基于“四步法”求解线段和最值问题的教学设计
张 炜
(浙江师范大学附属大目湾实验学校，310000)
浙教版数学七年级上册在“课题学习”中提出，解决问题通常可以按“理解问题、制定计划、执行计划、回顾”四个步骤来进行(以下简称“四步法”)．笔者以“四步法”作为理论指导,结合线段和(差)最值问题教学实际,作出相应的教学设计,兹将主要教学环节介绍如下，以期与同仁进行交流共同提高．
环节 1课前预习，操作探索(理解问题)
思考理解 教师设计如下的“先行组织者”供学生课前预习,允许合作研讨．
材料 1 如图1，已知抛物线y =-x 2+2x +3与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,点B 的坐标为(3,0),点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点,求PA +PC 的最小值．
材料 2 如图2，一次函数与反比例函数的图象交于A ,B 两点,点A 的坐标为(-3,2),点B 的坐标为(2,-3),点P 为y 轴上的一个动点,当点P 在什么位置时,|PA -PB |的值最大?并求出最大值．
问题清单 (1)图1中，PA +PC 的三个点P 、A 、C 之中,谁是固定点,谁是运动点?
(2)材料2中的|PA -PB |的最大值的实质，是当动点P 在指定的直线上(y 轴)运动时,y 轴的异侧的两个定点A ,B 与动点P 的线段差的绝对值最大．
(2)在图1中PA +PC 为最小值时点P 的位置特征是什么?在图2中|PA -PB |为最大值时位置特征又如何?
(3)你认为问题解决的关键点是什么?
膨润土的膨胀性能以膨胀容表示，同一属型的膨润土，含蒙脱石愈多，膨胀容愈高。胶质价、膨胀容是鉴定膨润土矿石属型和估价膨润土质量的技术指标之一。
科技人员既是科技成果开发者，也是加快转化的促进者，虽然已出台政策明确保障科技人员在成果转化中的权益，但实际操作依然面临制度难点。高校和研究开发机构对科技成果转化人员的评价和管理制度不完善，“重论文、轻成果”“重立项申请、轻成果转化”等现象依然存在，一定程度影响了科技人员从事成果转化的积极性。
设计意图 通过具体的问题，为学生提供提前进行思考预热的时间和空间,让学生预知课堂教学的方向,这样改变了教学由教师掌控的单一方式．预习材料短小精悍,问题具有提示性,入口小,参与面大,学生便于操作．学生通过预习材料可以独立思考,也可以在课余时间进行相互学习、相互交流，可以激发学生积极思考,合作学习,共同进步的学习意识．
环节 2课堂概括，提炼模型(制定计划)
问题清单 (1)要求线段和PA +PC 的最小值,你联想到的几何模型是什么? 要求线段|PA -PB |的最大值，你联想到的几何模型又是什么?
环节 4回顾反思，寻找规律(回顾)
2014年，将是福建亚通新材料科技股份有限公司成立20周年之际，新的起点，新的希望。亚通管道将持续以一流的产品，一流的服务，为中国水利、现代农业、电力、交通、通信、石油、化工、城市建设、环境保护和其他工业事业作出应有贡献，引导中国塑料管道行业向更高、更新水平迈进！
(3)你在思考中还有哪些困惑?
设计意图 借助问题清单及时提炼问题解决的“程序”,为透彻理解问题本质架线搭桥,实现学生在思考和理解问题上的“导富济贫”，激励学生学会联想,学会探索，在体验数学活动过程中成长．
综上，在急性心肌梗死的诊断中，应用彩色多普勒联合心电图进行检查，检查率高、操作简单，值得临床推广应用。
中小制造企业常常忽略市场战略，而依赖通过关系来销售产品，一旦新经济环境演变到某个层面，以往的关系渠道往往就会失效。中小制造企业的有点就是经营方式灵便，运营方法多样。但是对于关系渠道过分依赖也是一些中小制造企业的通病。例如压缩机械产业中，少数甚至一两个下游的国有石油化工或跨国电子电力大企业销售渠道，就能养活一个小企业，市场上的其它公司中并不具有知名度。一旦销售人员关系断掉或对方业务不再需要，可能企业立即无法存活。因此，要转变战略思维，专注市场开拓并获取知名度，这是新经济环境下更好生存的前提和基础。
环节 3归纳概括，形成经验(执行计划)
随着大数据时代的到来，我国人民以及各领域企业对于数据的要求相继增高，若仅依靠Hadoop技术，将无法顺应时代的发展以及人们的需求。与此同时，数据的发展趋势也开始发生改变，逐渐走向种类多、规模化以及结构复杂的形式，为使数据系统能够更好地应对当下趋势，许多新型研究成果相继出现，其中最为著名的为谷歌全球级分布式数据库。
实施计划 (1)材料1的PA +PC 的最小值的实质是，当动点P 在指定的直线上(抛物线的对称轴)运动时,对称轴的同侧两个定点A ,C 与动点P 的线段和最小．
图2中，|PA -PB |的三个点P 、A 、C 之中,谁是固定点,谁是运动点?
