从“双基”到“四基”的教学转向——对平面图形面积计算公式教学的思考，本文主要内容关键词为：计算公式论文,图形论文,平面论文,面积论文,双基论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
重视“双基”是我国数学教育的优良传统。听说修订的《国家数学课程标准》已经把“双基”扩展为“四基”，即增加“基本数学活动经验”与“基本数学思想方法”。重视基础是为了发展，数学教育改革中坚持“四基”，不仅可以更好地促进学生发展，而且也更加突出数学的学科性质。在具体的教学实践中，如何把“四基”落到实处，特别是在当前，如何实现从“双基”到“四基”的教学转向是一个重要命题。本文以小学数学平面图形面积计算公式教学为例，和大家一起讨论。
过去，平面图形面积计算是数学的核心内容之一，是几何知识中落实“双基”的重要载体。现在，平面图形面积计算仍然是空间与图形中图形测量的重要内容，主要学习长方形、平行四边形、三角形、梯形面积和圆面积等。这些教学内容既相互独立又密切联系。最近，浙江省组织了一次农村“新生代”教师教学展示活动，把以上教学内容集中在一起展开研究，给大家提供了系统分析与整体思考的机会。在小学学习中，平面图形面积计算公式的教学，强调动手操作活动与探究活动的展开，涉及基本数学活动经验的积累与基本数学思想方法的运用问题。通过对这些展示课的观察与思考，笔者意识到，数学教学要实现从“双基”到“四基”的转向，面临着诸多的问题与挑战。
这次的展示课，都以推导平面图形计算公式为核心目标，辅以空间观念和思维能力的培养。教学一般从对相应图形的直接研究开始，不仅充分展开探索与发现计算公式的活动过程，而且无一例外地强调图形转化方法的多样化和化归思想的具体运用。以下是平行四边形面积教学的例子。
【案例一】
1.与什么有关？
师（出示一个长方形）：这是什么图形？面积怎样算？
师（出示一个平行四边形）：这是什么图形？你能计算它的面积吗？
师：猜一猜，它的面积大小可能与什么有关？
学生猜想之后，教师通过课件或教具直观演示，得出结论：平行四边形的面积与它的底和高有关。
2.有什么关系？
在方格纸（每小格代表
）上呈现平行四边形。
图1
先让学生独立数一数，并把图形的底、高和面积数分别记录在表格中。再通过对数据的观察与分析，得到“底×高＝面积”的事实。
3.为什么有这样的关系？
(1)平行四边形转化为长方形。
在方格纸（每小格代表）上呈现长方形和平行四边形。
图2
师：两个图形的面积分别是多少？
生：都是15平方厘米。
师：长方形的面积比较容易求出来，平行四边形的面积怎样办呢？
生：把左边的三角形剪下来，平移到右边，可以拼成一个长方形。
师：是这样吗？我们来试试。怎样剪呢？
生：沿着平行四边形的高剪下来。
师：（演示）通过剪拼，平行四边形可以转化为长方形。
图3
师：还有其他的方法可以把平行四边形转化为长方形吗？
学生尝试后，教师展示以下两种方法：
图4
图5
(2)进一步的例子。
让学生在方格纸上画平行四边形，先转化为长方形，再算出它的面积。在此基础上，教师继续给出一些“特例”，如出示底边不在水平方向上的平行四边形，讨论割补的方法。概括并得出：平行四边形都可以转化为面积相同的长方形。
(3)分析关系。
师生共同寻找并发现平行四边形的底、高与长方形的长、宽的对应关系，概括出平行四边形的面积＝底×高，S=ah。
