从三段论扩充到命题逻辑，本文主要内容关键词为：命题论文,三段论文,逻辑论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：B812.2
文献标识码：A
文章编号：1673-9841(2013)01-0027-05
一种观点认为，要理解传统三段论逻辑，我们不得不预设命题逻辑[1]。但本文将根据罗伯特·范·罗伊(Robert van Rooij)的工作得出相反的结论。的确，亚里士多德的三段论逻辑并不包含命题逻辑，但这并不意味着我们不可以以传统三段论的词项或形式来思考命题逻辑。实际上，三段论可以被视作命题逻辑的片段，而本文将展示如何将这一片段补全至全部命题逻辑。本文将依序给出三个逐步扩充的逻辑系统：首先是亚里士多德三段论逻辑，之后是词项逻辑范围内的三段论扩充系统，最终给出由三段论逻辑扩充所得到的命题逻辑。将传统逻辑进行扩充的想法最早来自萨默斯(Sommers)[2]，而罗伯特·范·罗伊的工作[3]使这一想法得以实现。
一、亚里士多德三段论推理的形式化
(一)背景
以及归谬法(reductio per impossibile)：如果一个前提集可推出矛盾，则至少其中一个是错的，人们可推出所有其他有效三段论。
二、三段论逻辑的初步扩展
以上给出了亚里士多德三段论逻辑。但经典三段论逻辑仅能得出传统词项表达式下的部分有效推理。而像从“所有塑料都是不导电的”、“有些塑料是非金属”推出“有些非金属是不导电的”是直观有效的，但却不是有效三段论。④此外，处理三段论推理时我们通常把单称命题当做全称命题看待，但它们并不是在所有情况下都可等同看待。为了处理这些问题，我们对SYL做一定的修改及扩充。
(一)直观分析
1.否定：在亚里士多德三段论理论中，否定词项并没有起到重要的作用，这可能是亚里士多德倾向于对词项作内涵解释而导致否定较难处理的缘故。⑤而如果给词项以外延解释：如果S是词项，则集合S的补集
也是词项，则问题会大为简化。相应地，语法部分加入双重否定公理以及换质位法来讨论否定项，同时取消公理eae和eio来简化系统。
2.单称命题：大多数传统逻辑学家把单称命题当做全称命题来处理，但它们不能被完全等同看待。一般地，a和e命题是反对关系，它们不能同真，但可同假。因此，从
(SaP)推不出SeP。但这一推理对单称词项却是有效的：如果“李白是诗人”不真，则“李白不是诗人”为真。从对当方阵角度来说，这意味着反对关系和矛盾关系是一样的。要解决这一问题，我们采用莱布尼茨的处理方法[4]：对于单称命题，a和i命题重合，e和o命题重合。相应地，语法方面，我们需要给出有关单称词项的一个特殊规则。
3.存在量词引入规则的限制：为了后文扩充讨论的方便，我们要在系统中引入项“
”(代表实体)。如果把当做一个任意的项引入我们的语言，存在假定规则的应用会变得复杂：因为的否定项的存在假定是不能被接受的。为了避免这一问题，我们这里考虑对存在假定做限制，令其只能用在正词项上。
4.周延性：有关词项的周延性，传统(逻辑学家)认为是语义问题：一个项在一个语句中是周延的，如果它适用于所有其涉及的个体；一个项在一个语句中是不周延的，如果它只涉及部分个体。这一形式化曾被吉奇(Geach)等现代逻辑学家所批评。[5]
约翰·范·本瑟姆(John van Benthem)认为，周延性可以以单调性的形式重新定义。[6]这样我们就可以将周延性看做语法性质，进而可以考虑引入Dictum de Omni这一替换规则来代替公理aaa和aii，该规则在项的周延性问题上将起到重要的作用。
基于以上思考，给出扩充系统
。
(二)公理系统。
语言
定义2.1：(1)所有的初始项是项；(2)如果S是项，则也是项；(3)没S，P是初始项，则SaP，SiP，SeP和SoP是直言命题。
定义2.2：一个项在一个语句中的出现是周延的，如果其出现为单调下降的/负极性的；一个项在一个语句中的出现是不周延的，如果其出现为单调上升的/正极性的。
可以证明以上规则可得出所有有效的三段论。除此之外，从以上的公理和规则我们还可以推出那些直觉上有效但不是三段论的推理(论域给定后，根据文恩图可以推出其真但不是三段论的推理)。例如，前面提到的从“所有塑料都是不导电的”、“有些塑料是非金属”推出“有些非金属是不导电的”推理。证明参见参考文献[3]。
三、从三段论到命题逻辑
(一)直观分析
从三段论扩充到命题逻辑的关键是：把命题也看做词项。如果把传统三段论中的词项都看做一元谓词，那么，要在传统词项逻辑得到命题逻辑，我们必须允许0元谓词。在这种思路下，如果S、P是0-元谓词，条件句“如果S，则P”可被表示成SaP，而合取句“S和P”可以被表示成SiP。这一观点在萨默斯的著作[2][7]中曾经出现过，而罗伯特·范·罗伊则将这一观点落在了实处。
为了解释0-元谓词，我们需要吸收弗雷格的想法：0-元谓词或真或假。
(二)扩充系统PL
根据以上真值表，有
我们就可以得出结论：从三段论逻辑可以推出命题逻辑。
四、扩展讨论
根据上文我们看到，从传统三段论逻辑出发可以很自然地扩充得到全部命题逻辑。沿着这种思路：我们还可以考虑像多量词(multiple quantification)这种所有现代教科书都声称不是传统逻辑所能达到的范围：有一个女人被所有男人所喜爱。因此，每个男人都喜爱一个女人。此外，传统模态三段论和现代模态逻辑之间是否会存在类似的联系?这也是值得探讨的问题。
三段论逻辑比一阶谓词逻辑更接近于自然语言，换个说法.也就是它更直观。尽管吉奇的著名理论[5]曾断言传统的周延性理论毫无希望地令人迷惑，而后来发展起来的广义量词理论则表明传统概念单调性对语言和逻辑应用来说都有巨大的价值。而本文所介绍的工作更加让人们反思过去传统逻辑分析方式不好或说是误导的说法。进一步地，戈伊茨(Geurts)等用实践表明应用单调性的推理更“简单”。[8]
注释：
⑤在逻辑史上，否定项一直被当做不可定义的以及无穷的项。这可能是因为亚里士多德比较倾向于对词项作内涵解释，根据这种解释：SaP为真：如果P的内涵包含于S的内涵。在这样的解释下，什么是否定词项很难解释清楚。
⑥如果D不为空集。