高效数学教学构成要素的分析，本文主要内容关键词为：高效论文,数学教学论文,构成要素论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、有效知识
知识作为人对事物认识的产物，必然是在某种需要或利益的驱动下产生的，因此，任何知识都是具有某种价值的.从广泛意义上来讲，一种知识的价值是多层次、多维度的，但是，在数学教育教学中，主要强调知识的发展价值，即知识对于学生的身心素质的形成与发展所具有的促进作用.“有效知识”就是在学生学习和发展的意义上理解的，是指“智慧含量高、具有较高发展价值的知识”.[1]
张奠宙先生将数学知识分为学术形态的知识和教育形态的知识.“学术形态是指数学家在发表论文时采用的形态：形式化，严密地演绎，逻辑地推理，呈现出简洁的、冰冷的形式化美丽，却把原始的、火热的思想淹没在形式化的海洋里；教育形态是指通过教师的努力，启发学生高效率地进行火热的思考，把人类数千年积累的数学知识体系，使学生容易地接受.”[2]
在教学中，学生是学习的主体，是知识意义的建构者和知识的最终拥有者，他们自然会对数学知识设定一种具有个人生命意义的价值，在知识意义的建构过程中展示自己独特的生命状态和生命活力.因此，数学教学应更加关注学生的“学”，应该从学生自主学习、主动发展的角度来选择、改造知识，把抽象的、形式化的数学知识，转化为一种更易于学生学习、能够促进学生身心发展的知识.我们把这种设定了学生生命活动价值，能够高效地焕发学生生命活力，有利于学生学习发展的知识称为学习形态的数学知识.
学习形态的数学知识主要有以下4个特点：
第一，学习形态的数学知识是一种经验形态的知识.它使数学知识恢复到原来的鲜活的经验状态，与学生已经看到的、感觉到的和爱好的东西相联系，特别地，与学生数学现实中的那些已经具有的、但未经训练的和不那么严格的数学知识相联系，将数学世界与生活世界融为一体.这样的数学知识不是那种从外界引进的一种空洞的或纯粹的符号，也不是一种僵死的和贫乏的东西，而是具有丰富现实背景和数学背景的，是学生进行数学实践和数学发现活动的对象和材料.
第二，学习形态的数学知识是一种具有“生命态”的知识.它更加强调与学生生命活动的联系，不再把数学知识看作是属于“另一个世界”的不变真理，而是一种可探寻、可分析、可切磋的“对客观世界的一种解释、假设或假说”[3]，它使学生明白所面对的知识内容对于生活和自己的发展意味着什么.通过对这种知识的富有生命活力的学习活动，可以使他们体验和感受到数学知识是自己智力创造的结果、探索的结果、心灵劳动的结果，是他们生命活动经验的一部分.
第三，学习形态的数学知识是一种兴趣化的知识.它强调与学生的生活世界的联系，以学生熟悉的事实现象与知识经验为出发点，具有一种让学生好奇与“惊讶”的色彩；它将数学知识放在了学生有意识的生活之中，赋予了某种生活的价值.这种知识更容易激活、唤起学生学习的内在需要、兴趣、信心，能够提升他们主动探求的欲望及能力.
第四，学习形态的数学知识是一种具有整体性的知识.它展示给学生的是知识的“全景”，包括知识的源头、知识发展过程、知识的应用以及对于人的价值等，它是一种“活的知识”.具体来讲，这种“活的知识是由事实性知识、概念性知识、方法性知识和价值性构成”[4]，它能够使学生的学习成为一种“有意义的学习经历”[5]，能够使所学的东西在课程结束后还将在他们的生活中具有价值，并且还能够提升他们的生活价值.
如果说教育形态的数学知识“使学生容易地接受”，那么，学习形态的数学知识则使学生易于介入、易于思考、易于探究、易于遐想；如果说教育形态使数学知识具有了一种人文的“意境”[6]，那么学习形态则使数学知识展现了一种生命活动的意义和学习发展的价值.学习形态的知识并不是给数学知识强加一种外在的什么东西，而是自然地凸显出数学知识本身的价值及其对于学生发展成长的价值.因此，学习形态的知识对于学生的学习发展来说是一种更加有效的知识.
