克劳德183；谢瓦莱：布尔巴基巨人和数学结构代言人_数学论文

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      中图分类号：N0 文献标识码：A DOI：10.15994/j.1000-0763.2016.02.023

      

      克劳德·谢瓦莱Cladue Chevalley(1909-1984)

      布尔巴基学派是世界数学史上的重要学派之一，早期代表人物主要是一次世界大战后法国崛起的一批数学家：嘉当①(H.Cartan，1904-2008)、韦伊(A.Weil，1906-1998)、谢瓦莱(C.Chevalley，1909-1984)、丢东涅(J.Dieudonné，1906-1992)等。谢瓦莱作为布尔巴基学派的主要创始人之一，他的研究以严谨抽象的数学风格而著称，布尔巴基学派的结构主义思想受其很大影响，称他为该学派的巨匠乃实至名归。与此同时，他与德国数学家阿廷(E.Artin，1898-1962)和哈塞(H.Hasse，1898-1979)等人的学术关系也体现了当时欧洲大陆数学发展的主要趋势。

      谢瓦莱使类域论摆脱了ζ函数的解析数论工具，并将类域论推广到有限域及局部域，完成了类域论的算术化。1940年后他转而研究李群与代数几何学，出版的三卷本专著《李群理论》被奉为该领域的经典著作，以他名字命名的谢瓦莱群在有限单群分类方面起着重要的作用。此外，在代数群论、李代数上同调理论、交换环论和代数几何等诸多领域谢瓦莱也有许多经典工作和贡献。本文以这位法国数学家的工作和布尔巴基学派的关系为线索，论述他的数学工作对布尔巴基学派的影响，在此基础上尝试更全面地评价谢瓦莱的贡献，以期更好地理解20世纪上半叶数学相关领域的发展及其影响。

      

      图1 年轻时期的埃尔布朗(左图)和洛特曼(右图)

      一、高等师范学校的高材生

      1909年2月11日谢瓦莱生于南非首府约翰内斯堡，谢瓦莱的双亲都来自新教家庭，母亲是法国南部加尔文教派牧师之女。谢瓦莱的祖父是瑞士的钟表制造者，后移居法国，他的父亲先是在几家中学教书，后转向外交界。幼年时的谢瓦莱就显示出了非凡的智力。1926年17岁的谢瓦莱考入著名的巴黎高等师范学校。这所学校的入学考试难度居法国大学之首，是名副其实的名牌大学。该校在数学教学、研究与人才培养等方面享誉世界，共培养出十位菲尔兹奖得主，四位沃夫奖得主和一位阿贝尔奖得主，其中塞尔(J.P.Serre，1926-)更是世界上极少数集上述数学三大奖于一身的数学家。

      巴黎高师学制为4年，前两年学生在综合性大学注册学习，以获取大学三年级学习文凭和学士学位，后两年在本校教师指导下准备中学教师全国会考(Concours)，通过会考者可获教师资格。1929年谢瓦莱只用三年时间就毕业并取得中学高级教师职衔，其聪明程度可见一斑。在1929年3月的一次关于分析学的考试中，谢瓦莱得到的评语是：能通过熟练的推理来成功解题……使用了意想不到的方法，而这些方法都是非常困难的。

      大学时，年轻的谢瓦莱对文学和哲学也产生了浓厚兴趣，特别是科学中与哲学相关的语言学问题。他借阅了许多相关书籍，如法国剧作家、语言学家雷努阿尔(F.Raynouard，1761-1836)的词典“Lexique Roman”，如法国著名作家纪德(A.Gide，1869-1951)1909年出版的代表作《窄门》(La Porte étroite)。②

      在校期间谢瓦莱跟随法国数学家皮卡(E.Picard，1856-1941)进行数学研究，还与大他一岁的埃尔布朗(J.Herbrand，1908-1931)和洛特曼(A.Lautman，1908-1944)相识，三人成为了很要好的朋友，结下深厚友谊[1]。此处我们再简要介绍一下埃尔布朗。

