数学课程标准中的十个核心概念，本文主要内容关键词为：课程标准论文,概念论文,核心论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
2012年1月正式出版发行的《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）在总结前期实验经验的基础上，通过广泛听取各方意见和建议，对原课标的6个核心概念（亦称关键词）进行了调整和拓展，提出了10个核心概念，即：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识.研究者在此对提出核心概念的意义及如何正确理解与把握核心概念作一探讨.
一、提出数学课程核心概念的意义何在
和原课标相比，核心概念在课程中的地位有所提升，它的意义体现在多个方面：
首先要看到，这些核心概念在《标准》中是在课程内容设计栏目下提出的，它表明，核心概念不是游离于课程内容之外的，而是实实在在蕴涵于具体的课程内容之中的.可以说，核心概念往往是一类课程内容的核心或聚焦点，它有利于研究者理解课程内容的本质，把握课程内容的线索，抓住教学中的关键.为此，《标准》在教材编写建议中针对核心概念特别强调：“它们是义务教育阶段数学课程内容的核心，也是教材的主线.”“教材应当围绕这些核心内容进行整体设计和编排.”[1]
第二，这些核心概念都是数学课程的目标点.仅以“数学思考”和“问题解决”部分的目标设定来看，《标准》就提出了：“建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力”“发展数据分析观念，感受随机现象”“发展合情推理和演绎推理能力”“增强应用意识，提高实践能力”“体验解决问题方法的多样性，发展创新意识”.不难看出，这些目标表述几乎涉及所有的核心概念.
第三，深入一步讲，很多核心概念都体现着数学的基本思想.数学的基本思想指对数学及其对象、数学概念和数学结构及数学方法的本质性认识.它集中反映为数学抽象、数学推理和数学模型思想.它在基础教育数学课程中有若干具体的表现，如归纳、演绎、抽象、转化、分类、模型、结构、数形结合、随机，等等.数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学学习中的重要目标.不难看出，很多核心概念，如数感、符号意识、运算能力、推理能力、数据分析观念和模型思想等就不同程度地直接体现了上述基本思想要求.因此，核心概念的教学要更关注其数学思想本质.
第四，从这10个名词的指称来看，它们体现的都是学习主体——学生的特征，具体涉及的是学生在数学学习中应该建立和培养的关于数学的感悟、观念、意识、思想、能力等，因此，可以认为，它们是学生在义务教育阶段数学课程中应该通过培养得以发展的数学素养的核心要素，也是促进学生发展的重要方面.
正是基于上述原因，把握好这些核心概念无论对于教师教学和学生学习都是极为重要的.
二、对原有的几个核心概念的调整与拓展
10个核心概念中，有6个是原有的或在原来基础上改变而成的，其中多数概念的内涵亦做了适当调整.
1.数感与符号意识
关于数感，在原标准中未作内涵解释，只从外延上指出它所包括的内容.经过这么多年的课改实践，研究者对数感在理论上有了一些探讨，一线教师在课堂教学实践中也对培养学生的数感做了许多有益的尝试.此次修订，认真听取了各方意见，吸纳了前期实验研究的一些成果，重新对数感的内涵及功能作了表述.《标准》的提法是：“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟.建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系.”[1]
将数感表述为“感悟”不仅使这一概念有了较为明晰的界定，也使得这一概念有了更实在的意义，有利于一线教师的理解和把握.原来，人们对数感内涵的认识较多强调其直觉、感知、潜意识、经验等方面，在教学中教师也常常有“虚无缥缈”之感，找不到教学支点.将数感表述为感悟，揭示了这一概念的两重属性：既有“感”，如感知，又有“悟”，如悟性、领悟.“‘感’是外界刺激作用于主体而产生的，是通过肢体（如感官等）而不是通过大脑思维，它含有原始的、经验性的成分.‘悟’是主体自身的，是通过大脑思维而产生的.‘感悟’是既通过肢体又通过大脑，因此，既有感知的成分又有思维的成分.”[2]《标准》将这种对数的感悟集中概括于“数与数量、数量关系、运算结果估计”3个方面，这主要是基于义务教育阶段数学课程内容的范围并根据学生的实际所做出的要求，这有利于教师在教学中更好地把握数感培养的几条内容主线.
关于符号意识，是从原来的“符号感”修改而来.为什么要做这样的改动呢？
这两个称谓就其英文表述（Symbol sense）来看是一样的，将“感”改为“意识”应该说其意义和价值取向与数学符号的本质意义要求更加吻合.数学符号最本质的意义就在于它是数学抽象的结果.在数学学习中，无论是概念、命题学习还是问题解决，都涉及用符号去表征数学对象，并用符号去进行运算、推理，得到一般性的结论.在这个过程中，数学符号对于学习者来说主要的还不是潜意识、直觉或感觉，而是一种主动的使用符号的心理倾向.所以用“意识”更准确些.
