“如实述说”：逻辑中的信息流动，本文主要内容关键词为：逻辑论文,信息论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：B815.3文献标识码：A文章编号：1000-5919(2008)01-0080-11
一、逻辑和信息流动
传统上认为逻辑是对推理的系统研究，是通过阐明或“开启”隐含在给定前提中的信息得到新结论的一种方法。这意思就是说，比如一个典型命题推理“从A ∨ B，A得到B”的结论B道出了更多满足这两个前提的情况的信息。像数学中的证明，计算机中的自动推导，以及今天人们每天在公交车或火车上玩数独难题(Sudoku puzzles)①时的思维，其中的推理都涉及很长的命题推理序列。
但是，信息流动不仅仅是个人内心的演绎！下面列举的事实发生在许多作者当中，最早甚至可追溯到西方和印度的逻辑传统。假如我想知道命题p是否为真，也许最简单的方法就是通过观察得出结论：我只需观察相关的情形，看p是否是事实。当这种方法由于p是关于某些遥远的或不可达的情形而不可行时，我会试着选择推理的方法，试图从我已掌握的命题中推导出p或p的否定。如果这一方法也不能奏效，那么最后我会用第三种方法，即从单一主体转向多主体交流——去询问某些可信的人。因此，信息流动涉及了“社会动态”，其中不同主体的行为是关键。本文就是要展示所有这些可以被称为信息流动的现象是如何落入现代逻辑讨论的范围中的。为了强调提问和回答与得出结论一样是“逻辑的”，下面我们将给出关于“逻辑动态”领域近来发展的一些例子，并指出文献中的一些相关部分。
特别地，我们将展现信息的混合如何刚好落在逻辑理论处理的范围之中。尤其是关于一个简单的动态机制：通过公开宣告给出新信息，从而给许多已有的逻辑话题以新的视角。
二、认知逻辑：“据我的信息所能确认的真”.
作为变域的信息 把关于信息的自然语义概念具体化的已知最好的逻辑范例(paradigm)是认知逻辑——来自哲学的一种探究方式，但是，现在该方式也可以在计算机科学和经济学中找到。通过“信息的变域”列出现实世界所有的可能情况，模型就能表示出各个主体当前不确定的知识状态。新信息会使“信息的变域”缩小，我们还以“从A∨B，A得到B”这一推理为例，但是现在假设从主体没有关于A或B的任何知识的初始状态开始，前提一个接一个地进来。这里我们看“更新”是如何基于这两个前提发生的。从4个选择中排除3个——同时我们也可以看到最后用陈述B来更新时就不再改变任何信息状态了：
对于这一场景有两个关键部分，即(a)静态：关于这一进程的每个阶段主体知道什么或不知道什么，和(b)动态：触发信息流动的事件本身。我们从任务(a)开始，它是目前逻辑系统最初的焦点。
这些可达关系对不同主体而言可能是不同的，因为主体不一定都有相同的信息。我们通常将～[，i]作为等价关系考虑。但这并不是我们讨论的关键所在，并且对我们后面的讨论也没什么影响。在这里，对于知道算子的语义真值条件采用的是当前变域上的全称量词：
通过主体当前不确定的变域，她们知道什么是真的：
事实的和高阶的信息 通过引入多个主体，这一简单的认知语言可以对一些复杂场景进行形式化。考虑两个主体Q和A(“问者”和“答者”)的模型，其中原子事实P在一个世界中成立，在另一个世界中不成立。我们假定现实世界(总是只有一个)在图中用黑点表示——尽管这是局外人的注解，而不是主体拥有的信息。用有标记的线连接世界表示不确定性。特别地，Q不知道哪个世界是现实世界，而A知道：如果现实世界有P那么她知道有P，并且如果没有P她也知道没有P：
