数学与文化——在北大数学文化节上的报告，本文主要内容关键词为：数学论文,文化节论文,北大论文,报告论文,文化论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
我今天讲的题目是数学与文化。从哪儿开始呢？从王国维的一句话开始。王国维在《人间词话》中说：
“诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外。人乎其内，故能写之。出乎其外，故能观之。入乎其内，故有生气，出乎其外，故有高致。”
平时听课、读书、作习题是入乎其内，今天听报告是出乎其外，两者相辅相成。只知入乎其内，那是见木不见林，常常会迷失方向。所以还要辅助以出乎其外，站出来作高瞻远瞩。不站出来，就不知道数学的根在何处，不知道自己研究的最终目的与最终方向是什么。不站出来，就看不到数学与别的学科的密切联系与相互影响。不站出来，就看不到数学对人类文明的巨大贡献。
整个人类文明的历史就像长江的波浪一样，一浪高过一浪，滚滚向前，科学巨人们站在时代的潮头，以他们的勇气、智慧和勤奋把人类的文明从一个高潮推向另一个高潮。我们认为，整个人类文明可以分为三个鲜明的层次：
1）以锄头为代表的农耕文明；
2）以大机器流水线作业为代表的工业文明；
3）以计算机为代表的信息文明。数学在这三个文明中都是深层次的动力，其作用一次比一次明显。
古人讲，欲穷千里目，更上一层楼。今天，我们将在文化这一更为广阔的背景下。讨论数学的发展，数学的作用以及数学的价值，让同学们不仅从数学自身的思想方法和应用的角度，而且从文化的高度和历史的高度鸟瞰数学的全貌和美丽。
数学在人类文明中一直是一种主要的文化力量，数学不仅在科学推理中具有重要的价值，在科学研究中起着核心的作用，在工程设计中必不可少。而且，数学决定了大部分哲学思想的内容和研究方法，摧毁和构造了诸多宗教教义，为政治学和经济学提供了依据，塑造了众多流派的绘画、音乐、建筑和文学风格，创立了逻辑学。数学为我们回答人与宇宙的根本关系的问题提供了最好的答案。作为理性的化身，数学已经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域，并取而代之，成为其思想和行动的指南。
这里，还需要指出，数学文化包含两个方面，一是作为人类文化子系统的数学。它自身的发生、发展的规律，以及它自身的结构；一是它与其它文化的关系，与整个人类文明的关系。今天报告希望兼顾两个方面，但重点放在第二个方面。
我们必须认识到，数学对人类文化的影响有这样一些特点：由小到大，由弱到强，由少到多，由隐到显，由自然科学到社会科学。
简而言之，今天我们要唱一曲数学的赞歌，赞美数学思想的博大精深，赞美由数学文化引出的理性精神，以及在理性精神的指导下，人类文明的蓬勃发展。
1 古希腊的数学
古希腊人最了不起的贡献是，他们认识到，数学在人类文明中的基础作用，这可以用毕达哥拉斯的一句话来概括：自然数是万物之母。
毕达哥拉斯学派研究数学的目的是企图通过揭示数的奥秘来探索宇宙的永恒真理。他们对周围世界作了周密的观察，发现了数与几何图形的关系。数与音乐的和谐，他们还发现数与天体的运行都有密切关系。他们把整个学习过程分成四大部分：1）数的绝对理论—算术；2）静止的量—几何；3）运动的量—天文；4）数的应用—音乐，合起来称为四艺。
以音乐为例，从毕达哥拉斯时代开始，人们就认为，对音乐的研究本质上是数学的，音乐与数学密不可分。他们作过这样的试验：将两条质料相同的弦水平放置，使它们绷紧，并保持相同的张力，但长度不同。使两张弦同时发音，他发现，如果弦长的比是两个小整数，如果1：2、2：3、3：4等，听起来就和谐、悦耳。正是基于这种认识，毕达哥拉斯学派定出了音律。顺便指出，我国在古代也以同样的方式确定了音律。
他们得到结论：自然数是万物之母。宇宙中的一切现象都以某种方式依赖于整数。但是
极大的震动。这就爆发了第一次数学危机。数学基础的第一次危机是数学史上的一个里程碑，它的产生与克服都具有重要的意义。第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：证明进入了数学，数学已由经验科学变为演绎科学。
