作为形式—建构—模型的数学——关于数学研究对象的一个新阐释，本文主要内容关键词为：数学论文,研究对象论文,模型论文,形式论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：N031
文献标识码：A
文章编号：1000—8934(2013)01—0122—07
数学的研究对象是随着数学的不断发展而逐渐演变的，不存在一个永恒的、绝对的和不变的形而上学的回答。随着数学在不同历史时期的理论特征和范式转换，数学的本质与数学研究对象呈现出动态的、历史的、时代的特征，并逐步被赋予越来越深刻和丰富的意义。采纳关于数学的“模式”观和“形式结构”观的合理内涵，结合数学的形式化、建构性和模型化三维特征，提出了关于数学对象存在的“形式—建构—模型”观，并给予了观点合理性的论证。
一、数学研究对象范围的拓展与演变
19世纪末至20世纪以来，与数学自身的理论发展相适应，数学经历了在知识总量上和新兴学科创立上的双重繁荣。数学知识的特点也因此变得更为深化、复杂和丰富了。恩格斯对数学的经典定义，即“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”[1]，已经被更为丰富多样的数学研究对象超越了。前苏联著名数学家亚历山大洛夫就提出：“除了空间形式与数量关系外，数学还研究其他的形式和关系，其中包括，数理逻辑——逻辑推理形式，n维几何学，这些空间，当然已不是通常意义下的空间形式……一般说来，现实世界的任何形式和关系都可以成为数学的对象，只要它们在客观上与内容无关，能够完全舍弃内容，并且能用清晰、准确、保持着丰富联系的概念来反映，使之为理论的纯逻辑发展提供基础。除此之外，数学不仅研究直接从现实中抽象出来的形式和关系，而且还研究在逻辑上各种可能的、在已知的形式和关系的基础上定义出来的形式和关系”。[2]3与恩格斯的定义相比，亚历山大洛夫对于数学研究对象的表述呈现如下两个新的特点：一是不再把数学的研究对象限制在“现实世界”这一框架之下，而是扩大到了逻辑上可能的形式和关系，这样，数学对象就既包括现实对象又超越现实客体。二是研究对象的丰富、拓展和延伸，不再局限在数学已有的研究对象上(如传统的代数和几何)。除了空间形式与数量关系，还研究其他的数学形式和关系。亚历山大洛夫关于数学研究对象的认识，对于理解数学研究对象的本质具有深刻的启迪意义。
20世纪后半叶以来，在西方数学哲学界对数学本质所进行的哲学概括中，“数学是关于模式的科学”和“数学是关于形式结构的科学”是两种比较有代表性的表述。从本体论意义上探讨数学本质新的构成可能性是从结构、模式、形式系统等新的数学思想的产生开始的。数学模式与模型成为连接抽象理论与现实世界的桥梁。著名数学家、逻辑学家怀特海在其《数学与善》的讲演中把数学看作是对各种类型的模式进行理智的分析的活动，认为：“模式具有重要性的看法和文明一样古老……社会组织的结合力也依赖于行为模式的保持；文明的进步也侥幸地依赖于这些行为模式的变更。”并进一步指出：“数学对于理解模式和分析模式之间的关系，是最强有力的技术。”[2]350数学哲学家雷斯尼克(Resnik)在“数学作为模式的科学：本体论”一文中把数学看作是关于抽象实体的科学，即不存在于空间和时间中的非物质的、非精神的事物。[3]529这似乎显示了某些模式论者的柏拉图主义底色。雷斯尼克坚持认为，“数学对象是存在的，但仅仅是作为结构中的一个位置而存在的。……除了在一个特殊结构中占有一个特殊位置之外，这个位置没有其他别的特征。因此如果p和q是位于不同结构中的两个位置，那么p=q既不真也不假，经典逻辑在这里不起作用”。[4]248数学对象的这样一个位置，就像几何中的一个点所占的位置一样。可见，在雷斯尼克那里，数学对象是存在于某种特殊的结构之中的。这就意味着，离开了特定的结构，某些数学对象就失去了意义。