这个图也编撰了高阶信息，即主体拥有的关于自己和别人的信息。例如，Q知道她不知道P是否为真而A知道。因此对Q来说，问A问题是一个好主意，并且能得到答案。但是在进入对动态特性的讨论之前，允许我们保留模型M，即信息进程的当前状态。在左边的世界中，以下认知公式为真：
因此，认知逻辑能够表达复杂的多主体模式。特别地，关于自己和别人的迭代知识揭示了人类使用的信息概念的某些本质，从而使得我们的行为建立在相互期望的基础之上。
群体层次上的信息 除了描述单个主体和他们的交互行为，认知逻辑还有进一步的群体知识概念。因为事实上当各个主体相遇时，他们可以形成带有他们自己新特性的更大的群体。特别地，公开陈述事实易于产生公共知识：我们都知道这一事实，其他人也都知道了，并且他们知道我们知道；如此以至任何层级的迭代。在技术上，出现群体知识CGφ的这一形式(“φ是群体G的公共知识”)在上面的信息模型中被读作：
该完全系统不仅描述了主体自己的推理，而且描述了我们理论者关于她们知道什么的推理。对于公共知识而言，所需要的额外公理是：
的意思是在群体G中的每一个主体都知道φ。该完全逻辑是可判定的——尽管它比命题逻辑更复杂(这是描述互动所造成的损失)。这些规则如同概率论中的原则那样可以被应用到每个具体的情景当中。
有许多方面可以使得认知逻辑看做是一种关于信息的理论，包括认知语言的表达力和信息模型间的结构等价。参见Van Benthem 2006A，van der Hoek & Pauly 2006。
三、动态认知逻辑：从观察和交流中习得
结构和进程 很难想象信息孤立于产生、修改和收缩它的进程而存在。在很多学科中，它们的联系是自然而然的。在计算机科学中，人们不仅设计数据结构，而且还设计操纵它们的程序，从而完成某个特定任务。这种双重性也出现在哲学和语言学中。例如谚语‘Meaning is what Meaning Does’(意义就是意义所做的事情)，当我们说出语言表达式在交流和推理等活动中是如何被使用的时候，就能够给出关于它们的一个好的表示。
因此，结构应当一直和一个程序(进程)相随！那么，哪个程序驱动了信息这一概念？这里有各种不同的候选：计算、推理、更新、收缩、改正、回答问题、交流、交互行为、博弈、学习等等。其中的一些进程关注单个主体的活动，而另外的则是多主体的“社会”现象——在从多主体的论证到单主体的形式证明的过程中，这两者之间有很多有趣的联系。本文的部分章节中将会提到以上的一些进程。
提问和回答 以一个最简单的认知进程开始，考虑以下在我们生活中重复了无数次的对话场景：
(a)Q问A这一问题：“P？”
(b)A做出真实回答：“是的。”
这里由于信息将开始流动，当前模型M要刻画的情况发生了改变。如果这一情节是一个简单的合作式格赖斯交流，问题(a)本身已经传达了新信息，即Q不知道答案，并且她认为A可能知道。一般说来，对于回答者而言，这提供了十分有用的信息。其次，回答(b)给出了A知道P，并且在它的群体(Q，A)中公开宣告P，使得Q现在也知道P，他们都知道彼此知道P，如此以至到前面提到的公共知识。特别地，我们看到习得事实的和高阶的认知信息在多主体交流中都会很重要：起先也提到过这点，但现在是在一个动态的背景当中。