(2)解决问题的图形结构是三角形三边关系,其数学根源可以追溯到数学原理——两点之间线段最短．
(4)在材料1中二次函数的背景有何功能?在材料2中y 轴在问题解决中有何作用?反比例函数图象有何作用?你有何发现?
(5)你在问题解决后有哪些收获?
一是通过加强对水利工程选址和工程规模的掌控，充分分析是否有可能发生的滑坡、塌陷等地质灾害问题，尽可能避免在具有风险的地段进行施工；二是通过制定科学合理的施工进度表，将施工进度从时间轴上细化，确保水利工程的顺利进行；三是通过加强培训工作，提升施工人员专业技能，进而完善水利建设技术，确保工程施工进度的速度和质量；四是通过提高施工合同进度和安全管理，促使施工单位严格按照合同签订的内容进行施工，同时将安全教育工作贯穿于工程的始末，确保工程能够按时顺利完成。
(2)你认为解决线段和(差)最值问题的关键是什么?
计划反思 (1)联想材料是将军饮马问题．
(3)材料1中问题的解决就是直线外的同侧两个固定点与固定直线上的动点的线段和最小．材料2中的问题解决就是直线外的异侧两个固定点与固定直线上的动点的线段差的绝对值最大．
(3)解决问题的步骤是三定一连：一定动点所在的直线为对称轴，二定直线同侧有两个固定点，三定其中一个定点关于定线的对称点；一连是其中一个定点的对称点与另一个定点连结，交点即为最小值(或最大值)的位置．
(4)解决问题的关键是确定动点所在的定线，以定线作为对称轴．
环节 5引申提高，触类旁通
材料 3 如图3,在矩形ABCD 中,AB =10,AD =6,动点P 满足
则点P 到A 、B 两点距离之和PA +PB 的最小值为______ .
设计意图 通过改编中考模拟题,激发学生从一题多变中找到问题的实质，从直接型和完整型的图形结构到间接型和补全型的图形结构(图4),培养学生活学活用,触类旁通,提高解题能力．
环节 6实战练习，深化提高
关于线段和(或差)的最值问题，从图形的外形特征来看,主要出现以下情形：第一种是三定一连的基本模型,也可以称为标准型;第二种是含有轴对称性的对称型,第三种是定线和定点一定条件下的规律型(点的轨迹结构).具体如图9．
材料5提供了平面图形与空间图形的转化,前后对比,不难发现定直线演变成定曲线,是将线段和的平面图形拓展到空间图形,通过圆柱的侧面展开图(图8),将空间问题转化成平面问题来解决,它是将线段和最值结构从平面向空间的拓展，培养学生空间化归到平面原理上的空间想象力．
设计意图 在问题的条件中具备动点P 运动的定直线AD 和一个定点C ，另一个定点G 变成符合轨迹为圆的方式,从形式看本质,从变化中提炼不变．解题的关键是寻找动点P 运动所在的定线．尽管点G 是动点,但是从条件AE =DF ,结合正方形的图形特征,得到∆AEB ≌∆DFA ；∠DAF =∠ABE ，∠BAE +∠ABG =90°,确认∠AGB =90°，从而获得点G 是在以AB 为直径AB 的中点O 为圆心的圆弧上运动．由轴对称性PG +PC 的最小值就是点C 关于AD 的对称点C ′与点O 的连接线，与AD 的交点就是点P 产生PG +PC 最小值的位置．
材料 5 (选自2019宁波市象山县模拟考试)如图7，圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面周长为16cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm.
环节 7总结归纳，通透精准
1.5.3 宫腔再粘连情况 在TCRA术后3个月，患者月经干净后3～5 d，行宫腔镜探查术进行常规复查，再次进行宫腔粘连评分，若评分≥5分判定为宫腔再粘连。
材料 4 (选自2019宁波市考试说明)如图5、6,正方形ABCD 的边长为 4,E ,F 分别是边AD ,DC 上 的动点,且 AE =DF ,连结AF ,BE 交于点G ,P 是AD 边上的另一个动点,连结PG ,PC ,则PG +PC 的最小值______ ．
环节 8拓展延伸，把握实质
材料 6 1.练一练
(1)如图10，在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠BAD =90°,AB =6,对角线AC 平分∠BAD ,点E 在AB 上,且AE =2(AE <AD ),点P 是AC 上的动点,则PE +PB 的最小值是______ .