《今日数学》和《明日数学》主编、美国数学家斯蒂恩曾在《科学》杂志上撰文“模式的科学”，其中对数学的定义是：“数学是模式的科学。数学家们寻求存在于数、空间、科学、计算机乃至想象之中的模式。数学理论解释各种模式之间的关系。……数学的应用采用这些模式去解释并预测适合模式的自然现象。模式还诱发其他模式，经常产生模式的模式。以此方式，数学按照自己的逻辑，从科学的模式开始，通过对最初模式的不断增加最后产生出所有的模式，并由此完成其数学塑像的构造。”[5]这样的表达当然就比雷斯尼克的判断要宽阔许多。但在数量、空间、科学和计算机乃至想象中的模式却未必都是数学的，或者准确地说，其中有些即使是与数学有关系的，也是兼具科学对象自身特色的，不一定表现为纯粹的数学模型形式。可见在斯蒂恩对数学的断言中，定义项似乎有点被放大了。
除了模式说之外，也有不少学者提出数学是关于结构的科学。如阿尔伯特(Albert)认为：“数学是结构的科学。当直觉和未经分析的经验表明在许多不同的背景下存在着共同的结构特征时，数学就有了任务，这就是以精确的和客观的形式系统地阐明基本的结构特征。”[6]而数学家麦克莱恩在“数学模型——对数学哲学的一个概述”一文中论述到：“数学在于对存在于世界和人类活动中的形式结构的不断发现，强调的是那些具有广泛应用和深刻反映现实世界某一方面的结构……换句话说，数学研究的是相互关联的结构。”[7]470虽然麦克莱恩强调了客观世界和实践活动，但确切地说，形式结构原本只是理论层面的构造，是抽象、抽取、思维加工的产品，并不能就与现实和客观世界截然画等号。所以，有必要对形式结构与现实结构的关系进行必要的阐释，而这显然是未来数学哲学本体论的一个新方向。
值得注意的是，正如里格尔(Rieger)所表明的那样，模式(pattern)和结构(structure)这两个术语其实是可以互换的[4]248。而在雷斯尼克看来，模式和结构几乎是一个意思[3]529。因此，这两种观点几乎没有本质的差异。而这两种表述都较为准确地把握了数学的本质特征，较好地解释了数学的演绎性与经验性、理论性与现实性的辩证关系。更重要的是这一表述把握住了20世纪以来数学发展的主要特点，符合当代数学发展的特点，具有强烈的时代特色。法国著名的布尔巴基学派提出的结构主义数学思想正是适应当代数学发展现实要求的产物。布尔巴基致力于寻求数学新的统一性的理论基础，运用数学结构的思想，通过对数学结构的分析，重新整合庞杂多样的数学分支，通过各种复合、引进新的关系等方法，把数学的各个分支纳入数学结构的严密体系中。布尔巴基的代表人物之一狄奥多涅在“布尔巴基的数学哲学”一文中提出：“真正的数学的认识论或数学哲学应该以数学家具体的研究方式为其主题。”[8]模式和形式结构的概念所具有的高度的概括性和层次性，包容了从抽象理论到现实经验之间的各种“谱系”。无论是对于数学的语言(符号、形式等)、理论结构，还是对于数学的科学工具性、应用性，都有很好的说明和解释功能。
