约定的真理，本文主要内容关键词为：真理论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一门科学，其发展的程度愈低，它的术语就愈倾向于建立在一种未加批判的假定之上。这个假定是指：人们可以相互理解这些术语。伴随着精确性的提高，这个作为基础的假定，就逐渐地通过引进定义而得到替换。我们在这些定义之间所补充进来的相互关系，赢得了分析原理的地位。曾经被看作关于世界的理论，被重新构造为一种语言上的约定。因此，一些事情从理论走向约定，是某门科学的逻辑基础在取得进步过程中的附带产物。距离上的同时性概念就提供了这种进步的一个典型的例子：在通过定义来取代对这个短语的非批判的使用时，爱因斯坦选择了这样一种定义关系，以致于通过约定证实了在先前看来是似是而非的光速绝对性原理。但是，鉴于人们通常认为物理科学只能在这个方向上获得一种不彻底的进化时，并且认为它注定总会保留一种非约定性的学说要点时，过去几十年的进展就导致了一种广泛的确信：逻辑和数学纯粹是分析的，或者说，是约定的。与其说探询这种对比的有效性是眼下研究的目的，倒不如说探询其意义才是眼下研究的目的。
一
严格地说，一个定义就是关于记号缩写的一种约定（注：参阅罗素：《数学原则》 (The Principles of Mathematics)，Cambridge,1903年，第429页。）。一个简单的定义引进了某个特殊的表达式（比如说“公理”或“e”），作为某个复杂表达式［比如说“一千米”或
］的任意的简洁的记法。这个特殊的表达式被称为被定义项，而那个复杂表达式则被称为定义项。根据某种一般的方案，一个语境定义会建立起若干相互类似的由定义项与被定义项组成的对子。这些对子在数目上是不确定的。关于“tanx”的定义就是一个例子。通过这个定义，“tanx”成了“
”这种形式的表达式的缩写。从形式的观点看，通过这种方法引进的符号完全是任意的。对—个定义所作的全部要求是：从理论上说，它应该是无关紧要的，也就是说，在任何情况下，只要与先前的冗长记法保持意义上的一致，都容许使用所引进的简洁记法将该冗长记法清晰地消去（注：从目前的观点来看，一个语境定义可以是循环的，但是它只能仅仅将那些表达式包含在被定义项之中。在这些表达式中，循环的自变量有一个恒定的值；要不然，可消去性要求就会被动摇了。然而，这样的考虑不会产生什么后果，因为通过纯粹逻辑的方法，任何一个循环定义都可以转换成直接的定义。参阅卡尔纳普：《语言的逻辑句法》(Logische Syntax der Sprache),Vienna,1934年，第23、79页。）。
从功能上来说，定义并不是一个理论的前提，而是对理论进行重写的一种许可证。这种重写是通过用定义项替换被定义项或者用被定义项替换定义项来实现的。通过这样的替换，一个定义就传播了真理：它允许真实的陈述被翻译为新的陈述；而根据同一种记法，这些新的陈述也是真的。假定“基博的海拔超过6千米”这个陈述是真的，那么“公里”的定义表明了“基博的海拔超过6公里”这个陈述也是真的；假定“
”这个陈述也是真的。在任何情况下，通过定义所推论出的陈述都是真的，但这只是因为它是另外一个陈述的缩写，而这另外—个陈述之所以是真的，却不依赖于这个定义。脱离所有学说包括逻辑来考虑的话，一个定义是不能为最微不足道的陈述提供根据的；甚至“
”也是先前自我同一性的一种定义变换，而不是这个定义的一个自发的后果。
在某种不严格的意义上被称之为定义的逻辑后承的东西，因而就可以更精确地描述为一种通过定义对其进行缩写而得到的逻辑真理：当用定义项替换被定义项的时候变成了逻辑真理的某个陈述。在这个意义上，”就是切线的语境定义的逻辑后承。
无论人们一致地认为什么东西恰好是属于逻辑范围内的，我们都可以期待：通过定义对逻辑真理所作的缩写，人们把这种缩写看作是逻辑的而非超逻辑的真理。假如情况就是这样的话，前面的结论就表明了定义的逻辑后承就是逻辑真理自身。因此，在从定义逻辑地推出这一意义上声称数学真理是约定的，就等于声称数学是逻辑的一部分。这后一种声称并不代表着“逻辑”这个术语想任意地扩展自身的范围，以致想要把数学包括进来。在什么属于逻辑和什么属于数学上的一致一开始就被假定了，然后才断言：数学表达式的定义能够在逻辑表达式的基础之上构造出来，以致于所有数学真理都成了逻辑真理的缩写。