      埃尔布朗1908年2月12日生于巴黎，17岁时以第一名的成绩考入高等师范学校，在校期间与谢瓦莱相识。除数学外，埃尔布朗还对哲学和诗歌有很大兴趣，借阅了大量哲学和诗歌方面的书籍，如柏拉图哲学、歌德诗集等。1928年埃尔布朗在韦西奥(E.Vessiot，1865-1952)指导下完成了关于数学逻辑的博士论文，之后在德国度过了1930-1931学年。他先在柏林跟随冯·诺依曼(J.von Neumann，1903-1957)，后来分别跟随阿廷和哈塞学习。1931年6月中旬他到哥廷根追随诺特(E.Noether，1882-1935)。1931年7月末他到法国伊泽尔省的La Berarde地区去登山，7月27日在攀登阿尔卑斯山脉的Baus峰成功下撤途中，遭遇事故不幸去世，年仅23岁。埃尔布朗在数理逻辑和代数数论方面的工作得到许多大数学家好评。在谢瓦莱和洛特曼为埃尔布朗所做的传记中将他的工作视为抽象和严格的典范[2]。可以试想若他没有过早去世，一定也会成为布尔巴基学派的中坚力量。

      二、崭露头角的类域论工作

      1930年到1940年的十年间，谢瓦莱主要研究局部和全局类域论，类域论是代数、数论和分析的完美结合，源于19世纪末克罗内克(L.Kronecker，1823-1891)、韦伯(H.Weber，1842-1913)和希尔伯特(D.Hilbert，1862-1943)的工作。希尔伯特1897年的数论报告为该领域迈出了一大步，更多的现代发展则由高木贞治(Teiji Takagi，1875-1960)、阿廷、哈塞、谢瓦莱等数学家完成[3]。

      1880年德国数学家克罗内克就在给戴德金(R.Dedekind，1831-1916)的一封信中提出了被称为“青春之梦”的猜想：即每个虚二次域K=Q(

)的极大阿贝尔扩域是将K添加某种椭圆函数在全部有理点处的值而得到的域。这个问题是代数数论最重要的问题之一，1900年希尔伯特将其作为第12问题写入了著名的23个数学问题中。其实，1898年希尔伯特就已经建立了早期的类域论理论，对于代数数域k及其伽罗瓦扩张K，如果k的一次素理想p(即绝对范数为素数的素理想)在K中能分解为K的一次素理想的积，当且仅当p是主理想时，称K为k上的类域，这种类域后来称为“希尔伯特类域”，但他仅对类数为2的情形给出了证明。高木贞治是希尔伯特的学生，1898年到哥廷根跟随希尔伯特学习。1903年高木贞治部分解决了克罗内克猜想。1920年他证明代数数域k的任何阿贝尔扩张K都可表示为k的类域，由此得到了类域论基本定理，他所建立的这种理论被称为高木类域论。在此背景下，克罗内克猜想由于成为高木类域论的一个特例而得到证明。从此类域论研究开始专注于代数数域k上的阿贝尔扩张。1920年9月25日高木贞治在法国斯特拉斯堡举行的世界数学家大会上宣读了上述结果。[4]另外，他还得到了类域论中重要的基本定理、分歧定理、同构定理、分解定理和存在定理。