中国，埃及，巴比伦，印度等国的数学没有经历这样的危机。因而一直停留在实验科学，即算术的阶段。希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的“几何原本”与亚里士多得的逻辑体系，而成为现代科学的始祖。
2 欧几里得的“几何原本”
欧几里得的“几何原本”（Enclid，约公元前330—前275）的出现是数学史上的一个伟大的里程碑。从它刚问世起就受到人们的高度重视。在西方世界除了“圣经”以外没有其它著作的作用、研究、印行之广泛能与“几何原本”相比。自1482年第一个印刷本出版以后，至今已有一千多种版本。在我国，明朝时期意大利传教士利玛窦与我国的徐光启合译前6卷，于1607年出版。中译本书名为“几何原本”。 徐光启曾对这部著作给以高度评价。他说：“此书有四不必：“不必疑，不必揣，不必试，不必改。有四不可得：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更置之不可得。有三至三能：似至晦，实至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，实至筒，故能以其简简他物之至繁；似至难，实至易，故能以其易易他物之至难。易生于简，简生于明，综其妙在明而已。”“几何原本”的传入对我国数学界影响颇大。
欧几里得的“几何原本”被称为数学家的圣经，在数学史，乃至人类科学史上具有无与伦比的崇高地位。它在数学上的主要贡献是什么呢？
1 ）成功地将零散的数学理论编为一个从基本假定到最复杂结论的整体结构。
2）对命题作了公理化演绎。从定义，公理， 公设出发建立了几何学的逻辑体系，成为其后所有数学的范本。
3）几个世纪以来，已成为训练逻辑推理的最有力的教育手段。
4）演绎的思考首先出现在几何学中，而不是在代数学中， 使几何具有更加重要的地位。这种状态一直保持到笛卡儿解析几何的诞生。
我们还应当注意到，它的影响远远地超出了数学以外，而对整个人类文明都带来了巨大影响。它对人类的贡献不仅仅在于产生了一些有用的、美妙的定理，更重要的是它孕育了一种理性精神。人类的任何其它创造都不可能像欧几里德的几百条证明那样，显示出这么多的知识都仅仅是靠几条公理推导出来的。这些大量深奥的演绎结果使得希腊人和以后的文明了解到理性的力量，从而增强了他们利用这种才能获得成功的信心。受到这一成就的鼓舞，人们把理性运用于其它领域。神学家、逻辑学家、哲学家、政治家、和所有真理的追求者都纷纷仿效欧几里德的模式，来建立他们自己的理论。
3 希腊文化小结
古希腊的文化大约从公元前600年延续到公元前300年。古希腊数学家强调严密的推理以及由此得出的结论。他们所关心的并不是这些成果的实用性，而是教育人们去进行抽象推理，激发人们对理想与美的追求。因此，这个时代产生了后世很难超越的优美文学，极端理性化的哲学，以及理想化的建筑与雕刻。那位断臂美人—米洛的维纳斯（公元前4世纪）是那个时代最好的代表，是至善至美象征。正是由于数学文化的发展，使得希腊社会具有现代社会的一切胚胎。
希腊文化给人类文明留下了什么样的珍贵遗产呢？它留给后人三件宝。
第一，它留给我们一个坚强的信念：自然数是万物之母，即宇宙规律的核心是数学。这个信念鼓舞人们将宇宙间一切现象的终极原因找出来，并将它数量化。
第二，它孕育了一种理性精神，这种精神现在已经渗透到人类知识的一切领域。
第三，它给出一个样板—欧几里得几何。这个样板的光辉照亮了人类文化的每个角落。
但是，令人痛惜的是，罗马士兵一刀杀死了阿基米德这个科学巨人，这就宣布了一个光辉时代的结束。怀特海对此评论道：“阿基米德死于罗马士兵之手是世界巨变的象征。务实的罗马人取代了爱好理论的希腊人，领导了欧洲。…罗马人是一个伟大的民族。但是受到了这样的批评：讲求实效，而无建树。他们没有改进祖先的知识，他们的进步只限于工程上的技术细节。他们没有梦想，得不出新观点，因而不能对自然的力量得到新的控制。”
