′B′C′，若对应角相等，对应边也相等，则称这两个勾股形全等.
公理1（全等勾股形判定） 若两个勾股形△ABC和△A′B′C′有一边及一角对应相等，则二者全等，记为Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HA）；若有两边对应相等，二者亦全等（HL）.
由此容易推出下列定理：
定理1（三角形全等判定） 若两三角形△ABC和△A′B′C′中，有二角夹一边对应相等，则此二三角形全等（ASA）；或有二边夹一角对应相等，二三角形亦全等（SAS）；或三边相等，二三角形亦全等（SSS）.
证明 过三角形一角顶点作底边垂线，将其分为两个勾股形，则容易分别证明两对对应勾股全等.由此便知对应边、对应角相等，故原二三角形全等.
定义2（相似勾股） 两个勾股形（直角三角形）△ABC和△A′B′C′，其中C、C′为直角顶点.若二者对应角相等，对应边成比例，则称这两个勾股形相似，记为Rt△ABC～Rt△A′B′C′.
公理2（相似勾股形判定） 若二勾股形△ABC和△A′B′C′除直角外有一角相等，则二者相似.
由此定义可以推出一般三角形相似的判别准则：
定理2（相似三角形判定） 若两个三角形△ABC和△A′B′C′中，有两个角相等，那么这两个三角形相似.
实际上，设三角形△ABC和△A′B′C′中，角B、C与B′、C′分别相等，过A、A′向底边作高AD、A′D′，把三角形分成两个勾股形.则两对勾股形一定相似，故原来两三角形△ABC和△A′B′C′相似.
以上定理，可以让学生自己进行推理，或由师生共同探究证明.
选择适当三角形证明题和作图题，作为上述理论的应用.如研讨三角形四心的某些性质，并利用其来解决其他几何问题.
定理3（三斜求积公式） 知道三边长，求三角形的面积公式：
中国南宋时数学家秦九韶在所著《数书九章》中，用勾股术求得由三角形三边表示其面积的“三斜求积公式”.十分精彩.
设三角形ABC三边分别为“大斜”（a）、“中斜”（b）和“小斜”（c），过大斜边所对顶点作高h.则构成两个勾股形，如图8.
虽然秦九韶公式不如海伦公式对称，但在实际应用上，特别是当三角形三边为无理数时，秦九韶公式具有明显的优点.
第五章 几何测量——勾股术的应用
刘徽在为《九章算术》作注时，在第九章“勾股”之后，将勾股术发展为“重差术”，并举出九个远距离测量问题，来说明其方法的运用.后人将其专门辑为一本算书——《海岛算经》.这种不用角的概念的测量方法，被后人称为“不用角概念的三角学”.
问题2 （测量海岛，《海岛算经》第一题）今有望海岛，立两表齐，高三丈.前后相去千步.令后表与前表参相直.从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合；从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何？
说明和分析：这是一个有实际意义的测量问题.岛在海中，岛的高度如何测量呢？这确实是个难题.我国3世纪的数学家刘徽，用两个“表”做测量工具，仅用简单的数学知识，便可测知海岛高度.其所用的方法，即为“重差术”.方法如下：
用两根长度为3丈的表（直的测量标杆）立于地上，前后相距1000步，与海岛“参相直（两表与海岛立在一条直线上），分别从前、后表退后123步和127步，人目着地，使人眼、表的末端与海岛顶峰（即使G、A、E三点共线；B、C、E三点共线）在一条直线上.又补作直线，在图上连接成若干个矩形.如图9所示.
如图9所示，AB为表的高度，BD为两表之间距离，HK=GB为后表的“却行步数”，KL为前表的“却行步数”，而这些都是已知数据，故AK的高度可知，加上表的高度，即得海岛顶峰之高.于是有以下求海岛高度的公式：
这正是刘徽在《海岛算经》中给出的求海岛高度的公式.
现在通常的情况下，解决这样的远距离测量问题，都要借助三角测量.但刘徽却只用了两根标杆，应用面积原理和“重差术”，就简单地解决了.可谓巧妙矣！
如果说本题只用直尺而未用矩的话，那么下面一题，便要利用矩作为测量工具了.
问题3 （望深谷，《海岛算经》题4）今有望深谷，岸上仰卧一矩，令勾高6尺，从勾端测望深谷之底，视线入此矩之股9尺1寸.又置重矩于此矩之上，两矩之间相距3丈.更从勾端测望深谷之底，视线入上矩之股8尺5寸.试问谷深几何？
说明和分析：这是一个有实际意义的、从高山测量深谷的远距离测量问题.若实际测量有很大的难度，因为深谷是人难以下到底部去测量的.这里用的测量工具是两个“矩”，而且是“仰矩”，即将它的长边——股平放，以方便人用眼观察深谷底部，得出“入股”数据.两次用矩观察深谷所得数据是：勾高AB=CD=6尺，下矩入股BE=9尺1寸，上矩入股DF=KH=8尺5寸.两矩之间距离DB=30尺.要求谷深BH.
解法 连接成若干矩形，如下页图10.
为配合本章内容的教学，教师可以指导学生制作测量用的矩，并进行简单的实际测量活动，以提高学生学习兴趣和实地测量技能.
在实际测量时，用眼睛看来读取“入股”（DF、BE）数据，比较困难.为了方便，可以对测量工具——矩，进行改进.做成两边（OQ、QR）上带有刻度的正方形塑料板（或硬纸片），如图11所示的正方形OQRS，在其顶点O处安装一条细线，下有一重物（如栓一铁钉）；并使其一边长度等于矩的竖直勾边（OQ=CB）.测量时，从正方形角顶点O沿边OQ看谷底P点，使O、Q、P在一条直线上，让细线自然下垂.该细线接触正方形边QR上T点时，QT的长度（刻度数），就是仰矩时所读的“入股”数.
事实上，由图11可知，在直角三角形△CBF与△OQT中，由于OQ//CF，CB//OT，知Rt△CBF～Rt△OQT，而有CB：BF=OQ：QT.但由于CB=OQ，故BF=QT.即正方形板边QR上的长度QT，就是矩上的“入股”BF.但这样测量起来，就方便很多.不妨在教学活动中一试.
第六章 圆
1.与圆有关的线段：弦、切线、割线的性质和定理；
2.与圆有关的角：圆心角、圆周角、弦切角及相关定理；
3.与圆有关定理：相交弦定理、切割线定理、圆内接四边形定理，等；
4.圆内接正多边形作图，黄金分割问题及作图；
5.圆周率的演进，徽率和祖率；
以上就是试想中初中数学关于几何内容的基本构架.其意图是想从中国古代数学史中吸取营养，使初中数学（几何部分）具有故事性，趣味性，实用性，同时又有逻辑性、科学性和理论系统.虽然只是设想，但使初中数学、尤其是几何教学摆脱不受学生欢迎的困境，则肯定是可以尝试的.