时变波动率下ARIMA族触发式理财产品定价

邱明雪¹,孙玉东²

(1.贵州民族大学 数据科学与信息工程学院,贵州 贵阳 550025;2.贵州民族大学 商学院,贵州 贵阳 550025)

摘要: 拓展了触发式理财产品定价的相关结果,突破了波动率为常数的假设.对欧元兑美元的汇率进行分析,给出了汇率遵循的随机模型.利用Wilcoxon检验和Bartlett方差齐性检验,证实了随机模型具备波动率时变特性,进而采用ARIMA族模型描述汇率序列的波动率.利用Monte-Carlo方法模拟三款源自农业银行的触发式理财产品的价值,并给出相应的有效模拟次数.

关键词: 触发式理财产品;时变波动率; ARIMA模型;有效模拟次数

金融理财产品是商业银行在对潜在目标客户群分析研究的基础上,针对特定目标客户群开发设计并销售的资金投资和管理计划,是期权的延伸,其定价也是金融数学的重要研究内容.

目前已有许多关于金融理财产品定价研究的文献.文献[1]以区间型股票挂钩类结构性产品为研究对象,结合股票波动率和多资产相关性的动态特征,运用蒙特卡罗模拟方法,提出区间型金融理财产品的定价方法,同时进行了偏差性检验.杨招军等^[2]考虑到市场非完备和投资者风险厌恶的实际情形,基于效用无差别定价原理,利用随机控制方法得到金融理财产品价格的偏微分方程,并用有限差分法进行数值分析.陈金龙等^[3]应用Cholesky分解方法,解决了资产间的相关性问题,然后针对多资产保本型股票挂钩结构性产品收益函数特点,利用蒙特卡罗方法对金融理财产品进行相应的定价.文献[4]研究了金融理财产品定价的效率问题,使用数据包络分析方法(DEA)对我国商业银行理财市场的定价效率进行了实证分析.

近年来,随着我国金融市场的发展,各商业银行涌现出了一些新的理财产品,触发式理财产品就是其中的一种,其基本内容可概括为表1.触发式理财产品的收益可以分为三部分内容.

1)在存续期[0,T ]内,若理财产品挂钩的风险资产触及过行权价格P ₁和P ₂,则理财产品的收益率为r ₁,此时单位本金的收益为1+r ₁T ;

2)在存续期[0,T ]内,若理财产品挂钩的风险资产触及过行权价格P ₁但未触及过行权价格P ₂,则理财产品的收益率为r ₂,此时单位本金的收益为1+r ₂T ;

经过实际研究应该认识到，农业供给侧的结构性改革核心就是针对市场需求开展生产，从而在资源的配置环节中实现有效的供给要求和目标[1]。农业供给侧的结构性改革主要关系着农业结构性矛盾的化解，从而实现对三量齐增困境的转变，要求保证农业政策的完整性。

由此得到欧元兑美元汇率的第j 条轨迹,然后再模拟一次随机数ε ₁,ε ₂,…,ε _n ,得到汇率的第j +1条轨迹,j =1,2,…,N -1.依次类推公式(6)-(9)的模拟过程,获取欧元兑美元汇率的多条轨迹

杨紫从网上购买了一些关于衣品方面的专业书籍，报了几门相关的课程，还参加了一些衣品沙龙，非常认真地学习服装色彩和款式搭配的知识，还注意搜集市面上的各种时装杂志，研究里面模特的时装搭配。每天，杨紫都会对着镜子仔细打扮一番，将学到的着装知识在自己身上“实践”。

表1 挂钩于欧元兑美元汇率的触发式理财产品(起购金额: 50 000元)

经归纳总结,其到期日的收益可以归结为如下公式:

(1)

其中随机过程{S (t ),t ≥0}表示欧元兑美元的汇率,其随机结构稍后给出.

