基于竞争模型的分层教学激励机制研究_分层教学论文

基于竞赛模型的分层教学激励机制研究，本文主要内容关键词为：激励机制论文,模型论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

0 引言

分层教学①历来是教育学界研究的重点话题。顾名思义，分层教学是指将不同天赋(学习能力)的学生分入不同层次进行教学，从而实现因材施教、人尽其才的目的。实践中，校方通常将学生前期的学习成绩当作天赋的一个信号并以此进行按能力分班，将学生分为高水平班与低水平班(为了直观，下文有时记作“快班”与“慢班”)。现代社会中的分层教学这一教育理念源于20世纪初期的美国。随着移民浪潮的兴起，越来越多移民儿童进入美国学校学习，而他们的教育背景以及母语各异，致使教师认为必须按照入学前的成绩对他们进行分班教学。这一理念随后在西方发达国家得以迅速推广。20世纪80年代之后，我国教育体系逐渐恢复正常，分层教学的实践也逐步展开。

然而，随着实践的深入，分层教学的公平性、有效性也引发了利益相关者的广泛讨论。普遍的看法是，按能力分班对学生区别对待，容易造成过度竞争和“矛盾”，并可能使部分学生出现自大或自卑心理，从而妨碍学习。大量实践经验也表明，相较于传统的随机分班(平行分班)，按能力分班的确使得一部分同学成绩提升，但同时也伤害到另一部分同学的成绩(见《中国教育报》，2009年6月30日)。一个有关分层教学的有趣现象是，校方往往是按能力分班教学的倡导者，而学生和家长则对此态度不一，常抱有相反观点(见《人民日报》，2006年9月26日)。由此可见，在分班问题上学生利益和校方利益并不一致。这一点不难理解，以我国高考为例，每个考生都希望自己考出更好的高考成绩；而学校则可能存在忽略部分考生利益以求得报考学生更好的高考平均分，甚至将关注点放在能否出现“高考状元”上，借此更好地体现学校的教学实力，赢得更高的社会声誉。②

分层教学在政策层面上屡受高度关注。教育部在《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010-2020年)》中指出，学校应当关注学生的不同特点和个性差异，推进分层教学等教学管理制度改革。不过，《中华人民共和国义务教育法》中也强调：教育部门不得将学校分为重点学校和非重点学校，学校不得分设重点班和非重点班。这说明教育制度的顶层设计者对于分层教学也处于思考和探索阶段。

分层教学涉及如何为学生取得好的学习成绩设计一个有效和公平的机制，而学生成绩与升学、就业直接挂钩，在人生发展中至关重要。这个问题的重要性是不言而喻的。然而，学术界至今对分层教学尚未形成统一的认识，对该问题的研究尚处于“具体情况，具体分析”状态，学者往往通过对个案的调查分析进行探讨，几乎没有规范的理论研究。这也从一个侧面反映出该问题的复杂性。

本文尝试以经济学中的竞赛模型(contest model)为理论基础，建立学校分班及学生竞争的模型，以期对随机分班和按能力分班两种分班方式进行理论分析，并对其给学生和学校带来的不同影响进行比较。竞赛模型在文献中有时也称为锦标赛模型(tournament game)，③在有多个代理人的委托—代理模型中，对于代理人的激励可以通过代理人的相对业绩(如绩效排名、竞赛名次)而非绝对业绩来实现。该模型的现实重要性在于，与绝对业绩相比，相对业绩信息的获得更为容易，也更具有同一群体内部的可比性。教育学中关注的一个核心理念是“同伴效应”(peer effects)，即学生之间的相互促进、相互竞争关系及其对学生发展的影响。班级排名对学生努力有很大的影响，一个学生的表现不完全取决于个人有多好，而更多地取决于该学生在一个群体中的相对位置。在一个群体中表现出色不仅可以获得更多的资源(如荣誉称号、奖学金和保送资格等)，也会带来更多的心理优势。这也是俗话所说的“宁做鸡头，不做凤尾”。从这一点上讲，学生之间的竞争与企业内部员工晋升或体育赛事的竞争有相似之处，学生之间的竞争关系在一定程度上可以通过“竞赛模型”来刻画。④