以上教学，把平行四边形的面积探究过程作为问题解决的过程，使知识学习置于更宽广的背景中，特别是学生经历的这个学习过程，对探索其他图形面积计算有直接的启示意义，是小学生研究平面图形面积计算的一般方法。进一步说，上述教学过程，结论不是老师直接给出的，而是学生基于对众多学习材料进行加工之后自主探索发现的，这应该是众多探究式学习所追求的价值取向。但是笔者对学生进一步调查却发现一个有趣的现象，当从平行四边形的一个顶点向对应底边作高，如果高不在图形之内时（图6），很多学生便对“底×高＝面积”的计算方法产生怀疑。为什么会出现这种现象呢？表面看，是因为在前面例子中学习的割补方法在这里不能直接得到应用（以另一条边为底作高是可以的），其实更深层的原因主要有二：一是教学过程中始终没有摆脱对图形割补的具体操作，学生对计算公式的理解只是停留在可以直接看到的例子中，概括的“S=ah”的形式化表达并没有促成学生获得对公式的真正理解；二是教学过程似乎也暗含了这样的逻辑，即平行四边形如果能转化为长方形，就可以用“底×高”的方法计算它的面积，否则就不能用这个方法。也就是说，学生虽然经历了归纳推理的过程，但并不能真正体会这种数学思考方法的力量。显然，前者是“数学化”的问题，后者则与基本数学思想方法的教学相关，限于篇幅，这里不展开讨论。
图6
追踪并审视在案例一教学中学生经历的学习过程，笔者思考了如下两个问题：一是把平行四边形转化为长方形的具体基础是什么？二是如何合理利用图形特征帮助学生理解公式的推导过程？进一步，把平行四边形的面积教学放到整个几何知识体系中去分析，特别是与长方形的面积、三角形的面积等相似性的学习内容进行比较，思考前后的基础与发展，以下两个问题便清晰地浮现出来：一是如何避免基本数学活动经验的积累和利用出现断层？二是怎样避免数学思想方法的教学在同水平上反复？
一、把平行四边形转化为长方形的具体基础是什么？
把这个问题一般化，就是图形的认识如何为图形测量与计算积累起必要的活动经验。空间与图形的学习内容包括三个分支：图形的认识、图形的测量、图形的位置与变换。这三个分支是几何知识的不同侧面。不同教学内容既有不同的教学价值，又有着十分紧密的联系。如通过图形的周长或面积计算可以增进学生对图形特征的认识，而培养学生的空间观念则是几何知识学习的共同价值取向。基于这些密不可分的联系和学生学习的一般规律，需要思考教学前后的逻辑基础，特别是内隐的基本数学活动经验。
表面看，并没有直接的基础可以使学生思考如何把平行四边形转化为长方形，因此，教师在设计学习材料时，往往想到借助于方格纸的直观，目的是给学生一个直接暗示。由此带来的直接后果是学生失去了思考与尝试的机会，从教师教学的角度来看，也是对学生已有基本数学活动经验的漠视。
事实上，学生对于平行四边形的操作经验，是伴随着对平行四边形认识的过程逐步积累起来的，最初的经验积累甚至可以追溯到学生初次学习平行四边形。
图7
浙教版《数学》教材中平行四边形的认识分两个阶段。第一阶段安排在二年级，从七巧板中引入平行四边形，把平行四边形与其他图形放在一起（图7），通过比较图形要素的方法来认识新图形，使学生对平行四边形的认识建立在较高的观念起点之上。然后，从七巧板中选择图形拼成平行四边形，在具体的操作活动中感知平行四边形的特征，并积累图形分与合的经验。如从七巧板中选择三角形拼成平行四边形，就可以获得两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形（或者说，一个平行四边形可以分成两个完全一样的三角形）的认识。如果是用七巧板中的一个正方形和两个三角形来拼平行四边形，学生拼出如图8所示的平行四边形，教师可以进一步启发学生思考，如何移动其中的一块，拼出一个新图形呢？把左边的三角形平移到右边，就可以得到一个长方形，如图9。通过这些具体的操作活动，不仅丰富了学生对于平行四边形的认识，而且也积累了图形变换的活动经验。