令人遗憾的是,有关触发式理财产品定价的文章还不多见,主要是因为触发式理财产品收益结构复杂,难以定价.文献[5-6]假定波动率和期望收益率为常数,研究了此类理财产品的定价问题.

本节在时间区间2017年11月30日至2018年01月20日上收集了12组欧元兑美元汇率数据.每组汇率数据内部均采用6 h为时间间隔,受开盘制度的影响(周末不开盘),每周按照时间顺序连续采集20个数据.

1 欧元兑美元汇率数学模型

当波动率和期望收益率不为常数时,触发式理财产品的解析定价是困难的,从而这里研究了触发式理财产品定价的Monte-Carlo方法.以欧元兑美元的汇率数据为基础进行统计分析,以便确定理财产品挂钩的风险资产价格模型,进而采用鞅方法和Monte-Carlo技术,确定触发式理财产品在到期日的收益.

将机电一体化技术应用到工程机械设备中，通过该技术的信息控制系统，可对机械的作业过程进行自动化控制，如此一来，极大地提高了作业的精准度。例如，将机电一体化技术应用到沥青的摊铺机中，就可以实现自动找平、自动供料，不仅提高了施工的质量，也提高了施工的效率。可以说，通过机电一体化技术的应用，基本上实现了工程机械的半自动化 操作，进一步降低了人工操作中出现的误差现象，提高了施工作业的精准度，满足了现代工程施工的要求[3]。

汇率数据用于分析和推断触发式理财产品挂钩的随机模型,并依据此模型研究触发式理财产品定价问题.对每组数据取对数并差分,将处理之后的数据逐次串接,这里称之为混合数据.本文将借助这些混合数据判断欧元兑美元汇率遵循的随机模型.

Computes(Y,{RA,RB,A,TB}A_S)∧Send(Y,y)∧Contains(y,{RA,RB,A,TB}A_S)∧

先对混合数据进行单位根检验,检验结果见表2,其中ADF检验和PP检验的P 值小于0.05,KPSS检验的P 值大于0.05,说明混合数据组成的序列是平稳的.

表2 混合数据的单位根检验

Step 1 选择合适的精度d 作为估计量的标准误差(例如d =1,d =0.1,d =0.01);

表3 混合数据的 Box检验

最后对混合数据进行KS正态性检验,P 值为0.213 9,大于0.05,意味着其遵循正态分布.再进行t 检验,P 值为0.439 9,说明混合数据遵循0均值的正态分布.

以“高碳资源低碳发展，黑色煤炭绿色发展”为原则，在“领跑者”政策的引领下，全市光伏全产业链先进产品百花齐放，前沿技术市场转化明显加速，系统集成技术得到了进一步优化，光伏产业企业均具备了强有力的技术支撑。以城区光电园区、襄垣锂电池基地为依托，重点实施了一批投资大、见效快、支撑能力强的光伏示范项目，带动了一批绿色低碳、安全高效、可持续发展的能源产业项目，成为近年来全省新能源产业发展最快的地区之一。

综上所述,可以认定欧元兑美元的汇率数据取对数并差分之后是独立同分布的0均值正态序列,从而欧元兑美元的汇率应当遵循如下随机模型

dS (t )=σ (t )S (t )dB (t ),

(2)

其中σ (t )表示波动率,它是时间的函数,{B (t ),t ≥0}为标准Brown运动.

2 触发式理财产品定价

假定当前时刻是t 时刻,理财产品在0时刻购买,T 时刻到期.由于欧元兑美元汇率在t 时刻和t 时刻之前的轨迹是已知的,从而触发式理财产品在t 时刻的风险中性价格v 为

v =exp{-r (T -t )}E [f (T )|F _t ].

(3)

Monte-Carlo模拟的基本思想是:在风险中性测度下,先模拟多条欧元兑美元汇率的轨迹,利用每条轨迹模拟触发式理财产品在到期日的收益,再用这些收益的均值去替代公式(3)中的数学期望,进而得到触发式理财产品的价值.Monte-Carlo模拟方法的步骤大致分为以下几个方面.