尽管从形式上说，通过定义而引进的符号是任意的，但是与这种任意的记号约定不同的东西却牵涉到一些可定义性问题；否则的话，任何一个表达式都可以被说成是根据任何一个表达式而成为可定义的。当我们提及可定义性的时候，或者当我们提及为一个给定的符号寻找一个定义的时候，我们在头脑中就拥有了关于这个符号的某种传统用法，此传统用法先于所提到的这个定义。在这种意义上，为了能够达到令人满意的结果，该符号的定义不仅必须满足关于清晰的可消除性的形式上的要求，而且必须与这里所说的传统用法相一致。对于这样的一致性，下述情况既是必要的也是充分的：在传统的用法上，该符号的每一段为真的上下文以及每一段为假的上下文，都将根据定义被解释成某个另外的陈述的缩写，后者在其符号的固有意义上也相应地为真或为假。因此，对于根据逻辑表达式而得到的数学表达式而言，当其定义据说已被构造出来的时候，所意味着的事情是：这些定义已经建立起来了；而且，通过这些定义，包含着这些数学表达式且在传统上被看作是真的或假的每一个陈述，都被解释为另一个相应地为真或为假的陈述的缩写；后者不出现那些数学表达式，只出现作为这些数学表达式之替身的逻辑表达式（注：注意：一个表达式被说成是根据（比如说）逻辑而定义的，不仅指这样的时候：它是一个简单的符号，并且，当要将其从一个语境中消除以让位于逻辑表达式时，只需单独应用一个定义就够了；而且指这样的时候：它是一个复杂表达式，并且，将其消除要求连续应用多个定义。）。
—个表达式将被说成是空虚地(vacuously)出现在一个给定的陈述中，如果用任何一个及每一个别的语法上可接受的表达式来替换它时，该陈述的真假并不改变。因此，对于空虚地包含着某些表达式的每一个陈述，都存在着一个由诸多陈述所组成的类，这些诸多陈述可以被描述为该给定陈述的空虚的变体。这些陈述的真假，与该给定陈述的真假是一样的；同样，在符号的组成上，这些陈述与该给定的陈述也是一样的，都具有某种特定的结构。但是，不同的地方在于：它们在该给定陈述的空虚成份的基础上，展示了所有语法上可能的变化。一个表达式将被说成是实质地(essentially)出现在一个陈述中，如果它出现在该陈述的所有空虚的变体中，也就是说，假如它构成了前面所提及的那个结构的一个部分。［注意：尽管一个表达式可以非空虚地(nonvacuously)出现在一个陈述中，它也可能不是实质出现，因为它的某些部分空虚地出现在这个陈述中。］
因此，假如我们特别地把α当作由所有逻辑表达式构成的类，那么上述情况就告诉了我们这样的事实：假如可以为所有那些实质出现在真陈述S中的非逻辑表达式构造逻辑定义，那么，S就变成了一个真陈述S″的缩写，并且S″仅仅实质地包含逻辑表达式。但是，假如S″仅仅实质地包含逻辑表达式，并且，当除了那些逻辑表达式的结构以外，一切都以语法上可允许的方式改变的时候，它因此仍然是真的，那么，S″的真值就只依赖于这些逻辑表达式，因此它也就是一条逻辑真理。由此，可以得出这样的结论：假如实质地出现在一个真陈述S中的所有非逻辑表达式都可以仅仅在逻辑的基础上被定义，那么S就变成了逻辑真理S″的一个缩写。那么，尤其地，假如所有数学表达式都能够根据逻辑被定义，那么仅仅实质性包含数学表达式和逻辑表达式的所有真陈述，就都变成了逻辑真理的定义缩写。
现在，比如说，一条数学真理“史密斯的年龄加上布朗的年龄等于布朗的年龄加上史密斯的年龄”，可以包含非逻辑和非数学的表达式。任何一条这样的数学真理，或者，它在其中作为定义缩写的另一个表达式，仍然将会由数学表达式及逻辑表达式的结构构成；这些数学和逻辑的表达式中充满了非数学和非逻辑的表达式，而后者是空虚地出现在前者中的。每一条数学真理，要么是一种只有数学表达式及逻辑表达式实质出现在其中的真理，要么是这种真理的一种定义缩写。因此，如果承认根据逻辑术语对所有数学表达式所下的定义，那么前述的结论就表明：所有数学真理都变成了逻辑真理的定义缩写，因此反过来它们也就是逻辑真理。因此，对于数学就是逻辑这个论点，下述的说法就是充分的：所有数学概念都可以在逻辑概念的基础上得到定义。
另一方面，假如某些数学表达式无法根据逻辑表达式来定义，并且假如所有数学都等同于逻辑的话，那么每一个包含着这种难以定义的表达式的数学真理，要么一定只是非实质地包含着它们，要么是仅仅非实质地包含这种表达式的真理的一个定义缩写；因为，尽管一条逻辑真理可能包含非逻辑的表达式，它，或者它是其定义缩写的某个另外的逻辑真理，必定只实质地包含逻辑表达式。有些人（注：比如，Russell,The principles of Mathematics,pp.429f.; H.Behmann，"Sind die mathematischen Urteile analytisch oder syntetisch”,Erkenntnis 4(1934),pp.8-10.）认为，就数学真理依赖于非逻辑概念而言，它们是下述假设性陈述的简写，这些假设性陈述把所谈论的数学分支中的所有公设(postulates)作为隐含假定包含在自身之内；他们所利用的正是这二者择一的说法。因而，假设“球体”和“包含”这两个几何学词项未在逻辑表达式的基础上得到定义，假设所有另外的几何学表达式都是用逻辑表达式及“球体”和“包含”来定义的，就像在亨廷顿那里一样；令（欧几里得）几何学的亨廷顿公设以及所有那些定理，都可以用定义项彻底取代被定义项的方法来展开，使得它们到头来只包含逻辑表达式及“球体”和“包含”；并且令如此展开的那些公设的合取可以表示为“亨廷顿（球体，包含）”；那么，只要“Φ（球体，包含）”是这些定理中的任何一个，并类似地可以展开成那些初始词项，这里所考虑的就是这样一种观点：“Φ（球体，包含）”，就其可被构想为一条数学真理而言，将被视为“假如亨廷顿（球体，包含），那么Φ（球体，包含）”的一种简写。由于“Φ（球体，包含）”是亨廷顿公设的逻辑后承，因而上面的假设性陈述是一条逻辑真理；它非实质地（事实上是空虚地）包含了“球体”和“包含”两个表达式，因为那些定理从那些公设的逻辑可演绎性是独立于“球体”和“包含”的意义的，并且，在用无论什么语法上可允许的表达式替换这些表达式之后仍然可以存留下来。由于承认了亨廷顿公设的合适性，因此所有那些、并且只有那些几何学陈述是几何学真理，它们是“亨廷顿（球体，包含）”这种形式的逻辑后承。所以，当按上述方式把它们解释为一组假设性陈述的约定性缩写时，所有几何学都成了逻辑。