作为模型变化的信息更新我们的问-答场景涉及了信息流动的最简单形式，它由某一事实P的公开宣告！P触发。当它应用于原先我们提到的观察和交流时，它涵盖了交流和单主体这两种情形。我们可以认为！P是来自交谈中某些权威渠道的一个真陈述，或是基于我们感知的完全可靠的观察。(当然，观察也可以被看做是“我”与“自然”之间的一种交流。)如果我看到方块A放在桌上，我就会知道我们中没有人再有它了。当然，我们也许会搞错所听到的或所看到的，但是，逻辑首先从可以理解的理想状况开始。诸如宣告！P这些新进的硬信息改变了我的所知。从形式上说，它们触发了当前认知模型的改变。更精确地说，！P消除了所有和P不相容的世界，因此向现实情形更接近了。因而，当前模型(M，s)变成了它的子模型(M | P，s)，它的论域是集合(t∈M| M，t|=P)，可以用图形表示如下：
这里给出公开宣告下信息流动的完全演算：
定理1 PAL可以通过静态认知逻辑的一般规则加上以下归约公理完全地公理化：
这一逻辑演算阐明了在极为紧凑的模式下交流的基本问题。特别地，归约公理通过执行对任意论断效果的逐步组合式分析，将其归约到普通的认知论断。这里，公理(d)将新信息发生之后主体所拥有的知识和发生之前她们所拥有的知识联系起来。这展示了信息流动逻辑的一个重要特征，即预编码。当前的信息状态M通过形如
的这种相对化知识，恰好已经具有了相关事件之后的知识信息。
有关这一逻辑系统有更多值得说的地方——对此我们可参阅有关专门文献。特别地，PAL有基于互模拟的模态模型论，并且它引出许多关于表达力和计算复杂度的新问题。关于此的更多细节可参见van Benthem 2006B，van Eijck & Kooi 2006。
接下来，我们将表明如何将一个PAL形式的组件添加到现有的逻辑中，从而引出许多新问题和增强逻辑系统的建模能力。
四、交流
PAL本身是给一个现有的逻辑系统即认知逻辑添加公开宣告事件的结果，得到的关于交流和学习的演算结果又提出了许多问题。
主体能力和多样性 关于公理(d)还有更多值得说的，它展示了两个算子间典型的互换关系：即动态算子[！P]和认知算子K[，i]之间的互换，对于一般的知识和行为而言，这样的交换律显然是无效的。例如，你知道你喝醉之后会很烦人。但是可悲的是，喝醉之后，你不知道你很烦人。原因是喝醉不像观察和谈话那样，它会削弱主体的认知能力。更精确地说，知识和行为的互换预设了不可削弱的记忆，即完美的回忆能力。因此，对信息流动的研究立即引起了有关主体能力的问题。我们也可以用不那么理想化的性质来描述主体，包括健忘，和主体具有不同能力的群体，甚至实际生活中的现实情况(van Benthem & Liu 2004，Liu 2006)。
持续谈话PAL其他值得注意的特点存在于它的有效式当中。这里有一个：
它的直观意思是说，两个连续断言！P和！Q的任何效果都可以通过仅仅做出一个断言产生。你如果认为这个断言是！(P∧Q)，那么你错了。！P可能已经改变了当前模型，Q的真值可能已经随之改变了。#的更复杂的等值式也应在这个问题上作一些思考。
逐步知道的反论从一个公开宣告！P中我们能够学到什么？不是产生了关于P的公共知识吗？或者，用PAL的术语，以下式子是有效的吗？
因此，宣告一个真的摩尔语句会使得它在新的信息状态下为假。在众所周知的认知问题(例如‘泥孩难题’)中，自我反驳的自然情形是对无知的断言。即使这样，很多断言确实在被宣告后产生公共知识，但是现在还不能够确切知道P的哪些语法形式在公开宣告！P时产生公共知识——这是被称作‘学习问题’的一个逻辑开放问题。这些问题带我们进入当代认识论。考虑涉及证实主义的论题——“所有的真都能够被知道”这一简单却恼人的Fitch反论，或用认知术语加上表示“能够”的某个非特定模态词(van Benthem 2004)表达如下：
φ→〈〉Kφ
Fitch给出的以下简单却令人惊讶的论证证明了证实主义论题是不一致的。问题的关键仍然是摩尔式断言的存在：