应该看到的是，“数学是关于模式的科学”和“数学是关于形式结构的科学”这两种表述又都有各自的局限性。虽然数学是模式的科学的观点能较好地反映数学学科的许多基本特征，但是，关于数学是模式的科学的表述仍有其内在的不足。后结构主义关于“模式”的看法对于我们认识数学与模式的关系会有一定的借鉴作用。“在后结构主义思维看来，模式是试图反映现实世界的现实主义尝试。模式的基础是社会的(或自然的)世界可以被再现，即可以在知识的语言中‘再次被提出’的假设。后结构主义和后现代主义(前者是含蓄地，后者是明确地)都反对这样一种启蒙思想，即知识是社会生活的一个自主的和构成性的特征。”[9]359罗蒂也指出了现代主义的这样一个重要特征：“认为我们的主要任务就是要在我们闪光的精神世界中准确地反映周围的宇宙的观点与德谟克利特和笛卡尔所共同持有的观点，即宇宙是非常简单的、清楚和界限分明的可以认知的事物的思想。”[9]360
由于模式这个词本意就有赋予规范、予以定形和构架的意义，所以，在“模式”说的表述中，其思想基底中带有很浓厚的现代性色彩。反观“数学是关于模式的科学”的表述，就会发现，其内涵与后结构主义所批判的模式概念有类似之处。概括起来看，“模式”说的局限性主要在于，其思想内涵中仍有还原论、对应论和简单符合论的影子。比如，非欧几何(罗巴切夫斯基几何)的产生就不好用模式论的观念来解释。黎曼几何也是到后来才有了一个物理学的理论框架，而且这个物理学的理论也只是一种物理学意义上的假说和虚构。
而“数学是关于形式结构的科学”的局限性主要是表现在它不能很好地揭示并说明数学与现实的关系以及数学应用的价值。因为，如果数学被界定为关于形式结构的科学，首先，势必失去了对应用数学的解释力，其对数学解释的完整性就受到了损害。其次，“结构”说所定义的外延过大，逻辑或某种构造性语言等各种仅仅具有形式材料的内容，其实是数学无法容纳的。既然“数学是模式的科学”和“数学是关于形式结构的科学”都不能完整地展现数学的知识特征和学科内涵，因此就有必要对数学研究对象予以新的探究。
二、数学研究对象的重新认识——作为形式—建构—模型的数学
初步地看，可以用“形式-建构-模型”的观点来扩大并充实关于数学的“模式”和“形式结构”的概念。所谓形式-建构-模型，就是把数学的三维特征，即形式化、建构性和模型化，加以综合化地提炼，然后用这些基本特征及其组合来描绘数学的研究对象。其中的形式化所表达的是数学的抽象性、符号化以及与内容相分离的特点；建构性表示了数学的生成性、构造性和自由创造性；模型化体现了数学的现实性、应用性和基本的理论特质(例如函数模型、几何模型、代数模型等)。
“形式—建构—模型”是一个由三个基本维度构成的复合体。见图1。其中，数学的纯粹性与应用性、数学的自然性与客观性、数学的人文社会性、创造性都是基本的特征。而数学的全部研究对象都是由基本特征通过复杂的交互方式，通过添加、叠加、取舍、简单组合和高级组合、转换和演变构成的。与单一维度的“模式”说或“结构”说相比，“形式—建构—模型”把数学对象置于一个三维立体的空间中，能够容纳更多的数学对象性，在给定维度上突出了数学对象的范畴特征和延展指向。这种更为细致的、分解了的对象特质被放置在一个多层次、立体的空间中，可以形成更为多重的视角和局部的微结构。多重形式与丰富内容的辩证综合与统一不仅可以更好地反映数学的内在本质属性，而且有利于对数学对象的生成与演化进行准确和动态的定位。
图1 数学研究对象特征三维构成图
在图1中，最基本的三个截面是形式—模型之建构，形式—建构之模型和模型—建构之形式。在基本面上，通过添加新的元素，可以生成多样关联的、网络化的数学研究对象群。比如，图形中的小立方块，就是一个形式—建构—模型体，即兼有形式、建构和模型的成分。其位置越趋向于各自箭头所标示的顶部，说明其各自所标示的比例程度越高。沿着三个箭头的方向，形式化、模型化和建构性的程度会越来越高。以下列举数例，对相关的四种基本类型予以说明。