第二阶段安排在四年级，是进一步认识平行四边形的特征。先给出一组平行线，再让学生画出另一组与它们相交的平行线，观察围成四边形的特点，概括平行四边形的特征（图10）。
图10
然后，像图11那样，从长方形中剪下一个直角三角形，把它平移到另一侧拼成平行四边形。通过这样的操作活动，使学生认识平行四边形与长方形之间的关系，为把平行四边形转化为长方形提供直接的基础。
图11
以上教材体例的简要介绍表明，学生在认识平行四边形的学习过程中，积累的相关活动经验足以支持他们把平行四边形转化为长方形。但这只是对图3的转化方法而言，像图4、图5所示的方法，如果没有相应的图形认知与操作经验作为基础，课堂中生成的偶然性是很大的。由此思考的问题是，如何充分利用学生已有的活动经验，引导学生选择合适的方法展开有效的探究？相比较而言，以下的探究过程则更为直接，并重视对学生已有的活动经验的利用。
【案例二】
呈现方格纸（每方格表示）中的平行四边形（图12）。
图12
师：怎样知道这个平行四边形的面积？
生：可以数格子。
师：怎么数呢？请你们试一试。
师：你们数出结果了吗？是怎样数的？
生：先数出中间满格的那一块，有9格，就是9平方厘米。再数左边的三角形，下面有1个满格，剩下差不多就是2格…
师：确定剩下的是2格吗？
生：估计的，不能确定。
生：我有办法。左边的三角形，其中就是长方形（三角形所在的长方形）的一半，长方形是6格，一半就是3格。
生：我有更好的方法，把左边的三角形割下来补到右边去，就拼成了一个长方形，这样就很好数了。
师：数出三角形的面积是关键。同学们想了两种方法来数三角形的面积，这两种方法有相同之处吗？
生：都是转化为长方形来数。
教师结合动画演示，再次说明转化的方法。
师：比较转化前后的平行四边形与长方形，你知道了什么？
生：图形的形状变了，但大小没有变。
师：也就是说，计算出长方形的面积就可以知道平行四边形的面积了。
进一步分析平行四边形的底、高与长方形的长、宽的对应关系，推导出平行四边形的面积计算公式。
显然，这个教学过程算不上新颖独特，甚至有些简单和朴实。但它更加符合学生的现实基础，特别是对学生基本数学活动经验的珍视和直接地应用，因而也更加有效。反观案例一的教学思路，值得反思的是，转化方法多样化的教学价值到底是什么？转化方法多样化是不是追求推导过程严谨性所必须要的？笔者认同教学的过程应重视探索过程的充分展开，但这并不等同于展示多样化的方法。对于多数学生来说，不能假设展示了多样化的方法就能促进其对知识的理解。相反，当学生不能理解这些方法是如何得到的时候，可能引发学生对学习的焦虑，甚至产生不求甚解的思维惰性。与此相关，分析学生既往的学习经历，对学生积累的基本数学活动经验进行必要的梳理，是避免基本数学活动经验的积累和利用出现断层所必须做的。教学中，只有充分地利用学生已有的活动经验并促成探索的成功，才是真正有效的教学。
二、如何合理利用图形特征帮助学生理解公式的推导过程？
像“案例一”的教学，先是数面积，再是转化，然后补充例子，通过丰富的活动与多样化的例子，引导学生确信所有的平行四边形都可以转化为长方形这一事实，就是为了消除由长方形面积计算推导平行四边形面积公式的迷障，体现推导过程的严谨性。
毫无疑问，数学是讲究理性的，在学生的认知范围内，追求推导过程的严谨性也是必需的。那么，需要通过对多少个（类）图形的研究，才能使学生确信“可以转化”的事实？从学生的角度，可以思考这些问题：为什么要举这些例子？为什么要补充一些例子？是否需要补充其他的例子？从教学的角度，可以反思：这些例子都是谁给出的？是学生为驳斥结论而想到的吗？学生能体会到推导过程的严谨性吗？他们真的相信得到的结论是可靠的吗？如果这些问题的答案都不得而知，那么所谓推导过程的严谨其实是老师的严谨，而不是学生所能体会到的严谨。