因此，我们可以得出结论P→KP，即知识和真将会坍塌！
重复宣告、学习能力和会话我们已经看到，没有任何一个公开宣告可以使得我们知道一个摩尔式命题。那么，一般说来，通过对一个真命题的一次或重复公开宣告我们能够学到什么呢？对于这一问题，新出现的文献，如Miller & Moss 2005中已经证明带有重复宣告的交流逻辑的复杂度将大幅度增加。带有对P的重复任意有限次宣告即迭代算子！P*(只要P为真)的PAL是不可判定的，不可公理化的，在复杂度方面甚至更糟糕。另一方面，Balbiani et a1.2007公理化了带算子〈〉φ(代表“某一宣告之后，φ成立”)的逻辑APAL，尽管没有指出它的具体形式，但是它可以描述将来信息的影响。最后，我们提一下在这个研究方向上另一个新进展。PAL假定了任何一个真命题P都可以通过一个行动！P被公开宣告。但是在实际的交谈中，对于什么可以说以及按照什么顺序说等方面，可能存在某些限制。我们可以在时态会话模型上从某一初始信息状态开始，通过指定可允许的真宣告序列的方式来表示它。但是，一旦我们这样做了，PAL的公理将不再为真。特别地，关于存在模态词一个的基本原则如：
不再成立。因为即使P是真的，模型的场景可能禁止了对它的宣告。(从左到右这一方向在交谈模型上仍然成立)因此，简单断言＜！P＞T现在传达了交谈中关于可获得断言的程序性信息。因此，正确的基本公式变成了：
通过这样，对于其他归约公理作类似的观察，van Benthem,Gerbrandy & Pacuit 2007已经证明了认知会话逻辑仍然是可操作的：
定理2会话模型上的公开宣告逻辑是可判定的。
五、信念修正
信念逻辑一般说来，来自于某个源头的信息和主体对其的态度与反应之间存在着概念上的区别。对于命题主体不仅可以持知道这一命题态度，还可以有别的命题态度，包括相信或怀疑。特别地，信念逻辑分析B[，i]
即“主体i相信”这样的断定。它的语义为我们目前的认知模型带来了一个新的思想。从某个优势点出发，我们以世界的似合理顺序的形式假定了更多的渐变过程：
在这个模型中，现实世界是P成立的世界，主体不知道P是否成立，但是她确信(错误地)相信
P。这里的关键就是我们的信念可能是假的。在无穷模型上实现这一思想还存在技术上的难题。与认知逻辑一样，我们有完全的信念逻辑及其完整理论(Fagin et al 1995)。一般说来，信念逻辑也分析知识和信念的相互作用，它的信息模型有两个可以以不同方式交织在一起的关系
，反映建模者在诸如知识是否蕴涵信念，或者一个人是否知道她的信念等这类问题上的立场。关于信息的态度间的内部关系是一个重要的话题，以下我们将针对信念展开讨论。
预编码和条件信念 在信念逻辑中，我们很快就会发现仅有信念对于解释主体的行为是不够的。我们想要知道在她们收到新信息的场景里，她们要做什么，这还需条件信念这一概念：
条件信念B[，i] (φ|)像通常的逻辑条件一样，因为它们表达了在不同于当下的环境里可能发生什么。特别地，如果我们学得了新东西φ就会有信念，它对这一情况进行了预编码。建立在自返传递的似合理性模型上的条件信念恰好也满足Burgess和Veltman给出的极小条件逻辑的规律。它们之间是如此相似，以至于稍后当我们讨论信念修正的机制时，还要再回到这一背景上来。
硬信息和软信息 把认知-信念-条件的逻辑组合起来能够展示更为丰富的信息输入现象。在当前的认知择换世界变域当中有硬信息。接着，借助于合理顺序，良结构就能出现在这些变域之中。这既可以被看做是主观的，因为它代表的是主体的态度，或者是客观的，因为收到所谓的软信息的后果是使得一命题P更合理，而不必然是消除P的世界。整个的相互作用正是由这些态度(反映我们对信息的看法)和它们由于新信息的到来而受到影响的方式组成。所以，我们得到了信息本身和主体对待它的方式这一混合体——这一逻辑上的缠绕，使得我们很难说出一个概念从哪里结束，另一个从哪里开始。