      从1923年到1926年，阿廷和哈塞开始研究高木的工作，并试图将其工作表述的更简单，并开始讨论希尔伯特第九问题。1927年哈塞发表“类域论报告”的第一部分，对高木的理论给出了更深入的论述[5]。在此基础上阿廷提出了更一般的互反律(现称为阿廷互反律)，并于1927年完成了证明，以“一般互反律的证明”发表[6]，其中由阿廷映射(Artin map)明确得出了相对阿贝尔扩张与伽罗瓦群的对应关系。1930年哈塞类域论报告的第二部分发表，论述了如何从阿廷的一般互反律中推导得出高斯、库默尔、希尔伯特和高木贞治的互反律[7]。1929年哈塞注意到了美国数学家迪克森的代数工作，并在哈雷大学组织了关于超复数理论的讨论班。此后，他开始将类域论的算术思想与可除代数理论中的代数思想结合起来([8]，p.433)。高木贞治和阿廷的工作成为希尔伯特之后类域论领域的标准工作，其特点也很明显：对于不同的阿贝尔扩张，高木类域论和阿廷类域论都要在不同的模M广义类群的商群上花费大量的计算，而谢瓦莱正是通过伊代尔的概念避免了如此繁琐的工作。

      以上是类域论理论早期的发展背景，其中19世纪的代数数论的主流——解析方法对早期类域论影响颇深。在希尔伯特1900年提出的若干数论问题激励下，数学家开始在几个方向上拓展经典的数论和代数数论工作。在这个潮流中，一些德国数学家将其特有的代数思想和方法引入类域论领域，极大地推动了类域论乃至代数数论的发展。谢瓦莱正是在这样的情况下来到德国的。

      毕业后谢瓦莱得到法国国家科学研究中心(CNRS)资助到德国继续他的研究，而埃尔布朗则获得了洛克菲勒奖学金，到柏林大学跟随冯·诺伊曼学习。谢瓦莱在1931年到1932年在汉堡大学跟阿廷搞研究，后来又在马堡大学跟随哈塞学习。1930年亨塞尔(K.Hensel，1861-1941)从马堡大学退休，哈塞便接替了他的位置。此后，哈塞开始跟布饶尔(R.Brauer，1901-1977)以及诺特一起研究单纯代数，并最终确定了今天所谓的代数数域的布饶尔群。谢瓦莱到德国时，诺特正在研究超复数系与类域论的关系。受到诺特、哈塞和布饶尔的强烈影响，谢瓦莱也开始研究代数数论，并用结合代数的方法表述了类域论[9]。谢瓦莱这段时期的工作主要涉及代数数论，并得到德国学派的高度评价。而德国数学家对谢瓦莱的数学工作和思想也产生了深远影响。德国数学家的代数方法和技巧及研究的着眼点都令他受益匪浅，这从其数学工作中也可窥得一斑。无论是仿照哈塞推广其模剩余理论，还是对阿廷方法的继承与创新，或是在信中与诺特探讨类域论算术化，谢瓦莱的工作都深深地受到了诺特、阿廷和哈塞等人的影响，就连他力求简洁抽象的文风都受到德国数学家的影响。

      1933年谢瓦莱在博士论文中摆脱了阿廷的解析方法，将类域论推广到有限域及局部域(如亨塞尔给出的p-进域)，奠定了自成体系的局部类域论的基础。他证明可以直接从p-进域出发来考虑其阿贝尔扩张，这样要比全局类域论更简单。接下来几年，他致力于在类域论中消除ζ函数等解析数论的工具，这在前人的证明中是不可或缺的。为了能描述无穷阿贝尔扩张的类域论，他在1936年引入理想元的概念，并提到借助该概念可能完成类域论的形式化。1940年谢瓦莱将理想元改造为伊代尔(idèle)，并完成了类域论的算术化工作。借助伊代尔，他既不用高木贞治的结果也不用解析数论，而通过局部类域论得到了和全局类域论的相同结果，这也被誉为第一个“从局部过渡到整体”的明确实例。[10]此后，伊代尔概念成为代数数论的基本概念。