从学校一方来看，采用不同的分班机制可以通过改变学生所在竞争环境来影响学生的努力程度，从而影响其成绩。作为分班机制的设定者，学校采取何种方式分班有其利益所在，这种利益反映在学校通过提升学生的成绩赢得“社会声誉”。这种社会声誉可以来自两种不同的教学理念(或者大众认同)：①提高学生的整体素质，即全面教学理念；②培养尖子生，即培优教学理念。本文将分析不同的分班机制如何影响学校不同目标函数下的收益，从而也解释了学校采取不同分班制度的激励所在。

本文研究发现，相对于随机分班而言，分层教学有助于促进低天赋和高天赋学生的学习，但对中等天赋学生的学习有消极影响。当学校目标是全面教学，即学校注重所有学生的成就时，随机分班优于分层教学；而当学校目标是培优教学，即关注最好学生的成就时，分层教学是更好的选择。这里一个关键性的假设是所有学生的天赋服从均匀分布。

本文接下来的结构安排如下：第1部分阐明本文与现有文献的关系，参考文献来源于经济学和教育学两个领域。第2至5部分为文章的核心。第2部分是竞赛模型的设定。第3部分分析学生在随机分班和按能力分班两种机制下的均衡努力水平。第4部分分析全面教学理念下不同分班方式导致的学校声誉差异，从而确定校方在该理念下的最优选择。第5部分分析培优教学理念下不同分班方式导致的学校声誉差异。第6部分为建立在基本模型基础上的扩展和讨论。第7部分是本文结论和教育学含义。（证明略）

1 相关文献

本文将经济学分析方法引入教育学问题的探究，因而与两类参考文献相关：一是经济学中有关竞赛模型的文献；二是教育学中有关分层教学的文献。

在经济学界，Lazear and Rosen(1981)最早使用竞赛模型来研究企业内部员工的激励机制，员工为获胜而竞相付出努力，委托人则根据员工的业绩排名发放奖金。西方学者对该模型在理论方面进行了各个方向的拓展，如Taylor and Curtis(1995)将该模型用于分析企业间的研发竞争。Amann and Leinigner(1996)证明了不完全信息情况下当竞赛中仅有两位参赛者且相互独立并异质时均衡的存在性与唯一性问题。Baye et al.(1996)刻画了完全信息情况下全支付拍卖(竞赛)的均衡。Krishna and Morgan(1997)研究了不完全信息、完全对称设定下当参赛者对奖金的价值评估具有相关性时，全支付拍卖中对称单调均衡(symmetric monotonic equilibrium)的存在性问题。Moldovanu and Sela(2001)则探讨了委托人设立单一奖项或多奖项的条件。Fibich et al.(2006)分析了不完全信息、完全对称独立设定下、当参赛者具有风险厌恶型偏好时，均衡策略与均衡收益的情况。Siegel(2009)在非常宽泛的设定下(多奖金且价值及成本均异质)研究竞赛中参赛者的均衡收益以及参赛者的参赛策略。Parreiras and Rubinchik(2010)分析了不完全信息情况下当竞赛中参赛者独立、异质且多于2人时的均衡策略与均衡收益。

在我国经济学界，学者也广泛将这一模型应用于分析实际问题，如周黎安(2007)将竞赛模型应用于中国地方官员的晋升模式研究中，周权雄和朱卫平(2010)将其运用于对国企激励效应与制约因素的分析。但据我们所知，到目前为止，国内外还没有学者运用竞赛模型来规范分析学校的分班问题。