2.形式—建构之模型。布尔巴基的结构主义，是一种典型的在形式—建构基础上所展现的模型思想。为了整理20世纪以来数学新的学科与分支，布尔巴基提出以结构的思想统领并梳理数学知识体系。布尔巴基认为数学有三种母结构：即代数结构、序结构和拓扑结构。其中兼具三种基本母结构，即代数结构、序结构和拓扑结构的就是数直线R(由全体实数构成的一维欧氏空间)。把R记作R=
。容易验证：
(1)R具有域结构。对+，×运算均满足交换律与结合律，0是加法单位元，1是乘法单位元。对+，×还满足分配律。故对两种运算而言构成一个环，同时对乘法有逆运算，故R构成一个域。
(2)R具有序结构。对序关系
满足三条基本性质，即传递性、对称性、可比性。故R是一个全序结构。
(3)R具有连续性结构。满足阿基米德公理：对任意a＞0，b≥0，总存在n∈N，使na＞b。[10]
这样，数直线R就构成了兼具代数结构、序结构和拓扑结构的一个模型。对上述有序域R中的元还可定义绝对值，引出距离和邻域概念。由此可得极限概念和基本序列概念，且可以验证R具有完备性，即凡基本序列的极限值都含于R内。所以R是一个完备的阿基米德有序域。它是由代数结构、序结构和拓扑结构这三种结构联合构成的具有协调性的一种交叉结构。
3.模型—建构之形式。1916年，爱因斯坦建立了广义相对论，提出了宇宙中一切物质的运动都可以用曲率来描述，重力场实际上是弯曲时空的表现的著名论断。而刻画重力场的方程(称为爱因斯坦场方程)则是广义相对论的模型—建构的典范：
(2)给定了集合G中的两个元素，有集合中惟一的某元素与之对应；
则称(G，+)为一个群。
群概念的实质在于，它既是存在于许多数学、物理概念和自然事物中多种运算—关系—集合的一种形式建构，又是存在于科学和现实世界的许多研究对象的一种普遍模型，同时具备了形式化、模型化和建构性三种特质。例如，有理数、实数集合对于加法运算，多种类型的几何变换和代数变换，如各种对称性、复分析、向量的加法、矩阵运算，置换、洛伦兹变换、编码、晶体、光谱、流体力学中，都有群概念的原型和应用。
在群概念下，可以通过新的形式叠加和新的建构建立新的模型，如果加法运算满足交换律，就构成了可交换群的概念。而在加法运算外，添加乘法运算，可以形成环和域的概念等。群的概念是数学的形式性、建构性和模型化综合运用的典型体现，即一个典型的形式—模型—建构体。所谓形式性，是指其借助于形式化的代数语言所表达的具有高度集约化的数学概念；所谓建构性，是指通过建构前所未有的数学概念和代数结构来规约一类具有相当广泛理论背景的数学对象；所谓模型化，是指群的概念本质上构成了许多具有理论或实际应用的结构模型。
图2 “形式—建构—模型”观的循环关联范畴
如果对形式—建构—模型的关联范畴予以归纳，可以形成图2。“形式—建构—模型”观把数学置于一种多重范畴的交互性之中并强调了形式、建构和模型在数学对象生成过程中的相互作用和相互制约。具体来看，图2就表达了其中5组重要的关联范畴，包括数学知识、方法、思维、逻辑和观念等。以纯粹数学和应用数学的关系为例，“形式—建构—模型”可以很好地协调并兼顾纯粹数学和应用数学之间的学科立场及其差异性。如果说数学形式的理论特征更青睐于纯粹数学的主张，那么，模型的思想则体现了应用数学的基本立场。而两者之间的相互关联性则可以通过形式—模型—建构的观念得到体现，即形式的建构应该趋向于用模型的概念去理解，而模型的建立则应展示形式的特征。其他5组关系也可以进行相应的分析。
三、“形式—建构—模型”数学观的解释学
与“模式”说和“结构”说等相比，数学的“形式—建构—模型”观可以较好地解决数学本体论中许多棘手的问题，并提供一种有助于解决相关问题的新的视角和思路。