2.1 日内波动率的预测

其中j =1,2,…,N ,依据公式(1)

表4 混合数据的 Box检验

同时t 检验的P 值为0.439 9,说明不同日期的对数差分数据的均值和0无显著差异.而正态分布完全由均值和方差确定,再利用排除法可以认定不同日期的对数差分数据的方差不尽相同,说明对数差分数据的方差不满足一致性条件.最后通过Bartlett方差齐性检验得到P 值为0.002 201,小于0.05,再次确认了不同日期的汇率对数差分数据确实不满足方差一致性条件.

综上所述,对汇率的对数差分数据的分析表明不同时期的金融市场具有不同的波动率.因此在进行触发式理财产品定价时,应该采用不同波动率的随机模型来建模.在经过检验之后,这里采用ARIMA模型进行建模.

同时公式(15)表明:用样本均值逼近μ ,在显著水平α 下,样本均值对μ 的偏离程度最高不会超过因此定义的误差

σ (t _-m ),…,σ (t _-2),σ (t _-1),σ (t ₀),

其中m 为采集数据的天数.针对此波动率序列,采用时间序列方法预测未来时刻的日内波动率

σ (t ₁),σ (t ₂),σ (t ₃),….

并假定对未来时刻波动率第j 次预测为

σ _j (t ₁),σ _j (t ₂),σ _j (t ₃),….

2.2 欧元兑美元汇率轨迹的模拟

理论上欧元兑美元的汇率是连续的,但是在实际操作中获取的数据是离散的,获取数据的时间间隔最小也只能做到1 min(每隔1 min采集一个汇率数据),而且受计算机编程的限制,所分析的数据也必须是离散的.其中欧元兑美元的历史数据是已知的,并且已经检验汇率数据遵循随机模型(2),从而设定时间间隔

由公式(2)的Ito公式

(4)

公式(4)等号两侧对时间区间[t _i-1 ,t _i ]进行积分,可以得到

(5)

由于B (t _i )-B (t _i-1 )～N (0,Δt ),i =0,1,…,n -1,并且当i ≠j 时,B (t _i )-B (t _i-1 )和B (t _j )-B (t _j-1 )相互独立,从而可以独立地生成一系列N (0,Δt )正态随机数ε ₁,ε ₂,…,ε _n ,并逐次代入下面的公式

由图4可以看出，水力旋流器内压力分布呈轴对称状态，旋流器内壁附近的压力最大，且为正值，沿径向方向压力值随半径的减小而降低，在柱体部分，到达中心区域附近，压力降低为负压，且在中心区域附近四种结构的压力无明显区别。而在锥体部分，特征线上的压力有明显区别，且径向上压力值随半径的减小而降低，但恒为正压。由图4还可以看出，与其他上锥段底角相比，上锥段底角45°水力旋流器内径向压力梯度最大。由于径向压力梯度产生指向中心方向的力，使颗粒有向中心移动的趋势，这也是两相介质发生分离的重要原因之一[12]，说明适当的减小上锥段底角可以增大旋流器内径向压力梯度从而增大颗粒所受指向轴心的径向力。

S _j (t ₀)=S _j (t ),

(6)

(7)

(8)

(9)

3)在存续期[0,T ]内,若理财产品挂钩的风险资产未触及过行权价格P ₁和P ₂,则理财产品的收益率为r ₃,此时单位本金的收益为1+r ₃T .

S _j (t ₀),S _j (t ₁),…,S _j (t _n ),j =1,2,…,N ,

其中j 表示对汇率的第j 次模拟.