变化的信念 PAL那种对于信息变化的动态进程的视角同样可以应用于我们的信念以及在收到信息之后如何修正它们。这里涉及了变化，不是在可及世界或认知通达的变域之中，而是在世界间的似合理顺序≤[，i，s]xy上。这一改变如何进行依赖于输入的信号。当我们收到硬信息！P，更新像以前那样通过消除世界进行。我们可以把新的信念和先前的条件信念联系起来，和上面的归约公理(d)相应的那条法则说的是如何获得新的信念(实际上即条件信念)(van Benthem 2007B)：
定理3公开宣告下的条件信念逻辑可以被以下公理完全公理化：
硬信息涉及了一些关于信念的有趣现象。真信息也可以是误导性的！比如，考虑这样一个模型，其中所有世界是认知可达的，似合理顺序是1≤2≤3。在现实世界中主体相信P，但是由于错误的原因，他认为世界3最合理。
1 p，q≤2 r≤3 p，s
现在假设作出了一个真公开宣告！s，这消除了世界3，但是在论域为(1，2)的剩余模型里：
1 p，q≤2 r
主体现在错误地相信p。依照Stalnaer，Baltag & Smets 2006已经强调指出的，这里有为另一看似自然的主体态度留存空间，即安全信念，所谓安全信念就是不能为新的真信息所改变的信念。这给这些信念增加了坚定性，使得她们也向认知领域的知识迈进。技术上讲，安全信息是关于那些在至少和当前世界一样合理的所有世界里都成立的公式的信念。因此，信息变化的一个动态视角可以提供新的静态认知一信念算子。
真正的信念修正 我们仍然还没有处理真正的信念修正。信念修正一般是随着一个命题p的软信息而出现的。这只是增加了对于p-世界的偏好而不是丢弃整个世界。软信息导致似合理性的变化，而不是世界的消除。它可以以各种类型发生。这一思想的一个十分典型的“信念修正策略”是字典顺序升级
P(Rott 2005)，它是通过以下方法改变当前世界间的排列关系：所有的P-世界变得比所有的P-世界好，并且在这两个分区内部，原排列关系保持不变。这一策略下的信念改变可以在PAL一类型下被完全公理化。例如，这里有一个关于p修正的逻辑(van Benthem 2007B)。它看起来有点复杂——但毕竟我们现在描述了一个比认知更新更精细的信息进程：
定理4字典顺序升级的动态逻辑可以通过条件信念逻辑加上关于修正效果的组合分析来完全公理化：
这里＜＞表示存在认知模态，表示“在当前变域中的某个世界里”。更丰富的动态信念逻辑处理更多的策略(参见Baltag & Smets 2006，Baltag，van Ditmarsch & Moss 2007)。在似合理顺序重排和偏好变化的动态逻辑(van Bathem & Liu 2006)之间也存在着很强的相似性。
六、推理和观察
缠绕 现在我们回到第一节最初的那个例子。实际的计划和问题求解常常使得推理和更新两个逻辑进程相互缠绕在一起。例如在解难题或纸牌游戏中，基于新信息(如看到一张牌被甩出)我更新我当前对于事实的知识表示，同时也从我已掌握的信息中快速推理。关于意图行为的哲学解释(Paul 2007)强调内部推理和相关的观察的相互作用，内部推理可以使我们更好地知道涉及的意图，并且相应的观察使我们能够在行为计划的安排下追踪变化。这两个进程的动态性是十分不同的。关于更新我们已经讨论很多，而对于如何表示经过推理步骤导致的信息增长，我们还只字未提。