首先，“形式—建构—模型”的观点，既凸显了数学形式化的特点，即模式和结构的性质，又体现了数学知识的社会和文化建构的特点，反映了数学与现实世界的丰富联系，这样就与柏拉图主义拉开了距离。与一般的知识建构相区别，“形式—建构—模型”的表述给数学知识的发展留下了充足的余地。“形式—建构—模型”中形式与模型的结合就包含了模式在内，但又不限于模式的层面，而是超越模式的。其中，建构的思想显示了数学具有的知识主体性、能动性和人性化色彩。建构是一个永无完结的动态过程，体现了一种知识生产与制造的相对“自由”。就数学的纯粹性与应用性而言，如果说“数学是关于模式的科学”可以较好地解释数学的应用性，那么其缺陷就是无法较好地解释纯粹数学的某些性质，如纯形式和逻辑可能性。而“形式结构”的表述则正相反，虽可以较好解释纯粹数学的存在合理性，但却不能很好解释数学的应用性。而“形式—建构—模型”的观点则可以弥补上述两种表述的各自不足。一方面，“形式—建构—模型”中的形式性可以很好地理解纯粹数学的知识特点，另一方面，建构性和模型化则体现了数学表征现实客体的有效性和对于数学应用尺度的把握。因此，“形式—建构—模型”的观点可以从理论上弥合长期以来纯粹数学与应用数学之间形成的学科裂痕。
其次，数学的“形式—建构—模型”观消解了柏拉图主义的超自然、超历史和超越人性的数学世界，以及康德的关于数学知识的“先天性”观念。由于人的建构因素和社会建构因素被引入，数学知识不再是纯粹的、外在的与人无关的客观知识，而是人基于客体性、自然性、社会性和主体性之上的一种建构。爱因斯坦有下述精辟见解：“我坚信，哲学家曾对科学思想的进步起过有害的影响，在于他们把某些基本概念从经验论(empiricism)的领域里(在那儿它们是受人驾驭的)取出来，提升到先验论(the a priori)的难以捉摸的高处。因为即使观念世界看起来并不能借助逻辑的方法从我们的经验中演绎出来，但就一定的意义而言，它还是人类意识(human mind)的产物，没有人类的意识便无科学可言。”[12]因此，新的数学对象论将不是简单的二元论的和形而上学的，而是一种多元的、取消了不必要的形而上学预设的、给人类思想和精神留有充分建构自由和发展余地的较为松散的理论框架。其中，现代性视域下数学与世界的单纯的反映论和符合论关系将会被一种具有多维多层的复合式谱系结构所代替。当数学对象与客体对象之间的单一对应关系被取消后，更为丰富的对应关系(象征的、隐喻的、潜在的、层次关联的)会以模型建构的方式被找到。比如，在希尔伯特的几何学中，点、线、面等基本概念从欧氏几何中抽象的实体意义转变为不再赋予任何实体意义。但仅仅局限在数学的形式层面上，容易割裂数学理论与现实客体的丰富联系。通过一种数学模型的建构，点、线、面等概念会获得更强的解释功能和模拟功能，其解释方式也呈多样化。这种多样性包含着两层含义，一是同一数学理论对不同现象的数学解释(如同一个微分方程可以描绘形式上完全不同的诸多现象)，二是不同数学理论可以对同一现象或客体的刻画，如瞬时速度的概念可以从几何、代数、分析等不同理论视角加以描述。
第三，“形式—建构—模型”的数学观，可以在相当程度上解构唯理主义和经验主义关于数学本质的争议。作为唯理主义的代表，形式主义把数学当作是一种符号游戏，这当然是对数学对象的一种误读。而“经验主义则坚持数学只不过是科学的一个分支，并由此推出数学是直接处理现实世界的结论”[7]462，同样站不住脚。普特南和奎因对经验主义的强调却无法回避形式主义者关于数学见解的合理性，即数学具有的不依赖于经验的自为性和自主性。因此数学家麦克莱恩认为，普特南和奎因关于数学的主张都几乎没有任何新的洞见[7]463。