但是，假如，作为一条数学真理，“Φ（球体，包含）”是“假如亨廷顿（球体，包含），那么Φ（球体，包含）”的缩写，那么，作为这个被展开了的陈述的一部分， “Φ（球体，包含）”仍然作为初始陈述存在着。这仍然可以作为一个可能真的陈述被保留在某套学说（暂且比如说，“非数学的几何学”）之内，即使数学真理的头衔被限定在所讨论的那个完整的假设性陈述上。由所有这些假设性陈述构成的体系，可以描述为“非数学几何学的演绎理论”，它当然是逻辑的一部分。但是，这同样的说法对于任何一种“社会学的演绎理论”、“希腊神话学的演绎理论”等等也是成立的；借助于任何一组适合于社会学或希腊神话学的公设，我们可以用类似的方式把这些理论构造出来。对所考虑的几何学的这样一种看法，于是就只不过等于把它从数学中驱逐出去，并把它降低到社会学或希腊神话学的地位。把“非数学的几何学演绎理论”描述为“数学几何学”，是一种语词上的绝技。这种绝技对于社会学和希腊神话学也是适用的。因而，通过把所有难以定义的数学真理看作是缩写的假设性陈述而把数学合并到逻辑中去，事实上只是限制了“数学”这个术语的使用范围，并把那些难以定义的分支从数学中排除出去。但是我们对这种重新命名的做法并不感兴趣。那些学科，例如几何学及其他学科，传统上都被归类到数学当中；并且，它们就是我们目前所讨论的对象。我们在这里所关心的，正是这种意义上的数学就是逻辑这一学说。（注：显然，前述的讨论与公设方法本身是没有什么关联的，并且与亨廷顿的工作也是没有关联的。）
放弃这种选择并回过头来，我们则会发现，假如某些数学表达式无法通过逻辑表达式来定义，那么只是在下述假定的情况下数学才会被还原为逻辑：从字面的意义来理解，并且不对这些假设进行无根据的合并，每一条数学真理都仅仅非实质地包含这类难以定义的表达式（如果有的话），或者说，它是仅仅非实质性地包含这类表达式的陈述的一种缩写。但是，对于一个足够麻烦以致无法根据逻辑对其做出明显的语境定义的数学表达式，几乎不能期望它会如此无关紧要地出现在所有的数学语境中。于是，为了使数学就是逻辑这样的论点能够站得住脚，所有数学表达式都能够仅仅根据逻辑表达式来定义，这一要求似乎不仅是充分的，而且也是必要的。
如果我们眼下承认，一切数学都是以这样的方式（注：“这样的方式”指的是罗素和怀特海在《数学原则》中所采用的方式。在原文中，此处前面有关于这种方式的论述，在这里的译文中被省略了。——译者注）通过定义从逻辑中构造出来的，那么在某种相对的意义上，数学就是通过约定而成为真的：数学真理就变成了逻辑真理的约定的抄本。也许，当我们断言数学是通过约定而为真时，这就是我们许多人想要断言的一切；至少，一个分析陈述，通常仅仅被解释为从逻辑和定义中推演而来的陈述，或者仅仅被解释为通过用定义项取代被定义项而成为逻辑真理的陈述（注：参阅弗雷格：《算术基础》(Grundlagen der Arithmetic,Breslau,1884)，第4页；伯曼：《数学判断是分析的还是综合的？》("Sind die Mathematischen Urteile aualytisch oder synthetisch?")，载《认识》杂志(Erkenntnis)1934年第四期，第5页；卡尔纳普在《语言的逻辑句法》(Logische Syntax der Sprache,Vienna,1934)中在基本相同的意义上使用了这个术语，但被他作了细致和严格的处理。）。但是，严格说来，我们不能认为数学纯粹是通过约定才为真的，除非数学打算还原到其上的所有那些逻辑原理也同样地是通过约定而为真的。数学是分析的这一学说，与它初看起来相比，对哲学实现了一种较为不根本的简化，假如它仅仅断言了数学是逻辑的一种约定的抄本，而没有反过来也断言逻辑是约定的；因为，假如我们最终将确实赞成某些独立于约定的先验原理，我们将不会迟疑不决地承认一些其它的原理，也不会把根本的重要性归于只适合用来通过把这些原理还原成别的原理而减少其数目的约定。