《标准》对符号意识的表述有这样几层意思值得体会：其一，能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律.即对数学符号不仅要“懂”，还要会“用”.其二，知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性.这一要求的核心是基于运算和推理的符号“操作”意识.这涉及的类型较多，如对具体问题的符号表示、变量替换、关系转换、等价推演、模型抽象及模型解决等.其三，使学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式.这又引出了两个除符号理解和操作之外的要求，即基于符号的表达与思考.概括起来，符号意识的要求就具体体现于符号理解、符号操作、符号表达、符号思考4个维度.
2.空间观念
空间观念是指对物体及其几何图形的形状、大小、位置关系及其变化建立起来的一种感知和认识，空间想象是建立空间观念的重要途径.
《标准》提出了空间观念的4点要求：
（1）“根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体.”这是一个三维与二维图形之间相互转换的过程，在这一过程中学生需要通过观察、比较、想象、抽象等活动，建立起空间物体与图形之间的联系；（2）“想象出物体的方位和相互之间的位置关系.”这一要求常常需要借助情境来实现，而不同的情境也会带来不同的想象水平要求；（3）“描述图形的运动和变化.”让图形动起来（如拆分、组合、平移、旋转、翻折、放大、缩小等），在运动中观察图形的特征及变化，也促进了空间能力的提升；（4）“依据语言的描述画出图形.”这需要对图形知识的掌握、图形经验的积累、图形关系的把握以及依据语言描述展开合理的空间想象.
从上述要求可以看出，空间观念的培养与一、二学段“图形的认识”、“图形的运动”、“图形与位置”等具体内容的学习是紧密关联在一起的.因此，正确认识空间观念的含义与要求，充分利用图形与几何内容中的典型素材，采取一些有针对性的教学措施和手段来培养和发展学生的空间观念是教师应注重的目标.
3.数据分析观念
原课标中的“统计观念”，强调的是从统计的角度思考问题，认识统计对决策的作用，能对数据处理的结果进行合理的质疑等要求.此次将其改为“数据分析观念”，就是希望改变过去这一概念含义较“泛”，体现统计与概率的本质意义不够鲜明的弱点，而将该部分内容聚焦于“数据分析”.数据分析观念是学生在有关数据的活动过程中建立起来的、对数据的某种“领悟”、由数据去做出推测的意识以及对于其独特的思维方法和应用价值的体会和认识.
根据《标准》对这一核心概念的内涵界定，可将其要求概况为3点：一是过程性（或活动性）要求：让学生经历调查研究，收集、处理数据的过程，通过数据分析做出判断，并体会数据中蕴涵着信息.二是方法性要求：了解对于同样的数据可以有多种分析方法，需要根据问题背景选择合适的数据分析方法.三是体验性要求：通过数据分析体验随机性.
显然，上述要求把数据分析观念的培养具体化了，也为数学课程及教学中重心的把握提供了路径.比如课程实施中就更应该关注这样一些问题：（1）尽可能为学生提供素材多样化的，包括收集、整理、描述、分析数据全过程的典型活动，使学生逐步积累数据分析的数学活动经验；（2）把数据分析的活动过程与统计知识的学习（如中位数、众数、加权平均数、方差、频数和频数分布等概念的理解）有机地结合起来，使学生真正体会到数据中所蕴含信息的意义，这样才能逐步建立起“用数据说话”的理性分析的意识和观念；（3）要注意方法的引导.学生数据分析的方法涉及如何收集数据和如何处理数据的方法，前者指数据的调查、获取，后者指数据的整理、描述与分析.教学中应鼓励学生运用所学习的方法，尽可能多地从数据中提取有用的数据，并且能够根据问题的背景选择合适的方法，而不是脱离问题背景，单纯地强调一些概念、方法的掌握.（4）使学生能通过数据分析来体验随机性.在以前的学习中，主要是通过概率来体会事件发生的可能性，而现在则希望引导学生运用数据来体验随机性.这一角度的变化带来的好处在于：它是数据分析过程中自然发生的，符合学生的认知规律，也能使学生更好地体会“随机”所具有的两层涵义：一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能会是不同的；另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律.（见《标准》例78）
4.推理能力
此次《标准》提出的推理能力与过去相比，有这样一些特点：
一是进一步指明了推理在数学学习中的重要意义.《标准》指出：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.”[1]它对教学的启示是，不仅要引导学生认识到推理是数学的重要基础之一，它与人们的生活息息相关，更重要的是要逐步培养学生运用推理进行思维的方式.