从唯理主义的视角看，在《科学与现代世界》一书中，怀特海意识到作为连接各种符号关系的模式及其相关观念的重要性。波普尔世界3的思想也说明，语言为思想客观内容的相对独立提供了必要的外在(物质的)形式。在基切尔的数学活动论中，数学活动的语言是由句法学和语义学两部分构成。其中语义学的说明既可以由指称关系的“范例式解释”给出，也可以由“规范式的解释”给出。这样，数学的符号化、形式化语言构成了数学对象存在的一种形态。然而，数学的形式化却不能完全剥离其经验性质，数学的独立性仅仅是相对的。数学产生伊始，经验世界就一直是人类数学建构取之不尽的源泉。源于经验的数学认识又可以反哺人类对于自然界和客体世界的理解。近代科学诞生以来，科学的数学化持续迅猛，构成了自然科学发展的一个基本特点。伽利略和笛卡尔相信自然界是用数学设计的。我国著名数学家华罗庚曾撰文“大哉数学之为用”，描绘了数学在宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜和日用之繁等诸多领域的应用。在数学应用的过程中，数学建模成为连接数学与经验和现实世界的有力杠杆。模型化作为沟通数学理论与应用的桥梁，发挥着极为重要的作用。所以，“形式—建构—模型”的数学观既注意到了数学符号形式化的一面，也看到了数学与经验世界和科学世界丰富联系的一面，并把两者有机地结合起来。
第四，数学的“形式—建构—模型”观可以在相当程度上超越数学实在论与反实在论关于数学本质的论争。数学实在论者认为，标准的数学理论是关于抽象存在的真实陈述，而这一见解可以被两种不同的方式所反对，一是可以拒绝这些理论的是其所是，二是拒绝这些陈述是永真的[13]。但是，这样的对于实在论的拒绝方式并没有多少逻辑上的合理性，且会陷入唯名论与实在论或实在论与反实在论的无休止的循环论争中。而按照数学“形式—建构—模型”观看来，实在论者及其反对者的观点都有各自的片面性。由于形式建构可以是任何可能的精神创造，因此它并不要求在数学概念、程式、原理和结构背后都有一个“实在”的背景。而数学的形式其实又可以构成数学中新的“实在”。而模型的建构则直接把数学看作是某种实体(无论是现实世界还是像物理对象这样的科学对象)的一种数学描述，在这一数学视角下，就不存在如何给数学陈述寻找可能的实在解释的问题。而形式—建构—模型之间的联动和关联机制则赋予了在其间进行转换的可能性、自由度和空间。事实上，与实在论或某种反实在论有本质不同的是，“形式—建构—模型”观是一种多元主义的、多重视角的数学观的综合和统一。比如，一直以来数学家和哲学家都有关于数学是发明的还是发现的争论，实在论者(如柏拉图主义者)倾向于认定数学是一种发现，而反实在论者则把数学看作是一种发明。但通过对数学知识的形式—建构—模型的分析，就会得出数学是兼具有发现与发明两种品质的。这两种品质并不是均匀地分布于数学知识的谱系当中。在数学知识的复杂网状关系中，理论的创建和形式化更多表现为一种发明，比如数学家可以选择采用怎样的公理和体系，或采用什么样的语言和符号表征其理论。而理论的逻辑延展性(如可判定命题)和实际效用(如对应的模型和应用性)则更多显现为一种发现，因为有些数学结论是在给定的体系中蕴含着的，它们就像是藏在矿石中的金子，等待着数学家去挖掘。通过建构这一纽带，数学知识的发明与发现被相互联系在一起，呈现出相互交织、相互作用的态势，数学知识之树因此茁壮成长。由于“形式—建构—模型”观充分考量了数学的整体性、对偶范畴及其交互性，因此其数学解释力与诸如实在论和反实在论各自的偏颇不同，会更为全面、有效和合理。
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