但是，假如我们也把逻辑解释为是通过约定而为真的，那么我们必须使逻辑最终依赖于某种不同于定义的约定方式；因为人们较早的时候就注意到了，定义只宜用来转换真理，而不宜用来建立真理。同样的说法也适合于数学中的某些真理。与刚才的设定相反，这些数学真理可能无法通过定义的方式还原到逻辑。假如这样的真理将是起源于约定的，而不会仅仅被还原到先前的真理，那么它们一定也是起源于一种不同于定义的约定。在对公设的使用中，人们认识到了另外的这样一种约定。这种约定产生真理，而非仅仅转换真理（注：关于作为约定的公设，它的功能最早似乎是被格桂勒(Gergonne)认识到的。他把它们命名为“隐含定义”(implicit definitions)。这种称呼在某些文献中被效仿。本文没有使用这一名称。）。下一节的内容就是讨论如何把这种方式应用到逻辑中去；然而，在有利于对总体方案给出清晰的语言学上的约定形式这一前提下，翻译公设及推论规则的惯常方式将会受到背离。
二
让我们设想已为逻辑学构造了最大量的适当的定义，以致我们只拥有一串几乎是尽可能少的初始符号。存在着构造这些定义的一些方式，这些方式的数量是不确定的，但所有这些方式都与所说的这些表达式的同一种用法相一致。除了要达到以极少数的表达式去定义多数的表达式这一目标外，对这些方式的选择是以方便或者是以偶然因素作为指导的。不同的选择涉及到不同的初始符号集。假设在我们的步骤中把并非—习语(not-idiom)、假如—习语（if-idiom，“如果…那么…”）、每个—习语（every-idiom，“不管x可能是什么，———x———”）以及其它的一两个习语算作必不可少的初始符号，那么，所有其它的逻辑符号都将被设想为在这些习语的基础上得到了定义。所有包含任何其它逻辑符号的陈述，都被解释为其逻辑构成成分被限定在这些初始符号范围内的陈述。
“或者”(or)是一个联结词，它把若干陈述连接起来以便形成新陈述。在并非—习语和假如—习语的基础上，人们易于对它做出下面的语境定义：由“或者”连接起来的一对陈述，是相继由四个成分组成的陈述的缩写；这四个前后相继的成分是：第一个成分为“假如”；第二个成分为这对陈述中的第一个陈述，并用“并非”插在其间以便约束主要动词（或者，将“下述这种说法是假的”作为前缀）；第三个成分为“那么”；第四个成分为这对陈述中的第二个陈述。假如我们使用前缀“～”作为一个表示否定的人工符号，例如我们不写“冰不是热的”或者“这样的说法是假的：冰是热的”，而写“～冰是热的”，那么这种约定就变得较为清楚了。只要“———”和“——”是任意的两个陈述，那么我们的定义就会引进“———或者——”作为“如果～———那么——”的缩写。通过把“———并且——”解释为“～如果———那么～——”的缩写，“并且”(and)作为一个连接若干陈述的联结词，也可以从语境上得到定义了。每一个这样的习语通常都被叫做真值函项(truth function)。它的特征在于这样的事实：它所产生的复杂陈述的真或假，唯一地由它所结合起来的那几个陈述的真或假来决定。人们知道，就像在上述的这些例子中一样，所有真值函项都是从并非和假如两个习语中构造出来的（注：谢弗(Sheffer)已经指明了用一个习语来构造这两个习语的一些方法。因此，严格地说，在我们貌似最小量的逻辑初始符号集中，这样的一个习语应该代替这两个习语。然而，通过保留多余的一个，解释将会变得容易。）。那么，所有其它的逻辑符号，就都被设想为是在真值函项以及我们其它的初始符号（即每个以及其它的习语）的基础上得到定义的。
通过历史的或其它的偶然事件，一个词可以唤起一串与其上下文的真或假不相干的观念。然而，从与内涵(connotation)相区别的意义(meaning)这一角度看，一个词可以说是在其上下文的真或假被决定的任何一种程度上被决定的。对真或假的这种决定可以是直接的，并且，这个词的意义也在那种直接的程度上被绝对地决定了；或者，它可以与包含其它语词的那些陈述的真或假相关联，并且，这个词的意义也在那种程度上与那些其它语词相关联地被决定了。一个定义把对意义的完全的决定性赋予了一个词，而对意义的这种决定与其它语词相关联。但是，在引进一个新词时，通过详细确认那些将会为真的上下文和那些将会为假的上下文，决定其意义的另外那条途径也在我们所喜欢的任何程度上，绝对地向我们敞开着。事实上，我们需要详细确认的仅仅是前者，因为假可以被看作一种派生的性质，并依赖于“～”这个词。这样，“———”的假就仅仅意味着“————”的真。由于我们的新词的所有上下文在开始时都是无意义的，既不真也不假，因此我们可以随意地对这些上下文审视一下，并把我们所喜欢的那些上下文当作真的挑出来。根据规定，以及根据语言学的约定，那些被挑选出来的上下文就成为真的了。对于那些对它们表示怀疑的人，我们总是可以给予相同的回答：“你是以不同的方式使用这个词的。”读者可能会抗议说：我们把某些上下文选作真的，但这种挑选的随意性，是受相容性要求所限制的，比如说，我们一定不能把“———”和“～———”都选作真的。读几页之后，这种考虑将会获得一种较清晰的地位；但是，眼下我们暂且将它忽略过去。
现在，特别假设我们从习语“如果——那么”“并非”（或者说“～”）以及我们的其余逻辑初始符号的现有习惯用法中进行抽象，以便它们暂时成为无意义的符号，而先前包含它们的那些陈述也失去了作为陈述的地位，并且也同样地变得无意义，既不真也不假；同时假设我们浏览了所有那些先前的陈述（或者我们想浏览多少就浏览多少），并任意地把它们作为真的陈述各自分离开来；那么，无论我们将这种步骤贯彻到什么程度，我们就在这种程度上决定了起初本无意义的符号（即“如果”、“那么”、“～”及其余符号）的意义。像这样我们将其解释为真的上下文，是通过约定而为真的。