在教育学领域内，学者们对分层教学的有效性始终保持高度关注。西方学者对分层教学的研究，主要通过收集不同教学制度下的学生信息并进行回归分析以寻求答案。⑤他们一致认为分层教学的核心在于同伴效应，即学生在学习过程中的相互影响。但对同伴效应影响的大小和方向，由于数据和分析方法的不同，学者们态度殊异。第一类学者(如Oakes，1985；Argys et al.，1996)认为，分层教学使得高能力的学生相互促进，但却剥夺了低能力学生向高能力学生学习的可能性，因而有益于高能力学生而不利于低能力学生。第二类学者(如Figlio et al.，2002)持相反观点，认为采取分层教学后，低能力学生不必受高能力学生的打击，因而能获得更好的学习效果。第三类学者(如Betts et al.，2000；Vandenberge，2006；Gibbons et al.，2007)则认为，当学校对不同层次的班级投入相同资源配置时，按能力分班对任何能力的学生都没有显著影响。

相比西方学者，我国学者在分层教学方面的研究多集中于论述层面，而实证或理论研究很少。如唐勇和杨一军(2004)指出，分层教学需要保证以下三点：专业方向分层、课程知识分层、学籍管理分层。杨能生(1998)认为，分层教学应当由学生主动选择其愿意接受的学习层次，而非由校方按一定标准强制执行，才能促进各能力段的学生学习进步。此外，也有大量学者结合自身教学经验对所在专业的分层教学现状进行讨论，如谢文静(2009)认为在高职教育中，公共基础课适合统一教学，而专业课适合分层教学。叶云屏等(2005)对英语专业、冯岩等(2001)对体育专业也进行了相关探讨。他们大都认为，合理的分层教学有助于区分不同天赋的学生，从而实现“因材施教”。

综上所述，对分层教学这一话题的探讨，不仅有理论价值，更对教学实践有指导作用，意义重大，值得思考与研究。本文对于研究分层教学的贡献在于区别于前人的研究方法，是第一个利用微观经济学的竞赛模型对分层教学进行的理论分析。这不仅是对现有分析的补充和完善，也为后人的研究提供了一个可靠的模型参照系。

2 模型设定

我们沿用Moldovanu and Sela(2001)的竞赛模型中个体效用函数形式和私有信息假设，并利用分层教学后群体内部天赋分布改变这一性质，构造一个探究分层教学的理论模型。

假设有一批风险中性的新生入学，新生集合记为N=｛1，2，3，…，2n｝。校方计划将新生分入两个人数相同的班级(即每班n人)。学校虽然无法观测到学生的实际天赋(学习能力)，但可以将新生的入学成绩当作天赋的一个有效代理变量。⑥因此，学校可以采用随机分班(random grouping)或按能力分班(ability-based grouping)两种分班模式。在随机分班模式下，学生被随机分入两个平行班；按能力分班模式下，学校根据学生天赋进行排名，将学生依次分入快班和慢班。学校目标是最大化学校声誉，而学校声誉则取决于学生的成就(如学生的高考成绩)。

学生取得的成就依赖于学生的努力程度和天赋。学生i的成就函数由

给出，其中

为学生i的努力程度，

为学生i的天赋。学生的成就为努力程度和天赋的增函数，而努力和天赋则是互补关系。学生i努力的成本函数为

，其中c＞0为一常数，即成本为努力程度的线性增函数。⑦在学生中间，每个学生的天赋水平

是个人的私有信息。对于任意两个学生i和j，学生i相信学生j的天赋符合对称独立同分布F(

)。F(θ)为公有知识，并服从[δ，1]上的均匀分布，即F(θ)～U[δ，1]。⑧为防止θ=0时学生无论如何努力都不能取得正的成就的情况出现，我们令δ为趋近于0的极小正数即δ→

。

学校为每个班设立一个奖学金M，奖励给每个班成绩最好的学生(进一步地，M可以代表学校对班级的资源配置，如荣誉称号、保送名额等)。当取得最高成就的学生多于一个时，这些学生以均等的概率获得奖学金。因此，学生的回报有两种情况：获得奖学金时回报为M-c(e)，没有获得奖学金时回报为-c(e)。学生可以通过提高努力程度来提高成绩，从而增加获奖的概率。