二、有效方式
将知识转化为学习形态的知识后，并不等于学生就能够完全理解与掌握，还必须采用有效的教学活动方式.教学活动方式包括“教的方式”与“学的方式”两个方面，一般而言，这两个方面是辩证统一的，但“教的方式”的有效性最终是体现在“学的方式”的有效性上的，因此，“学的方式”更具根本性.根据教与学相互作用的方式，可将数学教学活动方式分为3种形式：“以教定学”、“以学定教”和“教学对话”.
1.以教定学
“以教定学”是以教师的“教”为主的教学活动方式，它强调教师中心，主要追求的是“教”的有效性，教学活动的表现形式是“教师牵着学生走”.“以教定学”是一种“传授式”的教学方式，是教师按事先设计好的教案，主要通过口头语言向学生叙述数学事实、解释数学概念、论证数学定理和阐明数学方法，而学生通过静听、练习加以吸收的教学活动方式.其主要特点是：预设性、控制性、被动性和功利性.首先，对于学生而言教师的讲授具有“权威性与合法性”，教师总是讲授，学生总是顺从听讲，“一个受尊敬的长者传输知识给处于服从地位的年少者”[7].其次，听课是学生学习数学的主要形式.再次，外部奖励性动机——学业成绩是激发学生进步的主要因素.学生学习动力不是来自于知识本身的价值、学习活动的乐趣，而是为了得到某些外在于知识的“好处”，如高分数、好名次等.
“牵着学生走”的教学活动方式在知识传递方面可能具有一定的高效率，但在学生的发展方面则可能获得的是一些具有“虚拟价值”的“规模效益”（以考试成绩为标志而不是以学生主动发展为标志的效益），培养的学生更多的是一些循规蹈矩、急功近利、缺乏主动性与创造性的人.正如有学者指出的那样：“对于传统教学的传授法，人们早已经产生疑虑，充分注意到传授法在较高效率地传递文化知识的同时，牺牲了学生的智力、个性发展以及主体性的培育”[8].
2.以学定教
“以学定教”是以学生的“学”为主的教学活动方式，它强调学生中心，注重的是学的有效性，教学活动的表现形式是“教师跟着学生走”.教学实践中，“以学定教”主要由两大教学环节组成，一是“先学”，即在教师讲课之前，学生先对数学教材进行自主学习，独立地完成一定的学习内容；二是“后教”，即教师根据学生“先学”的情况和所存在的问题进行有针对性的讲解与评析，即所谓的“先学后教”.根据维果茨基的最近发展区理论，在“先学后教”的教学过程中，“先学”解决的是真实发展水平的问题，而“后教”解决的是潜在发展水平的问题[9].概括地讲，“以学定教”有以下一些特点：
第一，自主性.一是在“先学”中，学生通过自主学习达到认知发展的真实水平.“先学”不是一般意义下的“预习”，而是一个具有基础性的教学环节.二是在“后教”中，学生可以自主选择听课的角度，自主地确定听课的重点内容和所要解决的问题.学生数学学习中的这种自主性加大了学生情感参与的强度，增加了认知参与的维度和力度，特别是，学生的思考走在了教师的前面.
第二，针对性.一是指学生在行为、认知以及情感方面的倾向性.在“先学”的过程中，学生根据自主学习的情况会对“后教”产生一种听课的价值取向，使听讲具有某种方向性，他们会带着问题、带着学习的需要去听课.二是指教师讲课的侧重性.在学生“先学”的基础上，教师针对学生那些理解不深的知识以及解决不了的问题进行重点的讲解，在一定程度上避免了传统数学教学中的那种面面俱到的讲解.
第三，多向性.一是指学习的起点不同，学生通过“先学”，达到各自真实的发展水平，在“后教”中进入各自的“最近发展区”；二是指学习的终点不同，学生因为自己的数学现实、学习能力、学习旨趣不同而走向不同的终点，特别是不再把知识的掌握当作学习的唯一目标，可有多种不同的发展方向，可以是“数学双基”，也可以是数学情感、数学经验和数学能力等；三是学习步调不同，学生可以根据自己的情况确定学习的速度，按需要安排自己的学习时间，老师也可以根据学生的“先学”情况灵活地调整讲课的节奏.