      1936年谢瓦莱接替了韦伊在斯特拉斯堡大学的职位，这是他的第一份教职。1937-1938年他在法国西北部城市雷恩接替了丢东涅的教学研究职位，1938年到普林斯顿高等研究院就职。二战爆发后，在法国驻美国外交官的建议下谢瓦莱滞留美国，并在普林斯顿大学工作到1948年，之后在哥伦比亚大学执教直至1955年。美国学生发现谢瓦莱要求严格，并没有太多的学生愿意跟随他做研究工作，因此他在美国并没有很多学生。[11]特别值得指出的是，1941年我国数学家段学复(1914-2005)到普林斯顿大学攻读博士学位，并与谢瓦莱有了一段被传为佳话的合作与研究。

      1938年秋华罗庚(1910-1985)从英国剑桥大学访问归来，成为西南联合大学-清华大学的教授。他讲授的“近世代数”课程以刚问世不久的范德瓦尔登(B.L.van der Waerden，1903-1996)《近世代数》第一卷为蓝本，但又做了不少的修改。在这门课中段学复担任了刻写讲义和批改学生习题的任务。他还参加了华罗庚开设的有限群讨论班，并开始研究p群，这也是段学复从事代数学、特别是有限群方面的理论研究和培养人才工作的开端。

      1939年段学复考取了留英公费生并于次年9月进入加拿大多伦多大学。多伦多大学数学系是当时加拿大最大的数学系，他的导师布饶尔当时正在创建有限群的模表示论。在布饶尔的指导下，他很快就取得了一些关于p群的成果，并于1941年获得硕士学位，同年8月进入美国普林斯顿大学数学系攻读博士学位。

      普林斯顿在当时有世界数学中心之称，代数学家韦德伯恩(J.Wedderburn，1882-1948)就在该校任教，谢瓦莱则是系里的年轻助理教授，学术上非常活跃。段学复在布饶尔和谢瓦莱的指导下，与他们合作完成了有限群的模表示理论和李群、代数群两方面的重要工作。1943年段学复获得普林斯顿大学哲学博士学位，并在普林斯顿做了两年博士后，期间曾到阿廷处作过4个月的访问学者，从1945年9月起到普林斯顿高等研究院担任外尔(H.Weyl，1885-1955)助手，协助他修订经典名著《典型群》，一直到1946年回国。[12]

      在国外的这6年是段学复数学生涯中很重要的一个时期。而有幸向布饶尔和谢瓦莱这两位大师学习并与之合作，对于他的影响更是不言而喻的。

      三、奠定声誉的工作

      1940年后谢瓦莱将研究方向转向先前并不熟悉的李群和代数几何学，并逐渐对任意域上代数几何学发生了兴趣，证明了代数簇局部环的一些主要性质。1941年他发表了两篇论文，一为“可解群的拓扑结构”，一为“李群一条性质的一个代数证明”，这也标志着他正式转向李群及代数几何领域。

      1943年谢瓦莱利用矩阵的张量不变量定义了矩阵复型，并刻画了幂零矩阵的复型。当时他正在主持一个李群讨论班，他和段学复得出：如果将代数的李代数定义为包含其中任意元素的所有复型的矩阵李代数，则这样定义的李代数恰是莫瑞尔(L.Maurer，1859-1927)1894年研究的代数的李群的李代数，也就相当于证明了代数李群的基本定理：在复数域上，一个代数的李群的李代数必然是一个代数的李代数，反过来也成立，这个等价关系是代数群中的基本定理。[13]这些概述性证明出现在他们合作发表于1945年的文章中。[14]

      1946年、1951年和1955年，谢瓦莱出版了三卷本《李群理论》。第一卷首次对李群理论的基础用整体观点作了前后一贯的系统叙述，并将其置于解析流形概念的基础之上，这本书也一直被奉为李群领域的基本参考书，并体现了谢瓦莱从20世纪40年代中期开始对李群领域纯代数方面越来越浓的研究兴趣。此卷第六章“紧李群及其表示”(Compact Lie Groups and their Representations)已基本属于代数范畴([15]，p.171)。他当时的目标有两个：(1)考察如何用紧李群的表示的总体来重构其自身，(2)借助紧李群的代表环来构建可将该紧李群同构嵌入的代数群([16]，p.886)。一般认为这三卷《李群论》本应具有一脉相承的研究风格，但事实并非如此。第Ⅱ卷在代数李群和李代数的框架下重建了整个理论，与第Ⅰ卷内容基本相互独立。而在某种程度上，第Ⅲ卷是关于李代数基本结果的标准阐释。([10]，p.4)