博弈的时间顺序如下：

第一期，校方以代理变量观测学生的天赋，决定分班模式并实施。

第二期，学生观察到分班模式(随机分班或按能力分班)和自己被分入的班级，从而选择努力水平。

第三期，学生的个人成就实现。校方通过学生的成就获得声誉，并为每班成绩最高的学生颁奖。

模型求解使用逆向推导法(backward induction)，我们首先计算第二期学生在均衡时的努力程度和学校的声誉，然后通过比较不同分班模式所带来的学校在不同的目标下的声誉差异，分析学校在第一期决定分班模式时的二元选择。

3 不同分班模式对学生的影响

3.1 随机分班

随机分班模式下，2n个学生被随机分入两个平行班(n＞1)。因而，每个班内，任意一个学生i关于班内其他学生天赋分布的后验信念仍为F(θ)～U[δ，1]。任一班级k∈｛1，2｝中，学生i选择努力程度

以期最大化个人效用：

学生i的效用由“得奖学金的期望收益”与“努力成本”两部分构成，其中

为学生i在该班中获得最高成就的概率，也就是该生得到奖学金的概率。

我们的分析专注于对称均衡，即同一班级的学生采取对称的均衡策略，而策略是学生天赋的函数，这意味着天赋相同的学生在均衡中选择的努力水平也是相同的，从而他们的成就也是相同的。这里，我们先验地假设成就

是关于天赋

的单调增函数(这在后面的推导中可以得到验证)。建立在对称均衡基础上，即有

。⑨

给定θ，学生i获奖的概率为：

注意当n＞1时，e为θ的严格增函数；同理，a也是θ的严格增函数。这就印证了前文的假设。

由引理1可知，对于任意一个学生，奖学金M值越大，激励越高，学生努力程度越高，取得成就也越高。由于天赋和努力程度之间的互补关系，天赋越高，努力程度也越高。但是，努力程度随天赋增加的速度受到班级人数的影响。n越大，

随着

增加得越快，原因是当班级人数增多时，竞争加剧，一个学生需要付出更多的努力才能取得最高的成就。

3.2 按能力分班

在按能力分班模式下，2n名学生中天赋较高的n人被分入快班，其余n人分入慢班。用f和s分别代表快(fast)班和慢(slow)班。

在博弈第二期即学生被分班之后，我们假设慢班内，每个学生关于其他学生的后验天赋分布更新为

(θ)～U[δ，0.5]；快班内，每个学生关于其他学生的后验天赋分布更新为

(θ)～U[0.5，1]。⑩

在一个班级内部，学生i的最大化效用问题同式(1)。两个班学生的均衡努力程度和成就见下述引理2(证明略)。

引理2 按能力分班模式下，慢班学生i的均衡努力程度和所获成就分别为：

3.3 两种模式下学生成就差异

由引理1、2，可知随机分班与按能力分班下不同学生选择的均衡努力程度及取得的相应成就。天赋相同的学生在两种机制下均衡努力水平不同，成就必然也不同。命题1总结了在两种机制下，同一学生的成就差异，相关证明请参见原文附录。

从学生的角度考虑，我们从命题1得知，按能力分班对于低天赋(

≤0.5)和高天赋(

＞

)的学生的学习有促进作用，而对于天赋中等偏上(0.5＜

≤

)的学生却有负面影响。对于低天赋的学生和高天赋的学生，在按能力分班模式下，直接面对的竞争对手与自己更加势均力敌，获奖的希望较随机分班有所增加，因而学习的动力更大。而对于天赋中等偏上的学生，在随机分班模式下，在一个班内处于中等偏上，仍有较大的正的概率可以获奖，但在按能力分班模式中，他们处于快班的尾部，获奖的几率几乎为零，因而努力学习的动力也非常低。

命题1极好地捕捉了现实中很多学生(以及企业员工在升职竞赛中)“宁为鸡头，不做凤尾”的想法和做法。该命题也很好地解释了现实中常常观测到的分层教学后快班内部出现的“两极分化”现象。为了能更直观地理解命题1，我们对引理1和2的结果进行数值模拟。令n=20(即总共40名学生，每班20名)，作图如图1所示。