但是，“先学后教”的有效性取决于一些预设的前提性条件，如，学生都愿意自主学习，并且能够把握学习的方向和目标；全班学生都有程度相近的自学能力，都能在“先学”中完成规定的学习内容，而且还能够提出需老师帮助解决的问题；教师的“后教”既能体现一节课内容的“重点”，而且还能与每位学生的“先学”基本保持一致，等等.显然，这些条件过于理想化了，在实际的教学（特别是人数众多的“大班”教学）中是难以做到的.因此，总体上讲，“先学后教”在强调学生的主体地位的同时，削弱了教师对学生“学”的主导作用.
3.教学对话
“教学对话”即对话教学，它把教师和学生看作是教学的两个主体，教师是“教”（引导）的主体，学生是“学”的主体，二者构成的是一种双向的、平等的、和谐的“你—我”对话的关系，追求的是师生生命活动的有效性，教学活动的表现形式是“教师和学生一起走”.“教学对话”的说法主要是为了强调教与学之间的关系是一种相互交融的平等对话关系，就如保罗·弗莱雷所说的：“通过对话，学生的教师和教师的学生不复存在，代之而起的是新的术语：教师式的学生、学生式的教师，教师不仅仅去教，而且通过对话被教，学生在被教的同时，也同时在教.”[10]通常，对话教学主要指的是一种教育理念或一种教学原则，而不是一种具体教学活动方式.为了使对话教学走进课堂，根据“导学讲评式教学”[11]改革实践，提出了“对话性讲解”这一具有操作性质的对话教学活动方式.
“对话性讲解”是指学生在学案的引导和帮助下进行自主学习的基础上，通过师生相互对话讲解的方式进行视域融合，实现知识意义的生成、生命意义的建构和意义分享的教学活动过程.它是由“学生讲解”与“老师讲解”两个相互交融的环节组成.学生的讲解是自主学习之后在组内交流的基础上，由各组学生代表面向全班同学展示说明和解释对所学内容的理解，并提出未能解决的疑难问题；教师的讲解则是根据教学的重点、学生讲解中的疑点、难点以及学生忽略的薄弱点进行点拨或补充.在一般的数学教学中都是教师一人在讲解，而“对话性讲解”则更加强调学生的讲解，从而，变教师一人讲解为人人讲解，使教师的“一言堂”变为师生的“群言堂”.“对话性讲解”具有以下特点：
第一，视域融合性.在对话性讲解的过程中存在着4种不同的视域，即文本视域、教师视域、学习者视域与同伴视域.对话性讲解是各种视域进行大碰撞、大融合的过程，学生通过板书、讲解、提问、补充等形式展示自己的视域或同伴的视域；老师通过点拨、提炼、修正、评价以及对重难点知识的解释与强调等方式渗透着自己的视域，而文本视域则不断地被深化与丰富.这样通过师生之间的交流和讨论，不断发现新的数学事实和结果，从而构建起多维度的和多层次的知识意义世界.特别是，对话性讲解使学生的数学思维从练习本上转移到了对话交流之中，思维成为了一种交流、沟通、共享的活动过程，学生可以在对话中学习道理，在思辨中发展思维.
第二，意义生成性.在对话性讲解的学习过程中，学生数学知识意义的生成经历了3个递进的认知阶段：“一度消化”阶段，学生在学案的引导和帮助下通过对文本知识的自主学习，建立新旧知识之间的联系，形成个性化的知识意义，初步生成知识理解中的表征成分、联系成分与认识成分等；“二度消化”阶段，对“一度消化”中所形成的知识意义进行讲解性加工，将理解中生成的内部语言转化为外部语言，需要学生对所生成的数学理解进行反思，从整体上进行把握，以生成对理解的理解；“三度消化”阶段，通过讲述、倾听、质疑、评价等对话过程，不但矫正和完善已形成的理解，而且在各种“视域融合”下形成层次更高的价值性理解，从而扩充、丰富、深化学生的知识意义世界.这里把经历了上述3个过程的理解称为“讲解性理解”.