纳税人赡养一位及以上被赡养人的赡养支出,独生子女可按每月2000元的标准定额扣除;非独生子女可由其与兄弟姐妹分摊每月2000元的扣除额度,每人分摊的额度不能超过每月1000元。需要注意的是，被赡养人是指年满60岁的父母以及子女均已去世的年满60岁的祖父母、外祖父母。
(2)如图11，在边长为2cm的正方形ABCD 中,点Q 为BC 边的中点,点P 为对角线AC 上一动点,连结PB 、PQ ,则∆PBQ 周长的最小值为______ cm(结果不取近似值)
(3)如图12,两点A 、B 在直线MN 外的同侧,A 到MN 的距离AC =8,B 到MN 的距离BD =5,CD =4,P 在直线MN 上运动,求|PA -PB |的最大值．
该项目充分体现了多方协同，贯穿项目生命周期的一体化规划、设计、施工和运维的BIM应用理念，其交付过程广泛使用了各领域内最新的BIM解决方案。项目组在项目初期即制定了详细的BIM执行计划，明确了项目组成员的各自建模与模型管理任务以及成员间的数据/信息交换标准和协议，清晰地建立了协同合作的技术与交流平台，并有效地结合了其他建筑行业内的高新技术创新，包括装配式建筑、施工机器人、移动计算、云计算以及虚拟现实等（见图3）。
1.2.1 选择非农就业。依本次调研数据来看，宅基地建造未完工的农户中，非农就业占83.78%。农业生产高成本、低回报、周期长、投入资金大以及受天气条件制约大，而农产品的利润被近年来价格不断上升的农业成本挤压。当外出务工效益远大于种粮时，农户们（除承包大户）逐渐由传统家庭承包经营户演变为生计型小农。农户家庭中青壮年外出务工，家中只留老人打理少量田地，所种粮食仅够自家食用，不再向外兜售，然后用在外务工收入回乡建房，攒一点建一点。这样“弃农不离农，离土不离乡”的情况在农村成为常态，道路旁许多尚未建成却长期停工的新宅均属此类情况［2］。
2.想一想
48例患者中34例突出的间盘位于第3层，需要行S1上关节突的处理，14例患者突出位于第1层或第2层，不需要处理S1的上关节突；按照Choi的髂棘高度的划分，在34例椎间盘突出位于第3层的患者中，有17例属于第5型或第6型，需要行S1上关节突的处理（图2）。
你从上述练一练中,获得哪些解题的经验?你对考题的设计意图有何感受?
设计意图 以上三个问题分别从三个类别进一步给学生提供充分的时间和空间，强化领悟解决这类问题的思路，实现从知其然到知其所以然的学习境界．在图10中，认识到确定PE +PB 最值的关键点是，具备动点所在的定线成为对称轴,其实质是借助轴对称性去寻找线段和最小值的位置特征．在图11中认识到∆PBQ 的周长最小的本质就是BQ +BP +PQ 的计算中,BQ 的长度确定,从而周长最值转化成线段和的最值．在图12中求|PA -PB |的最大值，其实质是将四边形问题转化到三定点一定线的模型上,通过追本溯源,落实此类问题的通法通解．
参考文献
[1]潘小梅基于“三个理解”设计凸显过程的教学[J]中学数学教学参考中旬,2012(11):19-22
[2]赵庭标从“三个理解”看“反比例函数图象和性质”教学中学数学教学参考:中旬,2016(12):13-15
[3]俞卫胜一道压轴题的解法赏析及教学思考[J]初中数学教与学．2018(6)34-36
[4]张建华基于“三个理解”,注重“自然生长”[J].中学数学初中版.2015(7).21-23
[5]张炜基于“学为中心”理论下“有理数的乘法(2)”的教学探索及反思2017 (12)30-36
[6]张炜基于“学为中心”教育观的整式概念教学设计的探索及反思.2019(2)29-33
[7]邬云德基于“数学是过程”的圆(1)的教学探索与反思2011(3)2-7
[8]中华人民共和国教育部制定义务教育数学课程标准(2011版)北京师范大学出版社[M]2012.2-3
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