      1951年谢瓦莱出版了《单变量代数函数入门》一书，书中严格而又严谨的代数风格，引起人们广泛的注意。韦伊将这本书与戴德金、韦伯关于代数函数的经典工作和外尔的《黎曼面的概念》进行对比，并高度赞扬了谢瓦莱的工作。他写道：“(谢瓦莱著作的)覆盖面远远超过了前者，甚至在书的最后一章，竟与后者有些相似。通过纯粹代数的方法从代数函数理论全面的广泛性来考虑其原理和准则，这是最好不过的事情了！表面上看，谢瓦莱对待该研究领域的态度有些片面，但实际上他的工作是很有价值的，不仅仅对那些自身喜欢代数方法的人，就连对那些希望能确定代数方法的应用范围和局限性的人一样有价值。”([17]，p.103)

      1953-1954学年谢瓦莱到日本访学，不久便发表论文“论某些单群”，这可以说是他最有影响力的论文之一。这篇文章的重要性和开创性不在于所展示的新单群，而主要在于所涉及的群的统一处理方法。谢瓦莱发现在伴随表示下可看成线性群的复单李群能通过单参数子群生成系表出，但这只在巧妙的选取李代数基的情况下才成立，这样选取的基现在称为谢瓦莱基。他在这篇文章中研究的特殊有限群现在被称为谢瓦莱群，如果没有这些研究，有限单群的分类是不可能完成的。

      谢瓦莱对于代数几何基础的兴趣保持了大约十多年，他不仅热衷于研究基础本身，而且对代数群还作了许多研究，实际上代数几何基础就是谢瓦莱和嘉当举办的讨论班的主要议题。

      1955年谢瓦莱回到法国，成为巴黎大学的教授，并一直执教到1978年退休。在巴黎他还主持了“谢瓦莱讨论班(Séminaire Claude Chevalley)”。第一期讨论班于1956-1958年度举行，主题是李代数的群的分类；第二期于1958年举办，主题是周环及其应用③；第三期于1958-1959年度举办，主要讨论皮卡簇；从1968-1984的16年间，讨论班的主题一直是“有限群”，这个讨论班还一直坚持到了现在。[18]

      四、布尔巴基学派的结构主义者

      20世纪20年代，一战刚刚结束不久，百废待兴，有一批人陆续走进巴黎高师求学。他们是：1922年入校的韦伊和德尔萨特(J.Delsarte，1903-1968)，1923年入校的嘉当，1924年入校的丢东涅，1926年入校的谢瓦莱。在校期间，他们都是阿达玛讨论班的听众和报告人。阿达玛讨论班由法国数学家阿达玛(J.Hadamard，1865-1963)④在1913年创立，对布尔巴基学派有重要影响。

      1933年韦伊、嘉当和谢瓦莱等人准备成立自己的讨论班，并向年轻的教授儒利亚(G.Julia，1893-1978)⑤寻求支持。在儒利亚帮助下，他们开办了“数学讨论班”(Séminaire de Mathematiques)，直到1938年因二战中断，后被称作“儒利亚讨论班”。几年后，儒利亚讨论班核心成员中的一些人成立了布尔巴基学派。

      谈到布尔巴基学派的肇始，韦伊这样回忆：

      “1934年的晚些时候韦伊和嘉当以古尔萨标准教材教授微积分。嘉当为了将课程中的章节处理的更好而向韦伊求助，而韦伊也有自己的问题。韦伊提议应和其他大学教同样课程的朋友会面，一起决定如何处理教学中的问题。由此，便有了嘉当与韦伊和德尔萨特、谢瓦莱、丢东涅及其他一些人在巴黎的定期会议，这个群体就是后来所谓的布尔巴基。”([19]，p.437)