推理中的信息流动 事实上，这里有一个被标以“演绎的诽谤”的问题存在。我们都同意推理可以提供信息这一说法——但是这是在什么意义上说的？显然，信息状态要比世界集精细很多。正如我们在第一部分看到的那样，在“从A∨ B，A得到B”的推理所得的结论中，在更新意义上看，它并没有在确立的前提基础上增加任何东西。尽管很多作者(参见Allo 2007)就如何模拟这种精细的结构提出很多有趣的建议，但是并没有一个一致的意见。在这里，我们看一个极其简单的例子。这是Jago 2006逻辑编程中产生的一个例子。考虑信息状态是由命题字母()p的集合组成。
关于它的模态逻辑把证明规则作为行动表达式，我们就能够用形如＜rule＞φ的算子描述这种模态理论，它是一个用＜rule＞φ算子对推理步骤加以标记相互连结的命题字母集合。从某一初始集合开始，以这种方式得到的信息状态可以被看做是我们先前语义下对所有模型的集合的部分描述，它不仅满足初始事实，而且所有用来生成更多的推理信息状态的Horn语句规则都是有效的。
双层动态逻辑 将PAL范式结合这一视角，我们可以有一个两阶段的程序，它把据推理产生信息流动和观察引起的更新融合在一起。为了简单起见，我们采用这样的命题语言：本节将忽略认知动态算子的细微差别。我们也不给出精确的形式定义，仅仅概览其主要思想。用赋值明确地接受或拒绝每个命题建立一个语义模型，即我们先前意义下简单语言下的完全世界。这个模型还指定了一个推理规则R的集合，表示这些规则的相应条件句在给定的赋值集上是有效的。最后，它有一个不是包括每个命题字母的部分字母集合X。每个这样的集合X和所有的全赋值V是相容的。更精确地说：
一个模型M是二元组(V，X〉，其中X是一个与V相容的命题字母集合，它还带有一系列的Horn语句推理规则R。
推理步骤并不改变当前状态的V部分，仅仅采用某一可获得的规则并且给当前X应用规则(它的前提是可用的)的部分增加字符。
第二种行为是本文中熟悉的主线：
PAL-式公开宣告！P，将V不能满足P的所有状态(V，X)从当前状态剔除。
但在这两种行为之间可能有其他“中间”行为。特别是，考虑到有意识看到行为，我们可以用以下方法来模拟：
外在观察+q，它像！p一样运作，但是它将q直接放到保留下来的模型(V，X)中的所有X部分里。
将所有这些放入带动态模态的语言中，我们可以做出组合断言，用它去描述信息进程的良结构。例如：
它说的是，如果主体意识到p在当前的信息状态中，并且这时她也清楚地观察到q，那么运用Horn规则(p & q)→r进行一步明确的推理，她能够意识到r。这只是一个简单的例子。但它确实表明了同时有内部的推理阐明和外部观察的动态逻辑的合理性。一个其语言包括以上两个静态模态
以及对以上三种信息行为的动态模态是十分丰富的逻辑，还需要形式上的进一步发展。但是我们相信读者已经看到，这类混合的信息演算是可行的并且值得努力研究。
认知建构 正如认知心理学家指出的那样，双层模型看起来似乎更接近人类思维的实际情况，其中不同进程并行运行。特别地，有人建议信念模型应该包括一些推理成分(Velazqez 2007提出采用皮尔士主义的外展推理)。参见Rott 2007中关于纯粹信息进程与基于这一信息的信念形成相结合的双层次观点，其中信念变化出现在一种“反映动态”当中，以便在另一层次上根据“信念基础”追踪模型。
七、博弈