2.3 触发式理财产品价格的Monte -Carlo 模拟

考察汇率的第j 条路径S _j (t ₀),S _j (t ₁),…,S _j (t _n ),触发式理财产品在到期日的收益为

F _pay-off(j )=f (T ,S _j (t _i ),i =1,2,…,n ),

(10)

欧元兑美元汇率的历史数据是已知的,对不同日期汇率数据的对数差分进行Wilcoxon检验,结果见表4,可以发现有些P 值大于0.05,有些P 值小于0.05,说明不同日期汇率的对数差分数据之间并不满足独立同分布条件,而在上节已经验证它们的混合(混合数据)通过了Box检验,说明数据之间具备独立性,利用排除法可以认定不同日期汇率的对数差分数据不满足同分布条件.

2.观察—发现—理解—记忆法：这种方法用于讲有规律的内容，如名词单数变复数的方法、动词原形变第三人称单数的方法等。上此类课时，切忌教师在课堂上唱独角戏。教师要根据教学内容的不同，精心设计教学活动过程，注意课堂的每一个细节，激活学生的思维，把学生由被动地接受变成主动积极地参与。如教师可先给出一些例句，让学生通过观察发现其中的规律，教师给予充分的肯定后，再让学生进行归纳总结。由于学生是自己总结出的规律，就能很好地理解，在理解的基础上，记忆就不再是什么困难的事情了。然后再由学生按照所总结出的规律去指导他们的实践练习，他们就会感觉到很轻松了，这样不知不觉中语法规则已经在他们的运用中被潜移默化了。

重复公式(10)的产生过程,获取N 个触发式理财产品的收益样本

F _pay-off(1),F _pay-off(2),…,F _pay-off(N ).

(11)

由矩估计方法,用样本F _pay-off的均值代替公式(3)中的数学期望,于是触发式理财产品在t 时刻收益的估计为

(12)

2.4 模拟精度和有效模拟次数

容易知道样本均值是总体F _pay-off的方差最小一致无偏估计,但不可能无限制提高样本容量N ,因为这会不可控制地延长计算机运行时间.因此常常需要在某个精度d 要求之下,运行尽量小的样本,此时的路径模拟次数被称为精度d 下的最小模拟次数.

为了简便起见,令μ 和σ ²分别表示总体F _pay-off的均值和方差,即

μ =E [F _pay-off],σ ²=Var [F _pay-off].

容易知道

因此当很小时,是均值μ 的一个无偏估计.

由于总体方差σ ²是未知的,所以用作为n 个数据的样本均值估计μ 的标准误差是困难的,从而需要事先估计好总体方差σ ²,选取修正的样本方差

最能够体现苏轼民本思想的，是他与王安石的争论以及在司马光复位后全面打压王安石新政时却又对王安石的支持这两种态度上。

作为总体方差的估计,或者选取作为样本均值的标准差的估计.根据中心极限定理,当n 足够大时,σ ≈S ,并且

要加强聋生的社会独立性必须坚持在教学、思想引导工作中的特殊化和日常管理工作中的非特殊化相结合的原则。在教学、思想引导工作中可以也应当根据他们的特殊性开展工作，提升他们的技能和思想认知水平；而在日常生活、学习要求方面应当将他们与健听生一视同仁，以相同的标准要求他们，不搞特殊化，教师、辅导员要逐步放手，让他们独立完成力所能及的事情，以此促使他们逐渐摆脱心理依赖，增强其沟通能力、社会融入能力，当然，在这个过程中离不开家长的关爱与引导。

(13)

设置显著水平α ,使得统计量落入区间的概率为1-α ,即

(14)

其中为标准正态分布的分位数,将公式(14)变形,可以得到均值μ 的一个1-α 置信区间

(15)

依据固定时间间隔Δt 获取的历史数据,提取日内波动率

(16)

例如选择合适的有效模拟次数n 使得ε <1,则此时统计量对触发式理财产品价值v 的估计以概率1-α 精确到个位数.依次类推还可以考察更高模拟精度0.1甚至0.01的有效模拟次数.具体算法如下:

表3为Box白噪声检验结果,可以看出各组数据的P 值均大于0.05,意味着这16阶混合数据不存在相关性.进一步做自相关系数图确认结果(见图1),可以看出100阶以内的自相关系数均在虚线以内,这说明混合数据不存在任何阶数的相关性.