      1934年12月10日，星期一，这群青年数学家举行了第一次会议，于是布尔巴基正式宣告成立。他们每隔一周的周一在巴黎集会，中午就在距卢森堡公园不远处的圣米歇尔街旁的咖啡馆内聚会，一起高谈阔论他们的宏伟目标，下午到庞加莱研究所(IHP)参加儒利亚讨论班。有了固定的日期和聚会地点，布尔巴基的活动日渐频繁。从1934年12月到1935年5月，短短5个多月的时间里，他们就召开了10次会议，宏伟目标也在逐步变成现实。

      韦伊的说法在嘉当和博雷尔(A.Borel，1923-2003)那里也得到了印证。

      嘉当说：当时法国很多数学家都死于一战，我们之前，数学家青黄不接。一些数学家开始到国外去—尤其是德国—看看那里到底在研究些什么。这就是数学复兴的开始。这应该归功于韦伊、谢瓦莱和波塞尔(L.de Possel，1905-1974)。作为对韦伊最初倡议的回应，上述这些人集会并组建了布尔巴基。([20]，p.785)

      博雷尔也回忆称数学家们打算采取(比以往传统的)更精确更严格的方式去著书立作，而谢瓦莱便以严格的作品而著称。“即使是对布尔巴基学派来说，有时候谢瓦莱的工作也太严格了，他的作品常因‘太抽象’而被拒绝接受。”([21]，p.376)

      在女儿凯瑟琳(Catherine Chevalley，1951-)看来，谢瓦莱更多的是对严谨性的执著追求。凯瑟琳这样回忆他的父亲：对他来说，把问题当作整体来考虑，从全局角度来考虑证明的必要性是至关重要的。布尔巴基所有的成员都关心严格：布尔巴基当初的动机就是要弥补法国数学家严格方面的不足。……对我父亲来说，缺乏严格性就如同在泥泞的道路上散步时，不得不时常捡拾地上的污物才能前行。一旦扫除了地上的污物，就会得到数学目标——一种本质上关键在于其结构的结晶体。建立起结构后，他会说这是一个打动他的东西……对于他来说，数学的严格性在于由此产生的新的对象可在后面的研究中保持不变。[22]

      谢瓦莱对当时的数学发展有着独到的见解。他曾写道：“现在数学寻求的定义都是在理解层面上的，也就是说是通过数学对象的特性，而不是扩展的，即结构层面上的。但这并不是(数学的)最终情景。……对已知数学事实的结构的分析远没有完成。”([23]，p.384)也就是说他已经觉察到了当时数学研究仅注重了数学对象的性质，而忽视了对结构的研究。这种思想不可避免地对布尔巴基学派的工作产生影响。

      可以看到，谢瓦莱推崇的正是布尔巴基学派借以成名并赖以生存的结构及结构主义。从这个角度上说，谢瓦莱是布尔巴基学派抽象严格风格的设计师，更是一位不折不扣的结构主义者。

      谢瓦莱还深入研究了希尔伯特的数学哲学，并认为公理理论以及理论的公理化已深深地影响了数学，最明显的体现就是数学写作的风格，这一点对日后布尔巴基学派的写作影响甚巨。谢瓦莱写道：

      “事实上，希尔伯特的平面几何理论并不去定义那些来源于其他概念的定义，然后推论点、直线的属性等，而是完全不考虑这些事物的性质。这个理论只是给出一个描述性定义和给定条件，一个具有基本属性的确定数值，一些假设，这个理论建立在假设之上。……这个理论只是一直不停的推论，验证面上的点与实数对有关联，或更确切的说，如果人们用实数创立的事物来替换点和直线，这些理论的假设就能成真。无论如何，实数理论能被看作是无矛盾的，几何也是这么构成的。”([23]，pp.380-381)

