摘要：针对企业生产中对生产效率影响较大的材料利用率及排料效率低，对板材类排料问题的数学模型进行了分析，提出排料优化的建模思路和排料方式逻辑原则，为后续排料优化实现提供算法基础。
0引言
下料问题是材料切割填充问题，是运筹学的重要分支之一。在工程制造领域，材料的下料方案是降低产品成本、提升产品竞争力的关键，更是简化切割过程的基础要素。因此，随着企业生产规模的扩大，如何形成优化材料的下料方案，即形成合理规划毛坯在原材料的排板布局方案，是提高材料利用率的提高材料利用率、降低原材料消耗，的关键问题。
本文针对专用车辆领域中对于板材类订单需求较大的背景下，给出板材类的下料排板方式的思考，并以板材切割中材料利用率最高为优化目标函数，以最基本的算法规则为基础，以各零件板材放置无重叠且不超越原材料规格尺寸等为约束条件，建立板材类排板方式的数学模型。
1板材类下料问题的概述
1.1 板材原材料与零件
本文中板材原材料是指板材原始规格或者外协提供规格尺寸；零件为产品中需求的此原材料的板材零件。两者的价值体现在其面积的大小。
1.2排板方式（Cutting pattern）
排板方式是排板问题（cutting problem）的解，指需求零件在一张板材原材料上的排列布局，可确定零件数量、排板方式、排列位置。
排板方式的评价涉及两个属性：价值和材料利用率。其中排板方式的价值通常是指板材中所包含的毛坯价值（利润），材料利用率一毛坯总面积/板材面积。当毛坯价值与面积相等时，排板方式的材料利用率一排板方式的价值/板材的面积。
1.3 排板方案（Cutting plan）
排板方案是下料问题的解，是排板方式的集合，可由一种或多种排板方式组成，并给出每种排板方式的使用频率。排板方案应满足全部的毛坯需求，并且所用的板材数量应小于或等于其库存数量。此外，组成排板方案的排板方式应满足相应的切割工艺要求。
因此，板材的排料实质是规划零件在板材上的排列布局，从材料上剪切出所需零件供产品加工和制造使用。而板材排料的优化方案即寻求某一排板方案，从而达到目标函数达到最佳的效果。本文目标函数为板材利用率最高。
2 板材类下料数学模型
下料问题的解是排板方案，根据待切割的毛坯种类和数量，确定毛坯在原材料上的排板方式组合，在满足毛坯数量和工艺约束的条件下，减少原材料消耗，以获取最高的材料利用率。
因此，下料问题可以描述为：在尺寸为L*W的板材上寻找最佳排板方案，需求零件数量为n，其中第i种零件长、宽为（Li，Wi），使所消耗的板材原材料数量最低，即原材料的利用率最低，并且排板方式符合剪切切割工艺要求。
经典的二维排料约束问题可概括为：板材原材料数量为N，给定的待排料有K种，其中第i种零件的长度为Li，待排料零件面积为Si；，宽度为wi，需求数量为ni排板方式的优化目标是在各零件数量均不超过其需求量的约束下，实现板材中包含的板材利用率f最大，即切割出一定需求数量的零件，所使用的板材原材料最少，可用数学模型描述：
（1）
s.t. L≥li，W≥wi 且i∈N，i=1，2，...，k （2）
满足工艺切割要求 （3）
式中：
C-为在原材料上采用一定排料方式后的余料；
n-为一定排料方式的第i种零件的数量；
N-为一定排料方式耗费的原材料板材张数；
k-为第i种产品规格的产品的总数量；
除了上述可能存在的约束外，实际生产中还会增加不同的约束条件，从而形成不同类型的排板方式。
由此，针对板材类的排料优化的数学模型为，在式（2）、（3）条件约束下，寻求目标函数（1）的最优解，也就是f最大值。
3 板材类下料算法排料原则
3.1排料优先顺序
本文采用排料原则为零件价值由高到低优先排板顺序，并且采用占角法。即零件的价值为零件的面积需求Si，首先将不同的Si进行由大到小排序，优先将Simax排到原材料的左下角，依次在原材料中进行填充。如图1所示：
图1 优先排料示意
3.2排料方式逻辑原则
对于零件长度大于原材料板材宽度（Li＞W）情况，以横向排列方式填充。如图2所示。
图2 横排效果示意
对于零件长度大于原材料板材宽度（Li≤W）情况，以横向排列方式或者纵向排列填充。如图3所示。选择原则为排料后原材料宽度方向剩余尺寸最小作为横排或者竖排方式的依据。
图3 两种方式比较
无论哪种排列方式的剩余空白区域的填充原则，则需要将剩余空白区域当成初始原材料规格进行判定，判定逻辑依然按照前面面积优先以及比较Li与W的大小，进行选择排列填充方式。不再赘述。
4 总结
本文针对实际中板材生产利用率低、排料效率低，造成成本提高、工期延长，反复补料，影响库存与生产平衡，成为制约生产影响效率现实问题，详细分析了生产中，板材类物料的排料建模思想及排料方式选择原则，以材料利用率最高为目标函数，建立了板材类材料的排料数学模型，为后续算法的优化排料提供算法基础。
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论文作者:刘涛,张晓玲,王建军
论文发表刊物:《电力设备》2018年第24期
论文发表时间:2019/1/8
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