从逻辑到博弈 正如我们在第一节中看到的那样，信息进程是动态的，涉及和静态信息结构一样的动作和事件。它们也是社会性的，群体知识概念是理解信息流动的关键，因为基本的场景不仅仅涉及一个主体。信息流动的这一动态社会特征和主体间的智能互动概念是联系在一起的(LogiCCC 2006)。当然，互动是博弈论研究的主要论题。逻辑和博弈论之间有很多交叉点(de Bruin 2004,van Benthem 2005,van der Hoek & Pauly 2006)，涉及理性行动的均衡结果的认知分析，或者对作为一般的互动计算范式的博弈的逻辑分析(Parikh 1985,Abramsky 2007)。这里我们仅仅提及一些和引入公开宣告相关的有趣交叉。在博弈能够变化的情况下，信息流动的动态场景中会发生什么呢？
承诺和意图 博弈论中逆向归纳求解(BI)这一著名的博弈求解程序在扩展博弈中经常会产生一些“坏均衡”，它代表一些“社会性”中不希望出现的结果。以下左图给出的正是这样的例子，其中的坏均衡(1，0)通过玩家的“理性”预测可以知道她们两个的情况都比合作结果(99，99)糟糕得多。对这一情况进行处理的方法之一是通过给出承诺(van Benthem 2007c)。这可以被看做是意图的公开宣告。例如，E承诺她不走左边，这将博弈改变成为右边描绘的一个新形式——以及有新的均衡结果(99，99)，从而通过限制其中一个参与者的自由使得两者都处于较好的境况下。
我们也可以宣告其他的事情。Van Otterloo 2005给出了有关玩家策略能量和偏好的更一般的逻辑，其中模型的改变是通过对参与者意图的宣告产生的。这类系统的完全逻辑是由上面的PAL和关于行动和偏好的模态逻辑以相对直接的方式缠绕在一起产生的。
“理性动态”van Bathem 2003用公开宣告分析进一步的求解程序。策略博弈用偏好和主体的不确定关系归纳策略的认知模型M，其中的主体知道她们自己的策略，而不知道别人的。并且她们都有自己的求解程序，比如严格受控策略的重复消去(IRSDS)。模态一偏好的组合语言这时能够形式化弱理性(WR)(“没有玩家会选择她自己知道比其他任何选择都糟糕的步骤”)和强理性(SR)(“每个玩家都会选择她认为可能是最好的步骤”)这样的陈述。WR和SR一旦被宣告它们就会剔除一些世界，反复进行，最终我们将会得到一个最小的子模型，其中宣告不再产生任何进一步的影响：WR和SR现在都是公共知识。
定理5对WR重复宣告的结果是严格受控策略重复消去这个一般的求解概念；并且它可以用一个带膨胀固定点的模态μ-演算公式在M中定义出来。这对SR和博弈论理性的重复宣告同样成立。
如果A有‘正存在的’语形(SR确实有)，该定义满足μ-演算的标准。在“内在的深思熟虑”场景下，选手始终记住她们的理性。我们可以宣告其他许多陈述，类似的分析可以应用到扩展博弈中：
定理6对扩展博弈的逆向归纳求解是这样得到的，即通过重复宣告断言“没有玩家会选一个其历史结果比选其他任何步法之后的历史结果都糟糕的移动”。
这里我们可以看到这一方法是如何分析蜈蚣博弈的，正如名字暗示的那样它有很多分支：
该程序以最大子模型结束，其中玩家对理性有公共信念。同样，除了BI的彻底自我主义者还可以选择其他的宣告。van Benthem 2003讨论了基于历史的宣告，在其中，由于“以往得到的恩惠”，参与者提醒自己注意别人的合法权益来采取将来的行动。
阶段0：消去u，阶段1：消去z，阶段3：消去y。
漫谈：策略 博弈不只是关于单个的移动，还是关于较长期的相互作用的策略。如果我们为了博弈中的策略和移动而使用命题动态逻辑PDL(参见van Benthem 2002)，这会产生带有公开宣告[！A]的逻辑PDL+PAL，容易证明PDL对于相对化到它的可定义子模型这一操作是封闭的，这对于它的命题和程序两部分都同时成立，例如对于涉及基本测试？A的程序使用算子π| A。
