经济应用数学课程中的一题多解问题举例
袁 玲 赵 凤 凌雪岷 汪 慧
（安徽新华学院通识教育部，安徽 合肥 230088）
【摘 要】 选取经济应用数学课程中的几个习题，从多个角度进行分析和求解。教学实践表明，这种一题多解的教学方法，对提高学生的发散思维能力和学习主动性都有重要意义。
【关键词】 经济应用数学；一题多解；发散思维
0 引言
《经济应用数学》[1]是经管类专科的一门数学基础课，它内容丰富，学时较多，其任务是既要为经管类专业后继课程提供基本的数学工具，又要培养学生应用数学知识解决本专业实际问题的意识和能力。本文选取经济应用数学课程中的几个习题，从多个角度进行分析和求解。通过运用这种一题多解的教学方法，提高学生的发散思维能力和学习主动性。
1 一题多解举例
1.1 极限计算问题
例题[1]
试验结果表明，3种护色剂的护色效果为D-异抗坏血酸钠>L-半胱氨酸>VC；3种护色剂的最佳复配比例为：D-异抗坏血酸钠添加量0.5%、L-半胱氨酸添加量0.6%、VC添加量0.7%。
解法1：将函数表达式
的分子、分母同时除以x，则得到原式
又根据有界函数与无穷小的乘积是无穷小有
解法1：将该函数表达式展开后得y=2x3-3x2+x，
站稳群众立场，切实维护群众根本利益。坚持以人民为中心的发展思想，顺应人民群众对美好生活的期待，聚焦解决老百姓反映强烈的突出问题，先后推出了一系列政策措施，受到群众广泛欢迎。满足人民群众对优质教育资源的新期待，让孩子们不仅“有学上”，而且“上好学”，努力让每个孩子都能享受到公平而有质量的教育。以实施乡村振兴战略为引领，尊重群众意愿，推进苏北地区农民群众按城镇化规律集中居住，全力提升群众的住房条件、人居环境、公共服务和文明程度，真正让农民过上与时代同步的现代城镇生活。□
解法2：运用教材[1]中介绍导数的四则运算法则进行求解：
即当x →∞时，sinx 的取值对2x、4x 几乎没有影响，于是有：
解法2：由于sinx ∈[-1，1]，当x →∞时有2x →∞、4x →∞，
综上所述，两岸的流行音乐个人演唱会均起步于20世纪80年代，至21世纪呈现蓬勃发展的状态。1980年至2015年间，台湾流行音乐一直盛行不衰，大陆流行音乐发展迅速，在两岸流行乐坛占据了重要地位。两岸流行音乐受众的审美愈加多元化，“喜新”的同时又“怀旧”。各自对于“怀旧”呈现了不同的偏好：大陆受众更为偏爱摇滚风格，而台湾受众则对闽南语歌曲格外钟情。
原式
1.2 导数的计算问题
例题[1]：y=x(x-1)(2x-1)，求y 的导函数。
4.根据串联、并联电路电流的特点，判断流过各分电阻的电流变化。根据串、并联电路的特点，即：串联电路中，电流处处相等；在并联电路中，总电流等于各分电流之和。以此为依据来判断流过各分电阻的电流变化。
故由极限的四则运算法则可得原式
故由基本求导公式即可得y'=6x2-6x+1。
解法2：由于在教材[1]中介绍导数的四则运算法则时给出的形式为
[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)，
故可先将函数表达式改写为：y=(x2-x)(2x-1)，再求导如下：
则有y'=(2x-1)(2x-1)+(x2-x)2=6x2-6x+1。
故
解法1：直接用换元积分法，令t=2x，dt=2dx，则
y'=1·(x-1)(2x-1)+x·1·(2x-1)+x(x-1)·2=6x2-6x+1。
例题[1]
求y 的导函数。
解法1：将y 视为复合函数将其结构拆分为：y=u-2，u=cosx，
由复合函数求导的链式法则有
则
从图5可以看出，网络信息行为的研究内容不断深入，从信息需求、网络环境、信息服务、影响因素等关键词的时间分布可以体现；研究对象不断细化，从图书馆、大学生、虚拟社区、高校图书馆等词的时空分布可以体现；研究方法不断增多，定量研究逐渐增多；研究深度不断拓展。从表7可以看出，网络信息行为领域的突发词有网络环境、用户研究、网络，中心性较高的节点有 信息行为、影响因素、网络信息行为、图书馆、信息服务等。中心性越高，说明这些节点在关键词时区视图网络中的地位越重要，是学者们研究热点、研究前沿的重要体现。
解法3：给学生介绍求导公式的推广形式[2]如下：
1.3 不定积分的计算问题
例题[3]：计算不定积分∫sin2xdx
[u(x)v(x)z(x)]'=u'(x)v(x)z(x)+u(x)v'(x)z(x)+u(x)v(x)z'(x)，