二是基于数学推理的特点，突出了合情推理与演绎推理这条主线.指出在数学思维和问题解决的过程中，两种推理功能不同，相辅相成——合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论.反思传统教学，人们往往把推理看成是一种严格的、通过充足的理由去证明和计算现成结论的逻辑思维形式，学生很少经历探索结论、提出猜想的活动过程.经过多年的课改这种情况有所改变，但也出现了另一方面的担忧，即在有些老师的课堂上将合情推理得到的结论不加说明地作为普遍性结论使用，对学生也产生了一定误导.推理能力的培养要根据不同学段学生的实际情况，通过为学生提供观察、实验、猜测、计算、推理、验证、证明等多样化的活动，引导学生多经历“猜想—证明（或验证）”的问题探索过程.这样一条主线的凸显，有利于在课程实施层面形成推理能力培养的有效载体.
三是强调推理能力的培养“应贯穿于整个数学学习过程中”.根据《标准》的这一要求，应该注意这样几个方面：（1）它应贯穿于整个数学课程的学习内容中，即不仅是图形与几何，数与代数、统计与概率及综合实践等，都是培养推理能力的课程内容.（2）它应贯穿于数学课堂教学的各种活动过程.如在概念教学中，让学生经历从特定对象的本质属性入手，抽象、概括形成概念的过程，并引导学生有条理地表述概念定义；在命题教学中，引导学生分清条件、结论，把握条件、结论间的逻辑关系；在解决问题教学中，让学生经历发现、提出、分析、解决问题的活动过程，在问题解决的逻辑序中感悟推理的力量和魅力.（3）它也应贯穿于整个数学学习的环节，如预习、复习、课堂教学、自我练习、测验考试……在所有的这些学习环节，逐步要求学生对思考对象做出判断时做到有理有据、合乎逻辑.当然，“贯穿整个数学学习过程”也应包括推理能力的培养应贯穿于整个学习阶段，做到合理安排，循序渐进，协调发展.
5.应用意识
数学应用意识是一种用数学的眼光、从数学的角度观察、分析周围生活中的问题并积极寻求问题解决的心理倾向和思维反应.培养学生的数学应用意识是数学课程改革的重要目标.加强数学应用，不是简单地增加几个应用题，也不仅仅是追求实际问题得以解决的数学工具价值，它事实上体现了对数学中更加本质的东西的追求：数学应用是认识数学、体验数学的过程，学生通过这一过程能学会数学地思考，感悟数学的精神并形成正确的数学态度.《标准》将应用意识的含义概括表述为两方面：一方面“有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题.”[1]这里指的是一种主动“用”数学的意识，其指向是“数学知识现实化”.另一方面“认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决.”[1]这里指的是对现实中的现象主动进行数学“抽象”的意识，其目标指向是“现实问题数学化”.对学生应用意识的培养，要注重在这种双向联系和贯通的路径中，使学生逐步形成一种“由数学看现实，由现实想数学”的意识和习惯.此外，还要特别注意通过综合与实践活动，来培养学生运用数学解决实际问题的能力.正如《标准》指出的，“综合实践活动是培养应用意识很好的载体.”[1]
三、关于新增的几个核心概念的认识
1.几何直观
将几何直观作为核心概念提出来是有其必要性和合理性的.首先，就数学而言，直观与抽象从来都是它发展的两翼.在很多数学家的研究生涯中，借助直观做出重大发现的事例比比皆是.数学的发展过程也表明，再抽象的数学结论总能找到相对直观的表征和解释，运用直观手段本身就是数学研究的重要方式，而在这之中，几何直观又是最常使用的方式.其次，就数学课程而言，恰当地运用几何直观，不仅能更好地建立起数和形之间的联系、促进相互的转化，提高综合运用知识的能力，而且能给学习带来极大的好处.正如希尔伯特（Hilbert）在其名著《直观几何》一书中所谈到的，“图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果”.几何直观在学习数学中的价值由此可见一般.最后，就义务教育学生心理发展特征来看，借助直观图形支撑数学的抽象思维，逐步发展学生的数学素养是符合学生认知规律的.
《标准》言简意赅地指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.”[1]这就客观地指明了今后数学课程中有两件事需要刻意去做，即针对较抽象的数学对象的“图形表示”和“图形分析”.前者指教学中要培养学生通过画图来表达数学问题的习惯，能画图时尽量画；后者指引导学生借助图形将相对抽象的、复杂的数学关系直观、清晰地展示出来，通过对图形的分析思考进而寻求解决问题的思路.事实上，在教学中很多老师已经在这样做，如解释概念、公式、定理时对几何意义的探求（完全平方公式、平方差公式即是一例），用“图形法”解题，注重数、形之间的化归等.当然，如何在教材和教学中更好地渗透这一核心概念还有待进一步的探索.