需要说明的是，笔者并没有排斥把归纳推理作为一种重要的数学思维方法，也不想否认探索多样化的方法有其重要的教学价值。作为对有效探究的进一步分析与思考，笔者的观点是，正因为把严谨性的着力点不恰当地放在了追求多样化的方法上，而忽视了合理利用图形特征帮助学生理解公式的推导过程。
继续展开对“案例二”的讨论，方格纸的直观提示了剪拼的一般方法，也为学生理解等积变形提供了可靠的基础。但是，诚如前面所说“数学化”，为了促进学生对于公式的理解，及时地脱离方格纸的直观是必要的。下面的教学设计，旨在利用图形特征，在脱离了方格纸之后，帮助学生理解公式的推导过程，提升学生对公式抽象化的理解。
【案例三（续案例二）】
师：把平行四边形转化为长方形，就可以计算它的面积了。那么是不是所有的平行四边形都能转化为长方形呢？
学生疑惑。
师：我们再来看一个。（出示图13）
图13
图14
生：也可以割下一个三角形拼到右边去。
（学生指示在平行四边形内作高，如图14。）
师：现在我们得到了一个三角形，把这个三角形割下来，平移到右边，果真能拼出一个长方形吗？
学生坚信是可以的，但说不出令人信服的理由。
师：数学是要讲道理的，你有什么理由可以说明吗？
生：割下来试一试。
生：把图放到方格纸上。
师：这些方法当然是可以的。但我们不能总是停留在拼一拼、数一数之类的方法上，你们能不能利用图形的特征来想一想呢？
生：两个三角形的大小应该是一样的。（学生指示在另一个相对的顶点作高，如图15。）
图15
师：大小一样是什么意思？
生：就是完全相同。
师：有什么理由说两个三角形是完全相同的呢？
学生分小组讨论，得到的理由是，由平行四边形对边相等，长方形对边也相等，可以得出：两个直角三角形的斜边相等，直角三角形垂直方向上的直角边相等，并且水平方向上的直角边也相等。两个直角三角形的三条边的长短是完全一样的。
师：到底是不是这样，我们平移过去，再翻转重叠看一看。（课件演示）
生：是完全相同的。
师：完全一样的两个直角三角形可以拼成长方形（图16）。
图16
与“案例一”图3的转化方法有所不同的是，这里通过作两条高，启示学生恰当地运用图形特征进行说理，把学生对转化方法的理解从感性提升到理性，把概括公式过程的学习材料从个例推向一般。基于图形特征运用“朴素证明”的过程，让学生体会到知识的联系与应用，而且在追根溯源的讨论中培养了数学的理性精神。
以上讨论与分析也说明了这样的事实，对图形特征的认识不能停留在对图形要素的描述上。更为重要的，应当通过具体的操作活动，丰富学生对图形特征的认识。一般来说，图形特征等价于定义，是对图形特点的完全刻画。但对于小学生的学习来说，可以对图形的特征适当地宽容，在不同的学习阶段允许学生构建起不同的理解。如两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，两个完全一样的直角三角形可以拼成一个长方形等，也可以作为图形的特征之一。可以肯定，随着学习的进一步深入，学生对于图形特征的认识会进一步严谨，并趋向于本质。虽然，运用这些特征不能得到严谨的推理，但是，数学的严谨性也是有限度的。笔者认为，教学中，公式推导过程中的严谨应当要能被学生所理解，不能用只有教师自己能理解的严谨来设计教学，更不能为了追求所谓的严谨性，使学生失去运用已有知识与活动经验的机会。
三、怎样避免数学思想方法教学在同一水平上反复？