第一，推进产权制度改革，从内在条件上抑制资本市场中CPA审计寻租的需求。我国上市公司所有者对资产所有权的“虚拟”现象是导致管理当局主动给租、审计人员接受诱使，二者结为寻租联盟的内在原因，因此推进产权制度改革，理顺各主体之间的产权关系，才能真正实现管理当局权责利的匹配，实现会计师事务所不敢寻租(提高了现行有关法律的可实施度)、不能寻租(保证了会计信息的公允性)、不想寻租(一定程度上杜绝了道德风险)，才能抑制资本市场中CPA审计寻租的需求。

Step 2 再选择合适的显著水平α ,并产生大于100个汇率轨迹;

Step 3 继续产生新的汇率轨迹,当达到k 个数据并且时停止.此时k 即为精度d 和显著水平α 下的有效模拟次数,并且此时的即为满足精度d 要求的估计.

3 触发式理财产品定价

3.1 日内波动率的提取

采用1节中欧元兑美元汇率的对数差分数据,进行日内波动率的提取.假设第i 天的对数差分数据为

x _i,1 ,x _i,2 ,…,x _i,n .

根据公式(5)或者文献[7],日内波动率的估计为

经过对我校所开设专业门类及将德语作为第二专业学生自身特点进行分析，结合德语学习者实际需求，我们最终确定从机械设计与制造、能源动力、金融三大类主题开展科技德语语料库的建立。

(17)

其中dt 为数据的时间间隔,显然采用公式(17),可以逐次估计欧元兑美元汇率的日内波动率,见图2.接下来采用时间序列方法,预测未来时刻的日内波动率.

服毒患者属于强迫性就诊,具有配合度低、依从性差的特点,强行洗胃不仅延长洗胃时间,还会给患者带来创伤和痛苦,从而影响最终治疗效果[2]。基于此,抢救过程中应以患者不同心理特点为依据,给予针对性心理干预,以取得患者信任,提高治疗配合度、依从性,为抢救赢得时间。下面对口服安定类药物中毒自杀原因与心理状态进行详细分析:

3.2 ARIMA模型的选取和定阶

对日内波动率序列进行单位根检验(见表5),可以看出ADF检验的P 值小于0.01,PP检验的P 值小于0.05,KPSS检验的P 值大于0.1,说明日内波动率序列是平稳的,同时这也意味着可以采用ARIMA模型进行未来时刻日内波动率的预测.

表 5单位根检验的 P 值

图3为日内波动率序列的自相关系数图和偏自相关系数图,可以看出各阶自相关系数和偏自相关系数均在虚线以内,这也意味着未来时刻的日内波动率可以采用白噪声序列来预测.再进行KS正态性检验,可以得到P 值为0.357 5,大于0.05,说明日内波动率数据可以用正态分布刻画.

常见的利尿类药物有利尿酸和呋塞米，这些药物通过人体肾脏的时候会产生“保钠排钾”的作用，使人体血液中的钾离子含量明显降低，导致患者出现低血钾和低血容量等，如果长期服用此类药物，还会导致患者出现高尿酸血症等[4] 。

容易计算日内波动率序列的均值为0.067 025 04,标准差为0.036 726 33,从而未来时刻的日内波动率可以采用下面的公式预测

σ (j )=0.067 025 04+0.036 726 33·ε (j ),j =1,2,…,

其中j 表示天数,σ (j )为第j 天日内波动率的预测结果.

3.3 数值模拟

本节仍选取表1罗列的几款触发式理财产品.根据2018年2月18日的银行利率信息,选取无风险利率r =0.043 5,同时选取显著水平α =0.05,模拟精度设置为0.01,3款来自农业银行的触发式理财产品的模拟价格情况见表6,结果表明如果模拟次数不少于2 163 677次,则50 000本金的理财产品ADRY170209A,其自身价值为38.392 6,并且该结果以95%的概率精确到小数点后两位,其它2款理财产品依次类推.