图1中，横坐标为学生天赋

，纵坐标为对应的学生成就a(

)。实线代表随机分班的结果，虚线代表按能力分班的结果。从图1中可以看出，按能力分班模式下，低天赋和高天赋的学生取得的成就均高于随机分班，而中等偏上天赋的学生取得的成就反而低于随机分班。这就验证了命题1的结论。

图1 两种模式下学生成就差异

4 全面教学理念下的学校声誉

对校方而言，其所面对的二元决策问题是：根据学生在不同分班模式下的表现，比较两种机制下自身所获期望声誉的大小，以期决定采取何种分班机制。在这一部分，我们考察当学校持有全面教学理念时的情况，即校方同等重视每一名学生所取得的成就。这也是现实中普遍观测到的情形。以高考为例，很多中学通常以展示高考平均分来体现学校实力。

此时，学校的期望声誉取决于所有学生成就之和。(11)将学校期望声誉记为A，则有：

下面分别讨论随机分班与按能力分班下，学校期望声誉的大小。

4.1 随机分班

此时，学校的期望声誉表示为2n名学生成就加总形式，记为

，数学上表达为：

由于学校采取随机分班机制，每班内的学生天赋分布没有改变，仍为F(θ)～U[δ，1]，因此，概率密度函数为f(θ)=1/(1-δ)=1。

应用引理1，

可进一步改写为：

定理1 当学校持有全面教学理念时，随机分班模式下学校所取得的期望声誉为：

=2M(n-1)/[c(n+1)] (10)

可以看到，学校声誉

是关于人数n和奖学金额度M的单调增函数和成本函数系数c的单调减函数。换言之，学校学生越多、奖学金越高，学校所获声誉越大；学生努力取得的边际回报越低，学校所获声誉越小。这是和直观理解一致的。不过，如果将考虑学生成就之和改为考虑学生的平均成就的话，则随人数n的增加，学生的平均成就递减，这是由于竞争加剧导致获奖几率下降导致的。

4.2 按能力分班

此时，学校的期望声誉由快、慢两班期望声誉之和决定，记为

。记

为慢班学生的期望声誉，

为快班学生的期望声誉，则有：

快班内，每个学生关于其他学生的后验天赋分布信念更新为

(θ)～U[0.5，1]，因此，概率密度函数

(θ)=1/(1-0.5)=2。

命题2 对于一个持有全面教学理念的学校，随机分班相对于按能力分班而言总是更好的选择。

持有全面教学理念的学校教学管理部门在制定分班策略时，面临的权衡取舍是：相对于随机分班而言，按能力分班在增加低天赋和高天赋同学成就的同时，降低了中等天赋学生的成就。权衡的结果是，随机分班而非按能力分班才是最大化校方期望声誉的选择。

5 培优教学理念下的学校声誉

实际中，学校声誉可能不取决于学生成就总和(或平均成就)，而取决于“尖子生”或“优秀生”的成就，这也就是通常所说的培优教学。依旧以高考为例，中学通常以出现“高考状元”或“竞赛获奖”来体现学校实力。此时，学校的期望声誉可以表示为：

命题3 对于一个持有培优教学理念的学校，按能力分班优于随机分班。

值得注意的是，当班级人数趋近无穷时，两种模式下第一名成就趋同。

对于快班的第一名，按能力分班将使其处于一个更具有竞争力的环境中(快班)，周围学生天赋的整体提高将激励其更加努力，因而获得更大的成就。而在培优教学理念下，学校的期望声誉仅仅取决于最好的学生，因此按能力分班对校方而言是更有利的分班模式。现实中，很多学校采取的是按能力分班这一模式，我们推测这是由于学校教学管理者持有培优教学理念并通过长期的教学实践达成了共识。

6 扩展和进一步讨论

在上述基本模型中，我们假定了学校的目标是最大化学生成就之和，或者最大化最高成就学生的成就。同时，我们只考虑了分班数为两个班，并假定各班奖金数相同。此外，我们的一个关键假设是学生能力服从均匀分布。以下尝试对上述假设进行扩展或放松。