第三，思维完整性.任何一种或一段数学思维都要有一个相对完整的过程——感知、困惑、猜测、探索、验证或论证的过程.在那种“一问一答”式的教学中，为了便于学生能够快速地回答，只能把这种过程分割开来，从而失去了数学思维中最有价值的东西：思维的整体性与连续性.在对话性讲解的学习中，从学生的数学现实出发到把“学生头脑中已有的那些非正规的数学知识和数学思维上升发展为科学的结论，实现数学的‘再发现’”[12]，学生要选择、要思考、要寻找失败的原因、要克服各种困难，既要进行归纳猜测，也要进行演绎论证；所呈现或表达出来的东西，无论对错，均是学生经历了一段完整的数学思维过程的产物.
相较而言，“以教定学”强调的是“教”的有效性，把学生的学放在了规定的跑道上，使学生的发展受到了很大限制，因为学生的发展具有丰富性与复杂性，是不能被完全预设的.“以学定教”强调的是“学”的有效性，大大提高了学生学习的主动性与参与性，但却在整体上削弱了教师“导”的作用.而“教学对话”将教与学融合为一体，既强调学生主体性的凸显，又注重教师主导性的发挥，使学生的学习处在一个具有生命活力的生态系统之中，增进了他们发展与成长的真实性、丰富性和有效性.因此，“教学对话”是一种更加有效的教学方式.
三、有效评价
学习评价对于学生知识的学习有着重要的促进与深化作用，而有效的学习评价才能促进学生的有效发展.因此，高效的数学教学必须要采用有效的学习评价.
学习评价是对学习活动满足社会与学习者需要的程度做出价值判断的活动.学习评价作为一项实践活动应该与学习活动方式相适应.评价的目的、标准、对象、主体、方法以及价值判断均由学习活动方式及其性质来决定，可以说有什么样的学习活动就有什么样的评价活动.反过来，评价对学习活动具有反作用，对学习具有调节、护理、改进、生成等积极影响.
为了探讨评价的有效性，可以从评价与学习活动的相互作用的方式把学习评价分为对学习的评价、为学习的评价和学习内评价.
1.对学习的评价
对学习的评价就是对学习的成效做出价值判断的一项活动.评价的目的是为了甄别与选拔，评价标准是预设的各种学习目标，评价所关注的是学生在一段学习活动中所获得的学习结果与行为表现.评价方式主要以考试测验与行为记录为主.评价所依赖的材料是“输入”的学习内容与“输出”的学习结果，即只关注学习的起点与终点，评价的效果是一段学习过程的“平均效果”，是一种“事后算账”式的评价.如泰勒的目标评价、艾克里文提出的形成性评价与终结性评价以及中国的“中考”与“高考”中的评价等.在对学习的评价中把学习看作是被考察的客体，评价过程与学习过程不是同步的，评价者与学习者也常常是相互独立的，即评价外在于学生的学习过程.因而，对学习的评价具有一元性（只体现评价者的预定价值）、单向性（只是评价者对学习者施加影响）、滞后性（是对过去学习的评价）等特点.
2.为学习的评价
为学习的评价是指为了支持与改进学生的学习而进行的评价，发挥的是评价的激励功能与改进功能.为学习的评价是基于学生学习过程的评价，强调评价与学习的相互融合，是一种对学生当前学习的评价.评价的内容涉及学习的方方面面，不但对学习过程中的学习结果给予及时评价，而且关注对过程性目标的评价.在评价的方式上强调学生的自我评价与学习小组评价，学习的主体同时也是评价的主体.为学习的评价主要有以下两个显著特点：一是把评价当作改进学生学习的工具或手段.如在英国的“学习性评价”中，把评价作为一种有效教学的工具或手段“镶嵌”在学生的学习过程之中，其目的是为了改进学生的学习，以达到所要追求的学习目标[13].二是评价的效果体现在“未来”学习之中，其目的是改善今后的学习.如日本的“教学与评价一体化”的主旨是为了“支援学习”与“护理教学中学生的学习”，而“评价只有在下一步的计划制定中发挥作用，并且与改善教学相联系，才开始具有（真正的）意义.”[14]
3.学习内评价
随着新课程改革的不断深入，近年来，在中国一些富有成效的教学改革实践（如“导学讲评式教学”实验）中的评价，不但让学生看到自己成长发展的历程，而且把评价作为了学生学习活动的有机组成部分和重要的学习内容，可把这样的评价称为学习内评价.