2.运算能力
在整个义务教育阶段，学生有相当多的时间与运算打交道，运算作为数学课程内容的一条主线不仅贯穿于数与式、方程、不等式、函数等“数与代数”的所有重要知识点，也和“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”的内容交融在一起.运算不仅是学习的重要内容，也是解决数学问题的基本方式，在这一点上，它和推理共同构成了数学的重要基础，也必然成为数学学习者应该培养的最基本的数学素养.这或许是10个核心概念中运算与推理皆以“能力”指称的原因之一.
《标准》指出：“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力.培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题.”[1]可据此概括出运算能力的几个基本特征，即：正确、有据、合理、简洁.这也启示研究者，运算不等同于计算，运算能力也并非一种单纯的、孤立的数学能力.它需要正确理解相关知识，辨识分清运算条件，合理选择运算方法，有效设计运算步骤，还要使运算符合算律、算理，并且尽可能简洁地获得运算结果.它是“算”与“思”的结合、操作与思辨的融合.
运算能力的培养是一个长期的任务，从义务教育阶段数学课程的特点出发，它要经历一个从简单到复杂、从具体到抽象、从单一到综合的反复训练、循环上升的活动过程.教师要适时地为学生提供足量而适度的习题以及形式多样的数学活动，以使学生在运算活动中不断积累运算经验，促使运算能力逐步得到提高.
3.模型思想
在义务教育阶段提出模型思想主要有如下理由：第一，模型思想是一种基本的数学思想.此次标准修订，由数学“双基”发展成数学“四基”，提出“模型思想”是对“四基”之一的“数学基本思想”做出的呼应，也体现出它应有的重要意义；第二，模型思想及相应的建模活动与很多课程目标点密切相关（如数感、符号意识、几何直观、发现、提出问题能力、数学的联系、数学应用意识、改善数学学习方式等），提出模型思想能很好地支撑这些课程目标的实现；第三，模型思想本身就渗透于各课程内容领域之中，突出模型思想有利于更好理解、掌握所学内容.如数与代数中的代数式及方程、几何中的图形、统计中的统计图或表格，综合实践活动中表示问题的数量关系式等，都可以结合具体实际问题从模型的角度去阐释其特定的意义；第四，培养学生的模型思想对义务教育阶段学生来说是可行的.尽管思想的渗透、感悟、培养不像某些知识的掌握那样可以立竿见影，但通过建立数学模型解决现实问题的活动过程步骤性强，且问题的难易、要求的高低完全可以根据内容和学生的实际来确定.此外还要看到，数学建模已是高中数学课程的学习内容，提出模型思想亦能更好与高中课程衔接.
作为中小学课程中的模型思想应该在数学本质意义上给学生以感悟，以形成正确的数学态度.正因为如此，《标准》指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.”[1]它鲜明地表达了这样的意义：建立模型思想的本质就是使学生体会和理解数学与外部世界的联系，而且它也是实现上述目的的基本途径.模型思想的建立需要通过数学建模的实践活动来达到.《标准》从义务教育数学课程的实际情况出发，将数学建模的过程简化为这样3个环节：首先“从现实生活或具体情境中抽象数学问题”.这说明发现和提出问题是数学建模的起点.然后“用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律”.在这一步中，学生要通过观察、分析、抽象、概括、选择、判断等数学活动，完成模式抽象，得到模型.这是建模最重要的一个环节.最后，通过模型去“求出结果并讨论结果的意义”.上述过程也就是所谓“数学化”的过程.显然，在这一过程中学生获得的不只是知识、技能，还有思想、方法，更有经验积累，其情感态度（如兴趣、自信心、科学态度等）也会得到提高.
4.创新意识
为更直接、鲜明地体现主动适应时代对创新人才培养要求的数学课程价值取向，此次将创新意识作为核心概念之一提了出来.应该注意这里的“创新”是一种意识，即表现为一种主动去探索、发现的心理倾向、一种积极的态度，培养这种意识在义务教育数学课堂教学中不仅是完全可行的，而且它对学生的知识、技能的学习也会起到良好的促进作用.为了使创新意识的培养不至于停留于口号，能够在课程实施中落在实处，《标准》对其进行了“写实”：“学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法.”[1]从基础、核心、方法3个方面指明了创新意识的要素，也为教师培养学生创新意识提出了几个基本的切入点或路径.围绕这3个要素，教师应紧紧抓住“数学问题”、“学会思考”、“猜想、验证”这几个点，做足教学中的“文章”，创新意识培养的目标就有可能得到落实.
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