      他还论述了实数理论公理化后应怎样重新认识实数体系，并写道：

      “实数的集合既是一个域，又是一个拓扑空间，还是一个拓扑群，一个有序集，一个度量空间等。……当今数学定义所理解的数学事物，也就是说通过它们特有的性质，即结构。”([23]，pp.383-384)

      他的这些认识大大超越了他的时代，对比布尔巴基在《数学原理》中提出的序结构、代数结构和拓扑结构，谢瓦莱的确应该被视作布尔巴基的精神导师，并直接影响了布尔巴基学派的整体认识。

      五、数学之外的谢瓦莱

      除了数学之外，谢瓦莱的爱好广泛，堪称一位名副其实的“博学家”，也有丰富多彩的人生。尽管不算是激进人士，但他至少可算得上是热心于政治的。他是1930年代成立的法国青年组织新秩序(Ordre Nouveau)的创立者之一。

      1982年他曾明确要求其全集应该包括那些非数学的文章，这主要是出于两方面的原因。首先他毕生致力于认识论和政治，另一方面，他认为数学家全集不应该只是写给数学家看，而应该让科学史家也愿意去读。但数学史不可能是超脱于总体思想世界的纯而又纯的东西：“我认为数学史不应该总是关注于在某年某数学家证明了某某定理这样的史实，而应该研究出版物中的数学趋势以及认识论、哲学和社会趋势之间的关系。”由于这些原因，谢瓦莱并不想将数学文章与其他文章分开来结集出版。[24]

      谢瓦莱文集的编委之一、卡蒂亚(P.Cartier，1932-)教授也写道：“谢瓦莱是各种政治和艺术方面先锋团体的成员。……他写了许多小册子和笔录……。数学是谢瓦莱生活的最重要的组成部分，但他并没有将数学和生活的其余部分严格区分开来。”[25]谈到原因，卡蒂亚将这归于谢瓦莱父亲外交官的职业。

      生活中的谢瓦莱非常热心，乐于助人。1958年到1959年间印度数学家瑟哈里(C.S.Seshadri，1932-)参加了第三期谢瓦莱讨论班。当时的瑟哈里还是一个默默无闻的学生，讨论班里许多数学家的报告都令他摸不着头脑，但还是“虔诚”地参加了讨论班。在谢瓦莱的帮助下，瑟哈里在讨论班上做了若干演讲。当看到瑟哈里理解并在报告中阐述了自己的思想，谢瓦莱看起来很是高兴。他还经常邀请瑟哈里到家里去研究讨论班上未完成的有关问题。([26]，p.119)

      在巴黎的最后一年，瑟哈里要从学校宿舍的一幢公寓搬出，但必须由导师向公寓管理员出具一份例行公事的证明信，瑟哈里求助于谢瓦莱。于是，谢瓦莱写了一封饱含美溢之辞的证明。没想到，公寓管理员看到信后竟然不同意如此优秀的住宿者离开。通过这件小事，谢瓦莱为人的热情乐助便可窥一斑。瑟哈里这样回忆自己的老师：“通过与他的交往，我能感觉到他身上的那种优秀品质。与这位伟大的数学家近距离相处共事确实是一件人生幸事。”([26]，pp.120-121)

      谢瓦莱一生所得到的荣誉并不多，仅仅只是1940年发表在数学年刊上的关于类域论的论文为他赢得了1941年美国数学学会(AMS)的柯尔奖。1948年他得到古根海姆奖金，1967年成为伦敦数学学会成员。1984年6月28日，谢瓦莱在巴黎病逝。