此后是千余年的停滞。
4 欧几里得几何的影响
欧几里得几何是推理的典范，其特点是，以简驭繁，以少胜多。这本书成为后人模仿的样板。我们来举几个典型的例子。
阿基米德不是通过用重物作实验，而是按欧几里得的方式，从“相等的生物在离支点相等距离处处于平衡”这一公设出发证明了杠杆定律。
牛顿称著名的三定律为“公理或运动定律”。从三定律和万有引力定律出发，建立了他的力学体系。他的“自然哲学的数学原理”具有欧几里得式的结构。
在马尔萨斯1789年的“人口论”中，我们可以找到另一个例子。马尔萨斯接受了欧几里得的演绎模型。他把下面两个公设作为他的人口学的出发点：人需要食品；人需要繁衍后代。他接着从对人口增长和食品供求增长的分析中建立了他的数学模型。这个模型简洁，有说服力，对各国的人口政策有巨大影响。
令人惊奇的是，欧几里得的模式还推广到了政治学。美国的“独立宣言”是一个著名的例子。独立宣言是为了证明反抗大英帝国的完全合理性而撰写的。美国第三任总统杰斐逊（1743—1826）是这个宣言的主要起草人。他试图借助欧几里得的模型使人们对宣言的公正性和合理性深信不疑。”我们认为这些真理是不证自明的…”不仅所有的直角都相等，而且“所有的人生来都平等”。这些自明的真理包括，如果任何一届政府不服从这些先决条件，那么“人民就有权更换或废除它”。宣言主要部分的开头讲，英国国王乔治的政府没有满足上述条件。”因此，…我们宣布，这些联合起来的殖民地是，而且按正当权力应该是，自由的和独立的国家。”我们顺便指出，杰斐逊爱好文学、数学、自然科学和建筑艺术。
相对论的诞生是另一个光辉的例子。相对论的公理只有两条：1 ）相对性原理，任何自然定律对于一切直线运动的观测系统都有相同的形式；2）光速不变原理，对于一切惯性系， 光在真空中都以确定的速度传播。爱因斯坦就是在这两条公理的基础上建立了他的相对论。
关于建立一个理论体系，爱因斯坦认为科学家的工作可以分为两步。第一步是发现公理，第二步是从公理推出结论。哪一步更难呢？他认为，如果研究人员在学校里已经得到很好的基本理论、推理和数学的训练，那么他在第二步时，只要“相当勤奋和聪明，就一定能成功”。至于第一步，即找出所需要的公理，则具有完全不同的性质，这里没有一般的方法。爱因斯坦说：“科学家必须在庞杂的经验事实中间抓住某些可用精密公式来表示的普遍特性，由此探求自然界的普遍原理。”
5 选票分配问题
选票分配问题属于民主政治的范畴。选票分配是否合理是选民最关心的热点问题。这一问题早已引起西方政治家和数学家的关注，并进行了大量深入的研究。
那么，选票分配的基本原则是什么呢？首先是公平合理、要做到公平合理，一个简单的办法是，选票按人数比例分配。但是会出现这样的问题：人数的比例常常不是整数。怎么办？一个简单的办法是四舍五入。四舍五入的结果可能会出现名额多余，或名额不足的情况。因为有这个缺点，美国乔治·华盛顿时代的财政部长亚历山大·汉密尔顿在1790年提出一个解决名额分配的办法，并于1792年为美国国会所通过。
美国国会的议员是按州分配。假定美国的人口数是p， 各州的人口数分别是p[,1]，p[,2]，…，p[,l]，再假定议员的总数是n。记
从大到小的顺序将余下的名额分配给相应的州，直到名额分配完为止。
汉密尔顿方法看起来十分合理，但是仍存在问题。按照常规，假定各州的人口比例不变，议员名额的总数由于某种原因而增加的话，那么各州的议员名额数或者不变，或者增加，至少不应该减少。可是汉密尔顿方法却不能满足这一常规。1880年，亚拉巴马州曾面临这种状况。人们把汉密尔顿方法产生的这一矛盾叫作亚拉巴马悖论。汉密尔顿方法侵犯了亚拉巴马州的利益。其后，1890年，1900年人口普查后，缅因州和克罗拉多州也极力反对汉密尔顿方法。所以，从1880年起，美国国会就针对汉密尔顿方法的公正合理性展开了争论。因此，必须改进汉密尔顿方法，使之更加合理。新的方法不久就提出来了，并消除了亚拉巴马悖论。但是新的方法引出新的问题，新的问题又需要消除。于是更新的方法，当然是更加公正合理的方法又出现了。人们当然会问，有没有一种一劳永逸的解决办法呢？