6.1 学校最大化学生努力之和

在文章第4部分讨论了全面教学理念下的学校声誉，在那里，我们将最大化学生成就之和作为学校的目标。相比于所有学生的成就之和，努力之和更能够刻画学生总体的付出水平。如果认为更多的努力能为学生(或社会)带来长期收益，那么最大化努力就是全面教学理念下学校另一个值得追求的目标。

记所有学生努力程度之和为E，则有：

命题4 按能力分班时全体学生的努力之和大于随机分班。且当班级人数趋于无穷时，两种模式下努力程度之和趋同。

命题4的详细证明略。

6.2 奖金分配不均等

在本文的模型部分，我们假定学生努力学习的动机是奖学金。而实际中，M可以代表学校对班级的资源配置。设学校总资源为2M，在随机分班下，每个班仍然得到M，但现在假定在按能力分班下，其配置方式为(

，

)，即快班得到奖金

，慢班得到奖金

，满足

＞

。这反映了在现实中，学校实行分层教学时，资源配置往往向快班倾斜。

根据引理1和引理2可知，图1所示结果将进行相应调整为图2，快班学生的成就将整体上升，慢班学生的成就将整体下降。这就支持了Oakes(1985)和Argys(1996)等通过实证检验所得出的，分层教学总体上有利于快班而不利于慢班的结论；也解释了我们通常所观测到的分层教学后快班享受优质师资从而成就上升(慢班与此相反)的现象。对持有培优教学理念的学校而言，不难证明，将资源配置向快班倾斜显然是更优选择。有意思的是，对持有全面教学理念的学校，当资源配置较大程度向快班倾斜时，学校所获声誉也变得更大，甚至可能使得按能力分班优于随机分班(证明略)。

图2 资源不平等时两种模式下学生成就差异

6.3 分班数增加

本文探讨了学校将学生分为两个班级(平行班或“快班”、“慢班”)时的情况，以使在模型分析和揭示经济学意义方面更为简洁和直观。此处，我们考虑将理论框架扩展至更多层次的分层教学。假设入学新生总数为Kn，学校将其分为K个班每班n人，这样前文的分析就是K=2时的特殊情形。按能力分班时，学校将学生按能力由高到低分为K层，依次为第1层、第2层……第K层。为了直观分析，我们讨论分为三层的情况，即将3n名学生依次分入快、中、慢三个班，此时学生成就的求解方式和前文完全一致，直观作图如图3所示。

在更细化的分层教学中，按能力分班模式下，处于第k-1层尾部的学生，获奖概率下降、努力学习的动力非常低，因而获得的成就甚至低于第k层高分段的学生。可以看出，更细化的分层中，结论与文中的基础模型类似。学生“宁为鸡头，不做凤尾”的规律依然存在，且“两极分化”现象依旧延续。对于校方而言，持有全面教学理念的学校依然应当选择随机分班；而持有培优教学理念的学校也应当坚持随机分班的模式。这也说明我们的模型有一定程度的适用性。(所有计算和证明略)

图3 K=3时两种模式下学生成就差异

6.4 分层教学带来的其他外部性

本文考虑的竞赛模型刻画了学生之间的一种相互影响(即外部性)，即在同一班级内，相对努力程度更大因而取得更好成就的学生将获得更大的好处。分层教学还有可能带来其他的学生之间的相互影响。一种可能的影响是分入快班和慢班的同学相互之间的比较。例如，分入快班的同学可能因为相对优越感而更加自信，带来学习成就的提高，而分入慢班的同学恰好相反。这将使得在培优教育理念下，按能力分班更加合意。而在全面教育理念下的影响则不确定。图形表示类似于图2。

另一种可能的外部性是同一班级内其他同学的成就可能直接影响自身的成就。和成就较高同学在一起，即使自身努力程度不变，可以通过互相模仿和交流获得更好的成就。我们可以将成就函数修改为：