继续分析Monte-Carlo模拟的精度问题,做触发式理财产品ADRY170174A价值与路径条数N 的关系,如图4所示.可以看出,由Monte-Carlo方法计算出的触发式理财产品价格的收敛速度和N 关系明显,并且图4中所示路径条数N 最大为4 000条,在接近4 000条时,期权价格仍然在41与43之间震荡,收敛效果并不明显.由于收敛速度为O (N ^-0.5),要想达到一定的模拟精度,则路径条数N 必须高于4 000万条,这也与有效模拟次数对应的结果相符.

表6 3款触发式理财产品的 Monte-Carlo结果

4 结语

本文主要通过分析欧元兑美元的汇率数据,推断出汇率遵循的随机模型,并经过一系列的检验分析得出该模型波动率具有时变特性,由此建立了波动率的预测模型,随后利用Monte-Carlo方法对触发式理财产品的价值进行数值模拟,结果表明,若想达到一定的模拟精度,有效模拟次数需尽可能大,而对触发式理财产品ADRY170174A则要求其路径条数应高于4 000万条.

参考文献:

[1] 顾婧,程翔,周勇.区间型股票挂钩类结构性产品定价模型与偏差检验[J].系统工程, 2017,35(6):18-25.

[2] 杨招军,黄冰华.基于效用的集合理财产品定价[J].系统工程,2013,31(6):54-58.

[3] 陈金龙,任敏.多资产的股票挂钩保本型理财产品定价研究[J].管理科学学报,2011,18(11):63-70.

[4] 周朝阳,余力.我国商业银行理财市场定价效率研究[J].经济问题探索,2014,35(6):87-92.

[5] 王冬爽,王玉文.随机利率模型下触发式利率挂钩型理财产品的定价[J].数学的实践与认识,2015,45(22):83-89.

[6] 姜礼尚,徐乘龙,任学敏，等.金融衍生产品定价的数学模型与案例分析[M].2版.北京:高等教育出版社,2013.

[7] 张波,余超,毕涛.高频金融数据建模:理论、方法与应用[M].北京：清华大学出版社,2015.

Pricing of triggered financial products in the ARIMA model with time -varying volatility

QIU Ming-xue¹, SUN Yu-dong²

(1. School of Data Science and Information Engineering, Guizhou Minzu University, Guiyang 550025, China; 2. School of Business, Guizhou Minzu University, Guiyang 550025, China)

Abstract: This paper improves the theory of triggered financial products, particularly breaking the assumption that volatility is constant. Firstly, the data of the exchange rate of EurUsd is analyzed, by which the stochastic model is given. Secondly, it proves that volatility of the stochastic model has time variance by using the Wilcoxon test and Bartlett test. It indicates that volatility can be predicted by the ARIMA model, and finally obtains three triggered financial products from Agriculture Bank of China by the Monte-Carlo simulation. The number of effective simulations is also given.

Key words: triggered financial products; time-varying volatility; ARIMA model; number of effective simulations

收稿日期: 2019-03-21.

基金项目: 贵州省科学技术基金(黔科合J字[2015]2076);贵州省教育厅青年科技人才成长项目(黔教合KY字[2016]168).

作者简介: 邱明雪(1994-),女,硕士.主要研究方向:数据处理与统计建模.

通信作者: 孙玉东(1983-),男,博士,副教授.主要研究方向:随机分析与数理金融.

中图分类号: F830.91;O211.64

文献标志码: A

文章编号: 1672-8513(2019)05-0475-07

(责任编辑 杨柱元)

标签：触发式理财产品论文;  时变波动率论文;  ARIMA模型论文;  有效模拟次数论文;  贵州民族大学数据科学与信息工程学院论文;  贵州民族大学商学院论文;