这个问题从诞生之日起，就一直吸引着众多政治家和数学家去研究。这里要特别提出的是巴林斯基和杨两位学者，他们在名额分配的研究中引进了公理化方法，并于1982年证明了一个令人吃惊的定理—不可能定理，即包括“不产生人口悖论”不违反公平分配原则”等在内的五条十分合理的公理不相容。换言之，满足这五条公理的名额分配方法是不存在的！这就是说，只有更合理，没有最合理。原来世上无“公”。
6 伽利略的规划
欧洲在千余年的沉寂后，迎来了伟大的文艺复兴。这是一个需要巨人，而且也产生了巨人的时代。1564年，伽利略诞生了，不独有偶，同年莎士比亚也诞生了。文艺复兴运动为人们带来了希腊的理性精神。伽利略是第一个举起理性旗帜的科学家。他的工作成了现代科学的新起点。
近代科学成功的密诀在何处呢？在于科学活动选择了一个新目标。这个目标是伽利略提出的。希腊科学家曾致力于解释现象发生的原因，例如亚里士多德曾花费大量时间去解释为什么空中的物体会落到地上。伽利略第一个认识到关于事物原因与结果的玄想不能增进科学知识，无助于人们找出揭示和控制自然的办法。伽利略提出了一个科学规划。这个规划包含三个主要内容：
第一，找出物理现象的定理描述，即联系它们的数学公式：
第二，找出最基本的物理量，这些就是公式中的变量；
第三，在此基础上建立演绎科学。
规划的核心就是寻求描述自然现象的数学公式。在这个思想的指导下，伽利略找出了自由落体下落的公式，还找出了力学第一定律和第二定律。所有这些成果和其它成果，伽利略都总结在《关于两门新科学的方法和数学证明》一书中，此书耗费了他30多年的心血。在这部著作中，伽利略开创了物理科学数学化的进程，建立了力学科学，设计和树立了近代科学思维模式。
现在方向已经指明，航道已经开通，科学将呈现一种加速发展的趋势。但是，要前进必须有新的数学工具。
7 解析几何
解析几何的诞生是数学史上的另一个伟大的里程碑。他的创始人是笛卡儿和费马。他们都对欧氏几何的局限性表示不满：古代的几何过于抽象，过多地依赖于图形。他们对代数也提出了批评，因为代数过于受法则和公式的约束，成为一种阻碍思想的技艺。而不是有益于发展思想的艺术。同时，他们都认识到几何学提供了有关真实世界的知识和真理，而代数学能用来对抽象的未知量进行推理，代数学是一门潜在的方法科学。因此，把代数学和几何学中一切精华的东西结合起来，可以取长补短，这样一来，一门新的科学诞生了。笛卡儿的理论以两个概念为基础：坐标概念和利用坐标方法把两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线的概念。因此，解析几何是这样一个数学学科，它在采用坐标法的同时，运用代数方法来研究几何对象。
解析几何的伟大意义表现在什么地方呢？
1 ）数学的研究方向发生了一次重大转折：古代以几何为主导的数学转变为以代数和分析为主导的数学。
2）以常量为主导的数学转变为以变量为主导的数学， 为微积分的诞生奠定了基础。
3）使代数和几何融合为一体，实现了几何图形的数学化， 是数学化时代的先声。
4）代数的几何化和几何的代数化，使人们摆脱了现实的束缚。 它带来了认识新空间的需要。帮助人们从现实空间进入虚拟空间：从三维空间进入更高维的空间。
解析几何中的代数语言具有意想不到的作用，因为它不需要从几何考虑也行。考虑方程
x[2]＋y[2]＝25我们知道，它是一个圆，圆的完美形状，对称性，无终点等都存在在哪里呢？在方程之中！例如，（x，y）与（x，－y）对称，等等。代数取代了几何，思想取代了眼睛！在这个代数方程的性质中，我们能够找出几何中圆的所有性质。这个事实使得数学家们通过几何图形的代数表示，能够探索出更深层次的概念。那就是四维几何。我们为什么不能考虑下述方程呢？
x[2]＋y[2]＋z[2]＋w[2]＝25，
x[2][,1]＋x[2][,2]＋…＋x[2][,n]＝25的方程呢？这是一个伟大的进步。仅仅靠类比，就从三维空间进入高维空间，从有形进入无形，从现实世界走向虚拟世界，这是何等奇妙的事情啊！用宋代著名哲学家程颢的诗句可以准确地描述这一过程：道通天地有形外，思入风云变态中。