，其中

表示在同一班级内其他同学的平均成就，b≥0为常数。当n→∞时，

→

，即全体同学的平均成就，这样每个同学的相对成就依然只取决于

。用该相对成就替代原来的“绝对”成就，本文的分析过程完全适用。特别的，学生的努力程度不受该假设改变的影响。学生的“绝对”平均成就可以根据等式：

，即学生的绝对平均成就趋向于学生的相对平均成就。在我们的模型中，由于快班的平均成就高于“慢班”(文中表示为

，则相对于不存在这一外部性的情形(b=0)，快班同学的成就增长将高于慢班同学。同时，快班同学的成就增长也高于在随机分班下每个同学的成就增长(文中表示为

。这就使得在培优教育理念下，按能力分班更为合意。而在全面教育理念下的影响仍是不确定。

6.5 学生天赋分布一般化

6.6 其他可能的扩展

在本文的假设中，为了简化分析，我们设立了单一奖项奖励给学生，并假设成本函数是线性的。而Moldovanu and Sela(2001)的研究成果表明，在成本函数是线性函数或是凹函数时，单一奖项能够最大化机制设计者的目标函数(在本文中对应全面教学理念下的学校声誉)；而当成本函数是凸函数时，将多个奖项顺序奖励给排名最高的参与者可以达到更好的效果。考虑到学习的过程可能具有的边际成本递增的性质，校方设立更多的奖励颁发给学生是最大化全面教学理念下学校声誉的另一条可行路径。但对于多个奖励的分析非常复杂，留待以后的研究专门探讨。

此外，本文的分析还忽视了许多现实因素，如学生互助、成就取得的不确定性等。

7 结论与含义

分层教学历来是教育学界探讨的热点话题，本文尝试运用竞赛模型对其进行规范分析。在模型中，我们考察了随机分班与按能力分班对学生个体成就和学校整体声誉两个层面的影响，并对学校分层教学的绩效作出了评估。

我们的分析表明，由于学生间的相互竞争，按能力分班有助于促进低天赋和高天赋学生的学习，但对中等天赋学生的学习有负面的影响。我们的结果说明，就每个学生的成就而言，随机分班和按能力分班两种机制中不存在完全占优的一方，将随机分班改为按能力分班并不是学生成就的帕累托改进。

此外，我们还证明，学校选取分班模式时需要权衡不同学生成就的变化所带来的影响：当学校目标是全面教学，即注重所有学生的成就时，随机分班是一个比分层教学更为有效的选择，但分层教学的确有利于最大化整体学生的努力；而当学校目标是培优教学，即只看重优秀生的成就时，分层教学对校方而言总是更好的选择。

本文的分析在一定程度上支持了国家现有政策中在义务教育阶段不宜实行分层教学，而在非义务教育(包括高中和大学)阶段可以实行分层教学的相关规定。因为义务教育的主要目的是教育的普及，考虑所有学生的成就应为首要目的。而更高层级教育的目的更多在于培养拔尖人才，则应考虑对不同学生采用不同的培养方法。此外，本文的分析对于诸如体育竞赛分级制度、企业内部员工分组考核机制建立等非教育领域的“竞赛”机制设计问题也有参考价值。

本文的局限性在于仅考虑了两种教学理念(全面和培优理念)下，针对两种分班方式(随机和分层)的比较。就这两种分班方式而言，正如本文所述，不存在一种使全部学生成就提高的分班方式，那么究竟是培优理念还是全面理念更好地平衡了效率与公平，还是存在其他更好的目标函数，尚值得进一步研究。此外，我们的分析还可以扩展到包括更多的分班方式，和考虑在给定分班方式下更多参数的影响等问题上。例如，可以在未来考虑在两种理念、两种机制下最优的分班数的决定因素。

本文的最大贡献在于为分层教学这一话题提供了一个经济学的理论分析框架，使得这一问题的规范研究成为了可能。相信在这一框架内，如我们在扩展部分所初步讨论的，对于不同方向进行细化和拓展都可能得到更为丰富并具有现实意义的结论。教育话题涉及千家万户、影响深远。如何更好地借助经济理论对其进行深入研究和分析，为全体学生造福祉，是需要我们持续关注的重要课题。