采用全麻方式，手术体位取侧卧位。取肩关节镜标准后方入路首先进行关节前下盂唇韧带复合体的探查。当确认骨性Bankart损伤病变后，将关节镜头切换至前上方入路，镜下可观察关节窝完整的视野。通过探针探查损伤的盂唇韧带复合体，进行骨性Bankart损伤程度评估。慢性病例中脱落的碎骨块可能与关节盂内侧的颈部紧密粘连，此时应对该部位碎骨块进行彻底的松解，整个松解过程中应注意保护前下盂肱韧带复合体结构免受损伤，尽量避免增加骨碎片的产生。
解法2：先将被积表达式变形再凑微分，
不同的社会福利政策质量评价主体所具有的个人素质、道德品质及相应的评价技术不同，能够使参与社会福利政策质量评价主体相互补充其不足之处，从而保证社会福利政策质量评价的公正性，科学性和真实有效性。
原式=∫2sinxcosxdx=∫2sinxdsinx，令t=sinx，
则得原式=∫2tdt=t2+C=sin2x+C
“所以，大清是典型的大陆战略国家，他的内在逻辑由五块拼图构成：以满蒙联盟为武力保障，以汉域江南为财税来源，以藏传佛教为宗教思想，以西域回疆为战略纵深……这就是古代中华帝国，能达到的终极形态！”
【注】
可引导学生再次复习知识点“函数f(x)的任何两个原函数之间只相差一个常数”。
1.4 定积分的计算问题
例题[1]：计算定积分
大力实施“净水”行动。2014年重点从整治饮用水源地污染、重点流域水污染、“五河”及东江源头污染三方面遏制水环境恶化势头，加密对“五河”及东江源头保护区水质监测频次，由原来的每年监测6次增加到每年监测12次。2015年出台《江西省水污染防治工作方案》。此后，先后实施“五河一湖”、强化河长巡河督导、实施清河提升、长江经济带突出问题整改等专项行动，全面启动劣V类水和城市黑臭水体整治。完成25个重点工业园区污水配套管网建设，全省在运营的工业园区污水处理厂全部达到“一级B”排放标准。实施鄱阳湖流域重点城镇环境治理项目，完成48个县市污水管网建设任务。
解法1：先换元，再用分部积分法
图1所示为杨庄东街4个信号交叉口路段的道路结构、道路渠化和周边交通需求产生情况等. 从图1中可以看出，该道路周边聚集有大量生活社区，交通需求非常大.
令
则x=t2，dx=2tdt，x=1 时t=1，x=9 时t=3
解法2：直接用分部积分法
由于
于是有：
2 总结
在经济应用数学课程的课堂教学中，通过引导学生对习题用不同方法进行求解，有助于激发学生的学习主动性，培养学生的发散思维能力，从而对其学好本门课程起到促进作用。
【参考文献】
［1］盛光进.实用经济数学[M].北京:高等教育出版社,2014.
［2］同济大学数学系.高等数学第七版上册[M].北京:高等教育出版社,2014.
［3］杨文兰.经济应用数学基础[M].北京:高等教育出版社,2010.
An Example of a Multi-Solution Problem in Economic Applied Mathematics
YUAN Ling ZHAO Feng LING Xue-min WANG Hui
(General Department of General Education, Anhui Xinhua College, Hefei Anhui 230088, China)
【Abstract】 Several exercises in the course of Economics Applied Mathematics are selected and solved by various methods.Teaching practice shows that this multi-solution teaching method is significant to improve students’ divergent thinking ability and learning initiative.
【Key words】 Economics Applied Mathematics; Multiple solutions to one problem; Divergent thinking
中图分类号： O29-4;G642.3
文献标识码： A
文章编号： 2095-2457（2019）11-0092-001
DOI： 10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.11.041
※基金项目： 校级重点教研项目（2018jy013，2017jy008）；省级质量工程项目（2017jyxm0530）；校级教研项目（2018jy016）。
作者简介： 袁玲（1989.01—），女，安徽旌德人，硕士研究生，讲师，研究方向为随机微分方程数值算法。
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