我们早些时候发现，假如所有那些实质地出现在真陈述S中且不属于类α的表达式，都仅仅是根据类α的分子而得到定义的，那么S就成了一个真陈述S″的一种定义缩写，而S″仅仅实质地包含α的分子。现在令α只包含我们的逻辑初始符号，并且令S是一个陈述，该陈述在通常的用法上是真的，且仅仅实质地包含逻辑表达式。由于所有不同于初始符号的逻辑表达式都是通过初始符号得到定义的，那么就可以推出这样的结论，即：S是一个只实质地包含初始符号的真陈述S″的缩写。但是，假如一个陈述S是另一个陈述S″的定义缩写，那么S的真就全部来自于语言上的约定——假如S″的真也是这样的话。因此，假如在上述通过赋予我们的逻辑初始符号以意义而任意地将某些陈述作为真陈述分离出来的过程中，我们对在通常用法上是真的且仅仅实质地包含着初始符号的那些陈述进行了赋值，那么，不仅后面这些陈述将是根据约定为真的，而且所有那些在通常用法上是真的且仅仅实质地包含着逻辑初始符号的陈述也将是这样。由于，就像早先所说的那样，每一条逻辑真理，或者仅仅实质地包含着逻辑表达式，或者是仅仅实质地包含着逻辑表达式的另一条真理的缩写，因此，所描述的这种赋值方案使得所有逻辑真理都是根据约定为真的。
这样的赋值，不仅足以使得所有那些在通常用法上是真的且仅仅实质地包含着逻辑表达式的陈述，都是根据约定为真的，而且也可以使得所有那些在通常用法上是假的且仅仅实质地包含逻辑表达式的陈述，都是根据约定为假的。这种结论是从我们把“———”的假解释为“～———”的真这一做法中得出的，因为当且仅当“～———”在通常用法上是真的， “———”在通常用法上才将是假的。这样，所描述的这种赋值，就大大有助于确定所有逻辑表达式的意义，并且是在与通常用法相一致的情形下确定的。仍然还有许多包含着逻辑表达式的陈述，不能通过所描述的这种赋值得以确定；这样的陈述是指所有那些从通常用法的角度来看实质地包含着某些非逻辑表达式的陈述。因此，除了所描述的这种赋值外，这就为补充一种或另外一种约定带来了余地。这种补充，将通过完全确定我们的初始符号的意义而达到；对我们的初始符号的意义的确定，则要与通常的用法相一致，这也是人们所希望的。目前，这样的补充与我们无关。所描述的这种赋值，对意义提供了某些不完全的决定。这些决定，在其所及范围内，与通常用法相一致，并且足以使得所有逻辑真理都是通过约定为真的。
但是，我们一定不要被这种图解式的描述所欺骗。我们坐下来写下一串表达式，勾出所有那些在通常用法上是真的且仅仅实质包含着我们的逻辑初始符号的陈述，并把所勾出的这些表达式当作是任意地为真的表达式。但是，当我们经过深思后认识到，这种陈述的数目是无限多的时候，这幅图画就渐渐变小了。假如那些陈述由之被作为真陈述挑出来的这种约定将用有限的词项系统地表述出来，我们必须利用数量上有限的前提，这些有限的前提决定了无穷多的由表达式所构成的类（注：这样的一个前提，就是构成了一个形式系统的所有东西。通常，我们把这样的意义赋予这些符号，以致于把这个类中的表达式解释为陈述，特别是真陈述即定理。但是，在所有情形下，对于有意义地应用这个系统而言，这既非本质的，也非必要的。）。
容易获得这样的前提，它伸手即来。有一个前提，是通过用一个陈述代替“p”，一个陈述代替“q”，一个陈述代替“r”，从下述(1)中获得的：
(1)假如假如p那么q，那么，假如假如q那么r那么假如p那么r。
这个前提决定了一个由诸多表达式所构成的无穷的类，其中的所有表达式都是真陈述，且仅仅实质地包含我们的初始符号假如—习语。在更习惯性的语言中，为了清晰性的缘故，形式(1)可以用某种这样的形式展开：“假如这种情况即如果p那么q是真的，那么，假如这种情况即如果q那么r也是真的，那么，假如p那么r”（注：用形式化语言表示，就是：(p→q)→((q→r)→(p→r))。——译者）。因而形式(1)就是三段论原理。显然，对于用陈述对“p”、“q”、“r”所作的一切替换，它在通常用法上都是真的。因而，替换所得到的这些结果，在通常用法上都是一些只实质地包含着假如—习语的陈述。在我们对所有那些在通常用法上是真的并且仅仅实质地包含我们的逻辑初始符号的陈述进行赋值的计划中，一个无穷的部分因而就通过下述约定完成了：
（Ⅰ）令在(1)中用一个陈述替换“p”，一个陈述替换“q”，一个陈述替换“r”所得到的所有结果都是真的。
通过加上下述约定，这个计划的另一个无穷部分就得到了解决：
（Ⅱ）令任何一个这样的表达式都是真的：在“假如p那么q”中用一个真陈述替换“p”所得到的结果，当其中的“q”被替换时，该表达式可以产生一个真陈述。