感谢李建培老师对本研究的启发，感谢匿名审稿人的宝贵意见和建议。

注释：

①需要说明，分层教学(ability-based grouping)有别于西方教育系统中常见的分轨制(tracking)。前者指学校按照一定能力指标(如入学成绩)将学生分班；后者指学生在接受初等教育之后，选择接受学术化教育(academic track)或职业化教育(vocational track)。分轨制问题不属于本文讨论的范围。有关分轨制的探讨请参见Alexander and McDill(1976)以及Gamoran(1987)等人的研究。

②例如，大量民间机构以高考成绩(平均分、最高分及重点大学升学率等指标)为参照对中学进行综合排名。

③“锦标赛”这一称谓最早缘于体育赛事。在比赛中获得最好成绩的选手赢得锦制的标旗，因此这类比赛被称为锦标赛。

④与企业内部员工晋升或体育赛事比较，学生之间的竞争也有重要区别。特别的，学生最终的奖励(例如高考的名次)和他(她)在某一个小团体中的相对表现并无直接关系。不过，考虑到学生学习的激励仍然与其所处的小团体存在很大的关系，我们的模型分析仍然有现实意义。

⑤一个例外是Lazear(2001)。作者假定学生的不良表现会扰乱课堂，因而给班内其余学生带来负外部性，分析认为总的教育产出(即平均的不受干扰的教育时间)在按能力分班时为最大，这里假定了低能力学生更倾向于扰乱课堂。

⑥如Spence(1973)劳动力市场模型所述，天赋和能力是无法准确观测的。因而在计量经济学中，学者通常以成绩当作学生天赋的代理变量(proxy variable)，如伍德里奇在《计量经济学导论》一书中写道“由于观测不到能力这个变量，我们不知道如何估计它，也不知道如何解释。在预测工资的方程时，一种可能性就是用智商或者IQ作为能力变量的一个代理变量。这并不要求IQ就等同于能力，只需要IQ与能力相关。”进一步地，McKinley and Neumark(1992)，Herrnstein and Murray(1994)等均以IQ测试的成绩作为能力和天赋的代理变量。事实上，分班的确是依据入学考试的成绩，这也为我们的假设提供了有力的现实依据。

⑦我们也尝试了成本函数为凸的情形。此时涉及快班成就的部分无法得到解析解，而数值解显示出的结论与线性成本函数时一致，因而我们在文章中选用线性成本函数以使表述更为清晰。

⑧假定学生天赋服从均匀分布对于求出模型的解析解提供了便利。特别的，当假定学生天赋服从均匀分布时，无论是随机分班还是按能力分班，班内学生的天赋分布仍然都是均匀分布的。此外，注意到由于学生天赋这一变量在现实中并无统一的测量方法，可以说任何测度方法的正单调变换都可以作为天赋的测度，因此天赋的分布函数不是唯一的，而且和成就函数α(θ)的设定是不可分的。另一个问题是，由于国内不同中学学生的分层现象比较严重，即使我们知道了学生天赋的总体分布，也难以判断各个中学内学生天赋是如何分布的。在无法比较不同分布的现实和理论合理性的前提下，假定均匀分布是我们分析的一个方便的起点，我们将在文章第6部分讨论分布一般化的影响。

⑨这里我们集中研究成就(以及努力)与天赋正相关的对称均衡，求解过程将证明其存在性。但这一均衡是否为唯一均衡则没有定论。在不完全信息、参赛者独立且仅有2人时，Amann and Leinigner(1996)已证明努力为天赋的增函数，同时均衡存在且唯一。在不完全信息、参赛者人数多于2人的情况下，往往不能排除多重均衡存在的可能性。因此，文献一般都直接假设努力为天赋的增函数，从而可以由此推导出对应均衡，如Krishna and Morgan(1997)(参赛者完全对称但不独立)，Fibich et al.(2006)(参赛者完全对称独立但厌恶风险)，Parreiras and Rubinchik(2010)(参赛者完全独立但异质)等。本文的分析框架为不完全信息、参赛者完全对称、独立且多于2人。

⑩之所以需要这样假设，是因为人数是离散的。当人数趋近于无穷时，才完全符合该分布。