数学思想方法在学生的数学学习活动中起着非常重要的作用，它往往决定数学学习的方向。数学思想方法是由内容来反映的，是隐性的，它是对数学对象的本质认识，是对数学知识进一步提炼、概括而形成的。由于数学思想方法总是抽象而隐秘地存在，到底这些思想是如何形成的，在解决问题的过程中是如何发挥作用的，人们并不能清晰地意识到。从这个意义上说，强调基本数学思想方法是极其重要的，有利于把数学思想方法的掌握作为学生学习的重要基础。由于现行课程对不同学习阶段基本数学思想方法的教学缺乏系统设计，教师往往不容易把握不同学习阶段的不同要求，因此相同的数学思想方法在不同学习阶段同水平反复的现象屡见不鲜。尤其像平面图形的面积计算公式的教学，当相似性的教学内容指向同一数学思想方法的时候，这样的情况就很难避免了。
笔者注意到，这次展示的平面图形面积计算公式的教学，无一例外地把教学目标聚焦于化归的数学思想方法，并且采用多种方式予以突出。有的在教学目标中加以强调，有的通过设计专门的例子在新课引入中进行铺垫，有的通过板书加以突出，有的在课堂总结中进一步强化。问题是在不同内容的教学中，教师都反复地强调“转化是很重要的”，这些“同语反复”的直接提示，是否能直接带来学生理解的深入与自如的运用？答案是否定的。即使设计了不同的问题情境，学生也没有“思考关键之处”的机会。
如有的教师先引入小数乘法计算的例子，通过讨论把小数乘法转化为整数乘法的过程，提炼出转化的思想方法，然后出示新图形，讨论计算面积的方法。学生在先后呈现的学习材料中很快“领悟”了老师的用意，把转化方法直接迁移运用于新知的探究，并使问题获得了解决。这样的教学看似比较高效，但学生迁移数学思想方法的灵感不是来自于真实的思想，而是来自教师设计的学习材料和教学中的直接提示。而且，这样的教学也是建立在一个不当假设的基础之上的，这个假设是：学生在一个情境中获得的基本数学思想方法能自觉地运用于不同的情境当中。如果这个假设成立，基本数学思想方法的教学也未免太简单了。
与驾轻就熟的基础知识和基本技能的教学相比，对基本数学思想方法的教学，教师的经验显然不足。如何有效地进行基本数学思想方法的教学？这是一个极具挑战性的教学研究命题。事实上，怎样结合不同的学习内容，在不同的学习阶段安排相应的基本数学思想方法的训练，这个问题可能短时间内不能解决。不过，就避免数学思想方法教学在同一水平上反复而言，对于像平面图形面积计算这样的教学内容，与其把教学目标都聚焦于相同的基本数学思想方法，不如根据学习材料的特点重新厘定教学内容的核心价值目标。
如长方形面积的教学，是学生学习平面图形面积计算的起始课，可以突出对面积计算的意义理解，并把计算公式作为进一步理解乘法意义的几何模型；平行四边形的面积计算，可以突出化归的基本数学思想方法；三角形的面积计算，可以对三角形进行分类研究，突出归纳推理的思维过程；梯形的面积计算，可以强调转化过程中对图形特征的具体运用，突出转化方法的多样化；圆面积教学，是以有限的等分把握无限接近（把圆等分成近似的正多边形），在小学阶段是独一无二的，而且也是学生很难理解的难点，教学可以在这个方向上多花点时间。以上的方法只是提高教学有效性的一种教学假设，并不能真正解决基本数学思想方法教学同水平反复的问题，或许这个问题的解决，取决于基本数学思想方法训练序列的设计。
作为全文的总结，笔者想再次强调的是，小学生学习的是“经验几何”，在解决具体问题时，真正有用的可能并不只是那些正式的几何知识，基本数学活动经验也会发挥重要的作用。在图形面积计算的教学中，应当重视对图形特征的合理运用，并把握好公式推导过程的严谨性要求。实现从“两基”到“四基”的教学转向，面临着基本数学思想方法教学序列设计的挑战，而且应当注意避免基本数学活动经验的断层与基本数学思想方法教学的冒进。
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