给定了真陈述“———”及“假如———那么——”， （Ⅱ）就会产生真陈述“——”。（Ⅱ）与习惯用法相一致；也就是说，从那些在通常用法中为真的陈述中，（Ⅱ）仅仅会产生那些在通常用法中也同样为真的陈述。这一特点可以从这一事实中看出：在通常用法中，一个陈述“——”总是真的，假如陈述“———”和“假如———那么——”是真的。给定了由（Ⅰ）所产生的所有真陈述，（Ⅱ）就会产生另外一类无穷多的真陈述；同前者一样，在通常用法中，这种无穷多的真陈述，也仅仅实质地包含假如—习语。从以下所述的内容中，可大致看出这种情况是如何形成的。由（Ⅰ）所产生的、具备形式(1)的那些真陈述，都是具备“假如———那么——”这种形式的复杂陈述。这里，陈述“———”尤其也可能进而具备(1)的形式；因而，根据（Ⅰ），它也同样是真的。那么，通过（Ⅱ），“——”也成为真的了。一般说来，“——”不会具备(1)的形式，因而它不是单单通过（Ⅰ）就可以得到的。在每一种这样的情况下，“——”都将仍然是一个在通常用法中是真的且仅仅实质地包含着假如—习语的陈述；这种情况产生于（Ⅰ）和（Ⅱ）与用法的一致性，以及这样的事实，即：在用“假如—那么”所定义的适当结构以外，上述推导假如“——”对于“——”是不作任何要求的。
现在，我们的真理库不仅拥有了那些单单由（Ⅰ）所产生的真陈述，即那些具备形式(1)的陈述，而且也拥有了由（Ⅰ）出发并通过（Ⅱ）可导出的所有那些真陈述，导出的方式则与刚才设想了“——”被导出的方式是一样的（注：后者事实上包括所有那些（且仅仅包括那些）具备下述形式的陈述：假如假如假如假如q那么r那么假如p那么r那么s，那么，假如假如p那么那么s。）。从这个被增加了的真理库中，我们仍然可以通过（Ⅱ）导出其它的真陈述，而且这些陈述在通常的用法中也将同样是真的，并仅仅实质包含着假如—习语。产生真陈述的这种行为，可以按照这种方式无限地进行下去。
当仅仅提供（Ⅰ）作为真陈述的辅助来源时，（Ⅱ）就因此仅仅产生在通常用法中的、仅仅实质地包含着假如—习语的陈述。然而，当提供更进一步的真陈述的辅助来源——比如说下面将要叙述的约定（Ⅲ）时， （Ⅱ）就会产生包含其它更进一步的习语的真陈述。事实上，（Ⅱ）的效力甚至并不限定于在通常用法中仅仅实质地包含着逻辑习语的陈述之上；对于别的陈述，（Ⅱ）也起到了规范的作用，它明确规定：没有两个陈述“———”和“假如———那么——”可以都是真的，除非“——”是真的。但是，我们不必让这多余的规定所搅乱，因为它也与通常的用法相符合。事实上，较早的时候，我们说过：除了所描述的那些赋值方法外，通过进一步决定我们的初始符号的意义，依然为补充一些约定留下了余地。这个多余的规定只是为了假如—习语才做出的。对于甚至是这样的一个陈述，即一个从通常用法的观点来看实质地包含着逻辑表达式的陈述“假如———那么——”，它规定了：假如“———”是真的而“——”不是真的，这个陈述就不是真的。
但是，现在所要关心的，是那些在通常的用法中仅仅实质地包含着我们的逻辑初始符号的陈述。通过（Ⅰ）和（Ⅱ），我们规定了一组具有无穷数目的这类陈述的真值，但绝不是全部。下述的约定规定了另一组具有无穷数目的这类陈述的真值。与前一组相比较，在通常的用法中，这组陈述不仅实质地包含了假如—习语，而且也实质地包含了并非—习语。
（Ⅲ）令在“假如p那么假如～p那么q”或者“假如假如～p那么p那么p”中用一个陈述替换“p”并用一个陈述替换“q”所得到的所有结果都是真的（注：（Ⅰ）和（Ⅲ）中的两个公式是卢卡西维奇关于命题演算的三个公设。）。
在“假如P那么假如～p那么q”中以这样的方式通过替换所产生的陈述，都是具有假设形式的陈述；在这种假设形式中，两个相互矛盾的命题作为前提出现。显然，在通常的用法中，无论把什么东西想象为结论，这些陈述都只在微不足道的意义上是真的。通过在“假如（情况是这样的：）假如～p那么p，那么p”中进行替换所产生的陈述，在通常的用法中也是真的；这是因为人们是按照下述方式推理的：令这个假设即假如～p那么p是正确的，那么我们必须承认这个结论即p，因为甚至在我们否定它时，我们也就承认了它。这样，在（Ⅲ）中所提到的所有替换结果在通常的用法中都是真的，不管这些用来替换的陈述可能是什么。因此，在通常的用法中，这样的替换结果就是一些真陈述；这些真陈述除了假如—习语和并非—习语（“～”）以外不再实质地包含任何东西。
从在（Ⅲ）中被承认的真陈述以及在（Ⅰ）和（Ⅱ）中已经得到的那些真陈述出发，（Ⅱ）产生了无穷多个真陈述。奇怪得很，（Ⅲ）甚至碰巧就相当于储藏我们下述这类陈述的真理库：在通常的用法中仅仅实质地包含假如—习语的那些陈述。存在着那样的一类真陈述，它们虽然不包含并非—习语，但它们是通过（Ⅰ）—（Ⅲ）而获得的，而不是通过（Ⅰ）和（Ⅱ）获得的。这种情况对于（例如）同一性原理的任何一例来说都是真的，比如说：
(2)假如时间是金钱，那么时间是金钱。
作为通过这些约定而产生真陈述的一般方式的一个例证，这种情况即从（Ⅰ）—（Ⅲ）中获得了(2)，将是有启发意义的。在开始的时候，（Ⅲ）指示我们承认以下这些陈述是真的：
(3)假如时间是金钱，那么，假如时间不是金钱那么时间是金钱。
(4)假如假如时间不是金钱那么时间是金钱，那么，时间是金钱。
（Ⅰ）指示我们承认下面这个陈述是真的：
(5)假如假如时间是金钱那么假如时间不是金钱那么时间是金钱，那么，假如假如假如时间不是金钱那么时间是金钱那么时间是金钱，那么，假如时间是金钱那么时间是金钱。