定理7 PDL+PAL是可公理化的，这通过合并它们各自的规则同时增加以下归约公理：
当然，博弈除了移动和策略外还有更多的结构，PAL型的宣告场景结合认知偏好语言也是很有意义的。
八、更多的例子和进一步的方向
更多的宣告动态对于现存的逻辑加入公开宣告这一逻辑算子，从而可以使得它们下面信息流动的机制显性化，我们目前的讨论绝没有穷尽这一潜能。虽然没能进一步阐明，我们这里给出最后一个值得探索的例子。受Yamada早先工作的启发，van Benthem & Liu 2006考虑因为命令和建议引起的偏好变化，把这一新信息和公开宣告综合加以考虑。这一组合发生的一个现实背景就是社会选择理论，可以用来分析其中的选举模式。这个领域的数学框架通常考虑的仅仅是偏好聚合函数，去证明这些偏好所满足的标准的限制条件。但在现实中，这一过程是逐步动态变化的。在投票之前，随着新信息的输入，还有一个考虑过程。新进的信息能以各种方式影响主体的偏好。例如，如果我对于认为某一事物最可行这一偏好是根据我的信念作出的，那么新的事实信息能够改变信念，从而改变了偏好。我想投许诺金山的政党的票，但是当我获悉这样的地质构造并不存在时，我改变我的投票。并且这里甚至有一些更为精妙的现象。得知他人的偏好也可能是相关联的，例如，当我想把我的票和他们的票联合起来的时候。这就是为什么在考虑过程中，“测验民意的投票”是有用的，因为它告诉我们关于其他参与者偏好的一个初步方式。考虑和投票似乎是经验的一个丰富源泉，它涉及静态认知/信念偏好语言的逻辑形式化，涉及关于经验和其他主体的新信息的输入问题。把公开宣告加进社会选择理论似乎是一个很好的初步工作，因为它能把对于投票过程“自上而下”的分析和对于理性考虑和程序公正“自下而上”的描述结合起来。
更广的框架 目前有些文献中把作为信息流动机制的公开宣告作进一步扩展，例如通常情况下主体只具有部分观察的能力。一般的动态认知逻辑(Baltag，Moss & Solecki 1998，van Benthem，van Eijck & Kooi 2006)用事件模型A描述主体具有不同观察途径这一复杂场景。所谓的“乘积更新”把当前模型M变成一个记录不同主体信息的模型M×A。乘积更新重新定义了相关可能世界的论域以及它们之间的认知择换关系。交谈、博弈、网上交易等其他的真实活动都可作类似的处理。当我们注意于对话中涉及顺序组合、安保选择、迭代甚至并行组合等可计算的程序结构时，产生了一些其他结构。Van Benthem 2007A就讨论如何把这些与刻画理性主体之间智能互动的显性逻辑结合起来。接下来，涉及较长的时期，有描述信息加工过程中各种可能的时态进化的认知-时态逻辑，它在哲学逻辑、可计算性逻辑、博弈逻辑、学习理论、情境演算和信念修正等领域使用。van Benthem & Pacuit 2006把很多发展线索综合在一起，对大量文献作了一个概览。
注释：
①数独难题：一种基于逻辑的数字摆放游戏。一个方框，共有9×9个空格，这些空格又分成3×3个区块，在每一个区块放上9个数字，游戏设置者已经先在每个区块放上了一些数字，玩家要在某些限制条件下放上其他的数字，特别是要确保从1到9的每个数字在每个区块内、当然也在该区块的每一行和每一栏内只出现一次(故名“数独”)。数独难题类似于古老的拉丁方阵，其现代形式由美国人Howard Garns发明，1986年起开始在日本流行，取名“数独”，2005年开始成为国际流行的热门游戏。——译者注