学习内评价是指学习本身所固有的、内在于学习活动之中的、满足学习自身需要的认识性实践活动.它不是镶嵌在学习之中的，而是在学习过程中产生的，是学习的一项基本性质，也是学习的一项基本内容.学习内评价具体有以下3个本质特征：
第一，内蕴性.学习本身就具有评价的性质与要求.皮亚杰曾指出：“学习是一种通过反复思考招致错误的缘由、逐渐消除错误的过程”[15]，加涅也强调说：“学习的每一个动作，如果要完成，就需要反馈”[16]，这里的“反复思考”与“反馈”就是一种评价活动.而瑞典学者马顿说得更加直接：“学习即鉴别”[17].因此，评价应该是学习的一个内在性质，是成功学习的应然需要和必然要求.在数学学习中，学习动机的产生、概念形成中的比较和辨认、数学理解中所建构的意义或联系的检验、解题经验形成中的反思以及对数学知识价值的认识和数学意识的形成等，均有评价的参与，或者说它们本身就是一种评价活动.此外，学习内评价的标准不是外摄的，而是由学习自身提供和生成的，即由数学知识的性质、学生认知发展的特点以及数学学习本身的特点来决定的，并且是在学习过程中由于学习自身的需要而产生的.
第二，活动性.学习内评价是在学习活动之中的评价，是关注学生成长心路历程的评价.它强调评价过程与学习过程的相互融合，评价者与学习者的相互融合，可以说，学习活动就是评价活动，而评价活动也是学习活动.学习内评价不是完成某种任务，而是一种持续的过程，是学生生成知识意义、发表个人观点、展示自己生命活力的活动过程；特别地，评价中的判断是“一种指导行动的判断，是一种可以得到经验检验和在经验中得到修正的判断”[18].在数学学习过程中，评价是以比较、协商和确认的方式参与知识意义的建构过程的.例如，在“导学讲评式教学”中，有些学生认为平方差公式
中的字母不能为零，当老师给出等式“
”后，经过比较、协商后，这些学生建立了如下知识意义：“a，b等于0时公式没有错，但是它没有实际意义.”其中，有一个学生颇有感悟的说：“通过老师您所举的例子说明，a，b还是可以为0的.”在这一学习过程中，通过师生的评价性对话，促使学生主动检查评析原有认识的逻辑性和合理性，从而完成了知识意义的建构.
第三，认识性.学习内评价“是分析、是权衡、是预测、是判断，是一种认识性活动”[17]，其目的是认识学习及其学习对象的价值，不是拿价值去判断，而是通过判断去认识、发现、生成、感悟价值，就如美国《国家科学教育标准》所指出的那样：“评价和学习是一枚硬币的正反两面……当学生参与评价时，他们应能从这些评价中学到新东西.”[13]在数学教学中，通过学习内评价，“撩开遮住视线的面纱”，使学生看到或感悟到数学知识的特质，通过评价性的对话来表达、理解和解释数学知识的这些特质，使他们的理解和认识达到精致化并且具有某种预见性，最终达到评出意义、评出理解、评出价值、评出情感、评出自信、评出生命活动的状态等评价诉求.学习内评价强化的不仅仅是学生的“求知欲”，而是激发了更具发展意义的“求识欲”[19].从效果上看，学习内评价不是为了“证明”与“改进”，更不是为了甄别和选拔，而是为了明了和认识，它具有很强的认知功能和生成功能.
通过以上分析，可以得出如下的结论：学习形态的数学知识、教学对话、学习内评价应该是构成高效数学教学的核心要素，其中，学习形态的知识是实现教学目标的有效载体，教学对话是学生获得“有意义的学习经历”的有效通道，而学习内评价则是学生有效发展的“推进器”.