（Ⅱ）告诉我们，根据(5)和(3)的真值，下面这个陈述也是真的：
(6)假如假如假如时间不是金钱那么时间是金钱那么时间是金钱，那么，假如是时间是金钱那么时间是金钱。
最终（Ⅱ）告诉我们，根据(6)和(4)的真值，(2)是真的。
假如一个陈述S是由（Ⅰ）—（Ⅲ）产生的，那么显然，只有仅仅根据“假如—那么”和“～”而得到的S的结构，才同这种产生相关联。因此，S的所有那些变项
，也类似地是由（Ⅰ）—（Ⅲ）产生的；通过对S中不包含“假如”、“那么”或“～”等习语的成分作任何一种语法上允许的替换，可以获得S的那些变项。既然我们注意到了（Ⅰ）—（Ⅲ）与通常的用法相一致，也就是说， （Ⅰ）—（Ⅲ）仅仅产生在通常用法上为真的陈述，因而，S及所有的在通常用法上也都一致地为真，因此也就是S的空虚变体，并因此也只有“假如”、“那么”及“～”三个习语才实质地出现在S中。因而（Ⅰ）—（Ⅲ）仅仅产生在通常用法上只包含假如—习语和并非—习语的真陈述。
还可以表明，（Ⅰ）—（Ⅲ）会产生所有这样的陈述。这样，借助于用我们的初始符号所表示的我们的逻辑习语的定义，（Ⅰ）—（Ⅲ）就足以产生在通常用法上作为真陈述且包含任何一个所谓的真值函项却不实质地包含任何其它东西的所有那些陈述；这是因为，我们已经说过，所有这些真值函项都是可以在假如—习语和并非—习语的基础上得到定义的。所有这样的陈述，因而都是根据约定而真的。它们包含了所有那些作为任何一种所谓的命题演算原理的各种实例的陈述。
我们现在可以把另外一两个约定加到（Ⅰ）—（Ⅲ）上，以便涵盖我们的另外一个逻辑初始符号，比如说，每个—习语。通过规定我们剩下的逻辑初始符号，只要再往这个方向稍微前进一点，这个计划就完成了。在通常用法上作为真陈述且仅仅实质包含我们的逻辑初始符号的所有陈述，都是通过约定为真的。就像早先所观察到的那样，所有逻辑也随之通过约定成为真的。因此将被补充到（Ⅰ）—（Ⅲ）上的约定，将比（Ⅰ）—（Ⅲ）更复杂，并需要大量的篇幅来讨论它们。但是没有必要这么做，因为（Ⅰ）—（Ⅲ）对这种方法提供了充分的说明。（Ⅰ）—（Ⅲ）是对一个命题演算系统的一种调整；在同样的方式上，这组数量上完全的约定是对各种现存普通逻辑系统之一的一种调整。
根据哥德尔定理，被选择的这个系统，确实一定留下了某些未被决定的逻辑陈述，假如我们对逻辑词汇进行大幅度限制的话。但是，无论如何，对逻辑来说，就其算作真的而言，它依然是通过约定为真的。
三
我们已经看到，通过对我们的逻辑初始符号的各种各样的上下文进行约定性赋值而从意义上对它们所作的限定，就使得所有逻辑都通过约定而成为真的了。因而，假如我们承认数学就是逻辑这个论点，也就是说，承认所有数学真理都是逻辑真理的定义缩写，那么，数学就是通过约定为真的。
假如，另一方面，与数学就是逻辑这个论点相反，某些数学表达式无法通过逻辑表达式来定义，那么，我们可以把前述方法扩展到这些无法定义的表达式的范围内：通过对它们的各种各样的上下文进行约定性赋值，我们可以对后者做出限定，并由此在与逻辑被判定为真的同样方式上，使得数学也约定性地(conventionally)（注：在奎因的这篇文章中，“by convention”和“conventionally”具有不同的含义。前者被译为“通过约定”或“根据约定”，后者被译为“约定地”或“约定性地”。后者的意思是指：我们可以相互约定或者说是规定逻辑学是真的，但这种约定或者说规定具有任意性，因为约定本来就带有人为的性质。前者的意思是在后者的基础上得到说明的，它指的是：如果我们相互之间约定逻辑为真，那么，当我们把数学看成是逻辑的一部分，或者说，当我们认为数学就是逻辑真理的定义缩写时，数学也因而就是真的；这时我们就可以说数学是通过约定或者说根据约定为真的。——译者）被判定为真的。因而，设想某些数学表达式无法获得逻辑上的定义，并设想它们被归约为一组尽可能少的数学初始符号，那么，根据这些数学初始符号以及我们的逻辑初始符号，所有其它的数学表达式都被设想为得到了定义，所有包含后者的陈述都变成了凭借数学记法而只包含初始符号的那些陈述的缩写。这里，就像早先在逻辑中所说的那样，存在着两种可供选择的定义方针，并且因此也存在两组可供选择的初始符号；但是设想我们的步骤把“球体”和“包含”也算到了我们的初始符号中来了。到此为止，我们拥有了一组约定，即（Ⅰ）—（Ⅲ）和其它的几个约定。让我们把其它的这几个约定称为约定（Ⅳ）—（Ⅶ）。（Ⅰ）—（Ⅲ）和（Ⅳ）—（Ⅷ）一起限定了我们的逻辑初始符号，并产生了全部的逻辑。通过限定另外的两个初始符号即“球体”和“包含”，让我们现在把下面这个约定加到这组约定中去：
（Ⅷ）令“亨廷顿（球体，包含）”是真的。
既然我们在较早的时候发现，只要“Φ（球体，包含）”是任何一个被设想为展开成初始词项的几何学定理，那么陈述：
(7)假如亨廷顿（球体，包含），那么Φ（球体，包含）
