市场易变性与期权理论定价数学模型的比较，本文主要内容关键词为：易变性论文,期权论文,数学模型论文,理论论文,市场论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
期权，亦即期货合约选择权，是一种非常复杂而又微妙的金融工具。近若干年来，期权交易的发展已在国际金融市场上占据了相当重要的地位。然而，期权的定价则是个非常复杂的问题，同时也是期权交易中最重要的问题。
期权的价格即期权的保险金，它等于期权的内在价值与时间价值之和。影响期权价格有很多因素：期权执行价格（E）、 相关期货合约的价格或金融工具的价格（S）、期权期限（t）、市场易变性（σ）、短期利率（r），以及红利、息票、投资收入等。文献[1]、[2]曾对期权及期权价格的上述影响因素作过详细的分析。因此，期权理论定价的模型可用如下函数关系表示：
期权价格＝f（S、E、t、σ、r）
在上述所有影响因素中，除市场易变性之外，都是可以直接观察到的。市场易变性是唯一虚幻的因素，但又对期权价格起着十分重要的影响。为此，本文首先从这一因素入手。
一、市场易变性及其测度
期权市场上，市场易变性是指期权期限内，期权协定的金融工具的市场价格的分布情况。它不具有方向性，即它并不反映市场价格的上升（牛市）或下降（熊市）趋势。从统计学上来看，易变性是前后两个观察期价格之比的对数的标准差。因此，一般使用正态分布来反映易变性的分布。
易变性的计算工式为：
式中R为按市场上属观察的原始价格P转换成的收益，即
考虑到实际观察数据序列往往并不完整，但一般而言，时间间隔越大，同一种金融工具的价格分布也越广。
m代表两个观察价格P[,t]与P[,t]-1之间间隔的天数。
二、期权理论定价的Black—Scholes模型
在众多的期权定价模型中，Black—Scholes模型是最著名的，它既被专门从事期权交易的商人使用，也被研究人员用来探索期权价格的发展。该模型包含一系列假定条件，最为重要的假定条件有：
（1）相关期货或金融工具的价格服从对数正态分布， 并且收益率的期望值及其标准差为常数；
（2）不考虑交易成本或交易税；
（3）不存在无风险的套利可能；
（4）期货交易是连续进行的；
（5）市场的短期资本借贷利率相同且为常数。
Black—Scholes模型可表述为：
这里C代表看涨期权（式买方期权）的价格；
具有相同执行价格和期限的看跌期权的各个参数计算如下：
我们将上述结果列于表1进行比较：
表1 期权的理论价格及参数的比较
看涨期权 看跌期权
价格2.42 1.44
δ0.5868
-0.3933
r0.07780.0778
υ
11.5728
11.5728
θ
-3.5096
-3.588
可见，四个参数中以υ的绝对值最大。这反映了市场易变性对期权价格的影响最大；其次是θ，它反映了期权价格随时间的衰减率，这里负号表示衰减；而δ与r一般较小，其绝对值一般在0—1 之间对此例而言，看涨期权的市场价格变动1个日元，将导致期权价格同方向变动0.5868日元。而市场价格变动额中上有7.78%转化到δ的变动之中。
最后，我们考虑一下真实金融工具期权，如股票、外汇期权的定价。在运用Black—Scholes模型时这类金融工具市场价格S 的确定要比期货期权复杂。这是因为期货交易中由于价格波动而引起的现金流动在期货期权定价过程中被忽略不计。而这在真实金融工具期权中不能忽略。因此，首先要计算此类真实金融工具的远期价格：
F＝S[1+（r－d）t] （15）
其中：F为远期价格；S为现期价格；r为短期金融利率；d为支2 付，如红利、息票收入等，以现期价格的年率表示；t为期权期限， 以年表示。
式（15）中d是以年率表示的，适用于连续增殖的支付； 而当红利或票息是在一定阶段发放一次时，这种支付与现期价格无关， 以大写D表示，公式变为
F＝S（1+rt）－D （16）
以此来代替式（4）中的S，即得到真实金融工具期权的定价模型：
模型（17）、（18）可认为是对一般期货期权定价模型的推广。
三、期权理论定价的CRR模型
期权定价的CRR模型是继Black—Scholes模型之后几年由COX， ROSS和Rubimtein三学者共同创立的另一模型。
期权的定价就是要找到期权的公正的市场价值。这一公正的市场价值就是被期权的买方和卖方在大量交易之后，从统计的角度看都处于不盈不亏状态。为了找到期权的公正的市场价值，需要清楚市场价格的变动与分布。例如现行市场价格为100，它可能上升或下降5，每种变化的可能均为50%，则市场价格可以被预测为105或95。 然后再确定在每个价格水平上的期权的价值。期权在到期日的价值，即期权的最终价值，只是在到期日时实值期权价值部分。如果在到期日时，期权为虚值或平价期权，则期权无价值（参见文献[1][2]）。
用C表示看涨期权最终价值，E表示期权的执行价格，U 表示市场价格，max表示最大值，则
C＝max[（U－E），0]
即看涨期权最终价值是市场价格执行价格之差和零之中较大值。同样，看跌期权的最终价值是执行价格与市场价格之差和零之中较大值，以P表示看跌期权最终价值，即
P＝man[（E－U），0]
如果市场价格上升到105，则看涨期权最终价值是105－100＝5；如果市场价格下降到95，则该期权最终价值是0。 如假定市场价格上升到105与下降到95的可能性均为50%，则该期权的公正价值为
C＝0.50man[（105－100），]+0.50max[（195－100）.0]
＝0.50×5+0.50×0＝2.50
假定市场价格持续按这种方式变化，最后将形成一种“树”型结构（参见图1）。在这种形式下，CRR模型期权价值的计算是按逆推法进行的。如，价格为100时，期权价值
C＝0.50×5+0.50×0＝2.5
价格为110时，期权价值
C＝0.50×15+0.50×5＝10
以此类推，可以逆推至最初的期权价格。图1 中圆括弧内数字表示各期价格所对应的期权价格，此例中期权最终定价为3.75。
图1CRR模型中期权的定价与σ
根据图1，也同样可以计算δ值。由前面公式可知， δ表示单位市场价格变动所引起的期权价格的变动幅度。当期权协定的金融工具的市场价格从100元上升到105时，期权的最终价值是5； 当市场价格下降到95时，期权的最终价值是0，δ可以计算如下
图1中其余各价格水平对应的δ均可同样计算， 方括号中所列均为δ值。
四、评价
最后，我们将这两类期权定价模型作一些简单的比较。Black —Scholes模型最大的缺点在于它没有考虑期权提前执行的情况， 因而更适用只在期权到期日才交易的欧式期权。而对于在期权到期日前任何时间都可执行的美式期权，其应用有一定的局限性。相反，提前执行期权的行为在CRR模型中并没有被排斥，因此，该模型的适用性更强。 正因为如此，对于实值期权，Black—Scholes模型的定价较CRR模型偏低。此外，从计算角度，CRR模型的缺点是计算不便，特别是对于大宗计算，它需要花费比Black—Scholes模型更多的时间。
注释：
1.李翔，“论期权市场的价格决定与订价决策”，《价格月刊》，1994年第4期
2.李翔，“期权与期权交易战略风险收益比较”，《国际贸易问题》1994年第5期
3.Chicago Board of Trade， Wilshire Small Cap Index—Futures Qptions Applications Guide，1993。
4.苏英姿，徐胜利，《期权》，北京工业大学出版社1994年3月版。
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