      谢瓦莱数学工作的影响可谓广泛而深远，对其工作和数学思想进行分析，有以下几点值得我们思考。

      首先，谢瓦莱的数学思想与数学工作对布尔巴基学派的数学风格有着重要的影响，而这些则某种程度上源于其在德国期间的访学经历。将谢瓦莱的类域论工作与20世纪30年代数学发展结合起来，可以发现其类域论工作在相当大的程度上带有德国数学的印记，其工作也体现了法国和德国数学交流及那个时代的发展特征。特别要指出的是德国数学家哈塞和诺特。哈塞在谢瓦莱类域论工作中扮演了重要的角色，或许我们可以说没有哈塞就没有谢瓦莱对类域论的工作。从二人往来信件中可以看出，哈塞实际上已经成为谢瓦莱与德国数学家联系的主要纽带。尽管谢瓦莱很少引用诺特的工作，但诺特仍应被视为谢瓦莱类域论工作的推动者。其实布尔巴基学派的工作也正是建立在诺特和阿廷的思想之上[27]。

      其次，从数学学科创新的角度来分析谢瓦莱的工作，特别是其类域论工作，以跨领域视角来解读其类域论工作，可以更好地理解谢瓦莱的数学思想。从类域论层面理解，正是伊代尔的概念使谢瓦莱摆脱了ζ函数、L函数等解析理论和解析工具，也使类域论的叙述更为简洁。在此基础上，谢瓦莱用拓扑群理论来处理无限扩张，重新构建了类域论，从此伊代尔的概念作为基础成为类域论工作的标准内容，显得越来越重要。从学科交叉及整体数学科学广义层面看，谢瓦莱借助伊代尔概念直接将类域论与拓扑群和泛函分析理论的发展紧密结合在一起，使类域论的内容更加丰富，工具也更加先进抽象，结果也更富有借鉴意义。([28]，p.116)

      此外还有一个问题值得我们深思，那就是如何对数学家的工作给出更全面合理的评价。谢瓦莱的工作大致可以分为两个时期：1940年之前的类域论时期和之后的李群和代数群理论时期。丢东涅曾在纪念文章中概述了谢瓦莱的数学工作，其中对谢瓦莱1940年之后群论和代数群方面的论述占据了文章的大部分篇幅。他直接写道：谢瓦莱对数学的最重要贡献当属他在群论方面的工作。([10]，p.3)可以看到，谢瓦莱在1930-1940年间关于类域论的工作似乎并不被认为是其最重要的数学工作，没有受到更多重视。从历史的发展来看，我们不能也不应将数学家在不同时期的不同领域的成果简单地对比，而应将数学工作放入所属领域，从分支及领域的发展史来评判其重要性。如果有可能的话，在数学发展的大环境下，综合考虑数学家在不同领域所做工作的重要性，而不是限于单纯的比较研究。当然，这就将问题导向了更宽泛的研究领域，不仅涉及到数学的发展，还涉及到文化、经济等社会环境的多个方面的因素，这给数学及数学史工作者提出了更多维度的问题，这些问题也更值得进一步深入研究，对现代数学也将更具有现实意义。

      ①文中嘉当均指法国数学家亨利·嘉当(Heri Cartan 1904-2008)。

      ②2013年笔者在法国巴黎高等师范学校图书馆中发现了谢瓦莱大学时期的借阅记录。记录上清楚地显示了他大学期间的阅读兴趣和所借阅过的书籍。

      ③周环，即周炜良环或周氏环。周炜良(1911-1995)，数学家，在代数几何方面有诸多贡献。许多数学成果以他的名字命名，如：周炜良坐标、解析簇的周炜良定理、周炜良簇、周炜良环等。

      ④法国数学家，在数学上有很多贡献，主要涉及到函数论、数论、微分方程、泛函数分析、微分几何、集合论和数学基础等方面。1936年阿达玛曾到中国讲学。阿达玛讨论班曾由于一战而短暂终止，1920年继续照常举行。

      ⑤法国数学家，以创立儒利亚集而闻名。一战爆发后，21岁的儒利亚应招入伍，在一次袭击中被炸掉鼻子，因而整日带着面罩。

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