就是一条逻辑真理。因此，(7)就是一个通过约定（Ⅰ）—（Ⅶ）而被赋值的表达式。现在，鉴于约定（Ⅷ）以及(7)的真值，（Ⅱ）要求我们承认“Φ（球体，包含）”是真的。我们发现，按照这种方式，每一条几何学定理，都出现在通过约定（Ⅰ）—（Ⅶ）而被赋值的这些陈述中间。
我们已经考虑了四种解释几何学的方式。一种方式是在以《数学原理》为代表的发展方向内，直接在逻辑表达式的基础上对几何学表达式进行定义。按假定，这种方式依赖于通过分析几何的关联而达到的几何与代数之间的同一，以及像在《数学原理》中那样在逻辑表达式的基础上对代数表达式所作的定义。通过向那些对《数学原理》中的某些技术要点找岔子的人做出让步，这种可能性就被允许保留在一种尝试性的地位上。其它三种方式全都利用了亨廷顿公设，但它们相互之间也有鲜明的区别。通过把几何学真理解释为承认“亨廷顿（球体，包含）”为假设的那些假设性陈述的缩略形式，第一种方式把几何学包含在逻辑之中；这曾仅仅被看成是一种逃避，相当于在其语词的伪装下做出了这样一种让步：几何学毕竟并非逻辑学。通过在每一种情况下把“Φ（球体，包含）”解释为“假如α是任意一个类，R是任意一种关系，并且有亨廷顿（球体，包含），那么Φ（球体，包含）”的缩写，另一种方式是利用逻辑表达式从语境上对“球体”和“包含”进行定义。由于它没有产生关于被定义词项的预期的用法，这种定义受到了指责。最后一种方式，也就是刚才所提出的方式，终于使得几何学是通过约定为真的，且同时并未使它成为逻辑的一部分。这里，通过约定性地限定“球体”和“包含”的意义，亨廷顿（球体，包含）就被规定为真的。那么，几何学真理就不再作为逻辑真理出现，而是以与逻辑真理类似的方式出现。
对于无法通过定义而被还原到逻辑的任何其它数学分支来说，最后这种调整几何学的方法也是可用的。在每一种情况下，我们都仅仅是建立了那个分支中的若干公设的一个合取，并通过规定把这个合取当作真的，也当作是对这些初始符号构成成分的意义所作的约定性限定；而由此，这个分支中的所有定理就通过这些约定即以这种方式新近被接受的那个约定以及约定（Ⅰ）—（Ⅶ）而成为真的了。按照这种方式，数学就约定性地为真了，但这种真不是通过成为逻辑的定义抄本而来的，而是以与逻辑相同的方式获自语言上的约定。
然而，恰恰在采纳（Ⅰ）—（Ⅲ）及其它等等约定（逻辑自身就是由这些约定建立起来的）时，依然有一个困难需要面对。这些约定中的每一个都是一般的，它们宣布了与某种特定描述相符合的一组数量上无穷多的陈述中的每一个都是真的。因而，要从这个一般约定中获得由任何特殊陈述表述的真理，就需要一种逻辑上的推论；而这就使得我们卷入无穷的倒退之中。
一句话，困难在于，假如逻辑是间接地从约定出发的，那么在从约定中推论出逻辑时仍然需要逻辑。如其不然，如此作为一种理论上的自我预设而出现的困难，可以被表述为：出现了关于初始符号的一种自我预设。我们设想了这样的情况：假如—习语、并非—习语、每个—习语，以及其它等等，在起初时对于我们并不意味任何东西，并且我们通过限定它们的意义而承认了约定（Ⅰ）—（Ⅶ）。但困难在于：对这些约定自身的表达，恰恰就依赖于对我们正在试图限定其意义的这些习语的自由使用；而仅当我们已经熟悉了这些习语的时候，我们才能成功地表达这些约定。一旦仿照（Ⅱ′）的方式，用基本语言对（Ⅰ）—（Ⅶ）作重新表述的时候，这种情况就变得清楚了。注意到下述情况是重要的：这个困难仅仅困扰着关于进行大规模赋值的方式，而并非困扰着下定义的方式。的确，比如说，在第二节的开头所提出的“或者”的语境定义，借助于逻辑和其它的表达式而得到了表达；而在逻辑表达式刚刚被引进的地方，这些其它的表达式不能被期待着已经被赋予了意义。但是，一个定义具有这样的特性，即：从理论上说它可以被省略；它引进了一种缩写的方案。并且，假如我们愿意的话，我们可以自由地放弃它所提供的这种简洁性，直到通过赋值的方式，要不然就是通过接受对这个定义的充分的解释，而使足够的初始符号被赋予了意义。另一方面，这些关于赋值的约定也不可能这样被拒绝，直到做出了充分的准备为止；因为在这些准备步骤中，它们是被需要的。
假如赋值是挨个进行的，而不是一次对无穷多的表达式进行赋值，那么上述的困难就消失了。诸如(2)这样的逻辑真理，只不过是根据规定而被分别地断言了；并且，这个问题即从更一般的约定中推论出它们，就不会产生了。然而，由于逻辑真理的无限性，人们发现这条道路已经关闭了。
第一节中所讨论的那个更受限制的论点即数学是逻辑的约定的抄本，远非是没有意义的。不管它对哲学基本原理有何相干，对它的证明是一项具有高度技术性的事业，也是一项重要的事业。这样的做法即表明通过定义以前的初始符号可以把一个原理还原成另外一个原理，是有价值的；因为任何一个这样的陈述，都减少了我们预先设定的东西的数目，并简化和完善了我们的理论结构。但是，关于这个更重大的论点即数学和逻辑完全是从语言的约定出发的，唯有更进一步的阐释才能使我们确信这的确是言之有物的。（此文为节译）
(W.V.Quine, "Truth by Convention"，原载于The Ways of Paradox and Other Essays,New York:Random House,1966.)