高水平数学思维评价的再思考，本文主要内容关键词为：思维论文,评价论文,数学论文,高水平论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
笔者曾经在拙文《关于评价高水平数学思维的思考》（《基础教育课程》2010年第3期）中沿着评价和教学两条线索讨论了考查学生高水平数学思维的“试题内容特征”、“试题水平特征”、“命题立意特征”以及与“培养学生高水平数学思维的教学的关系”等几个话题。在随后的一段时间里，笔者继续对这个问题做了进一步的思考。这其中，关于此主题的一次调查结果给了我们较大的触动，并直接导致了此文的产生。
一、教师对高水平数学思维理解和评价中存在的问题
我们一直认为，在影响学生高水平数学思维形成的各种因素中，学生所经历的数学教学活动过程是一个核心要素，而这一要素所产生的影响也与教师本人对高水平数学思维的认识密切相关。为此，我们在2010年9月对南京市主城区的441名初中数学教师做了一次问卷调查。问卷设计的基本思路是：以南京市2010年中考数学试卷为参照素材，了解教师对学生从事高水平数学思维活动中的核心能力成分的认识。之所以选择“以中考数学试卷为参照素材”，是因为教师们对此都有比较深入的思考；而从对“能力成分”的认识入手，则更多地考虑到教师无论是“有心”或是“无意”地培养学生的数学高水平思维，大多是从对“数学能力”的培养入手。当然，“数学能力”本身也是一个刻画个体高水平数学思维的重要指标。
本次调查共发放问卷441份，回收问卷411份，其中有效问卷372份，有效率达到84.4%；调查所得数据具有代表性。问卷中与主题密切相关的问题包括：对学生应具备的主要数学能力及其重要性的认识，对考查相应数学能力的试题的认识，等等。
通过采用SPSS16.0 for Windows统计软件中频数分布分析的方法，对372份有效问卷中的数据进行了录入、处理和分析，得到下面所示的频率表。
图1 教师对高水平数学思维中能力要素的看法
观察图1，我们不难发现许多令人欣慰的结果：
(1)“推理能力”、“提出问题与分析解决问题能力”、“探究能力”、“概括能力”等诸多与从事创造性活动相关的重要能力要素为多数教师所看重，分别有79.2%、65.5%、55.3%、50.9%的教师表达了对它们的认同感。这些重要的能力无疑是学生从事诸如探究、猜想、推理等数学活动时必不可少的高水平思维要素。
(2)多数教师(69.5%)对“数学建模能力”较为看重，这一能力正是运用数学解决问题时所必备的高水平思维成分之一。值得一提的是，在新课程之前人们对它还很陌生，当时一线教师群体中几乎无人提及这个概念，而今天教师对它的高度认同可以说是源于《课程标准》对它的关注，以及教学实践所带来的真实效应。
但从图1中，我们也会读到一些值得深思的问题：
(1)一些重要的、具有典型数学特征的数学能力在多数教师看来相对不太重要，如“空间想象能力”(47.2%)、“数据处理能力”(34.5%)和“抽象能力”(28.6%)，这和我们日常熟悉的对数学的认识很不一致。以“抽象能力”为例：尽管对许多教师而言，“数学是一门抽象性极强的学科，其本质特征之一就是抽象性”是一句耳熟能详的话，而且他们也认同“数学概念大都是现实世界的抽象物，是心灵深处的想象物。不仅数学研究的对象是抽象的，数学知识与方法本身也是抽象的。或者说一切数学模式都是抽象思维的产物。”但事实上，他们内心深处对于抽象性价值的认识，进一步说，对于抽象思维重要性的认识，却并非如我们事前的预想。类似的，“数学是关于数量关系和空间形式的科学”一说，在几乎所有与教师进行的关于“数学是什么”的交流活动中都是“得分最高”的答案，但在调查中最能反映对“数量关系”和“空间形式”把握水平的两大能力要素偏偏被教师所忽略。
(2)运算能力依旧得到了相当大程度的认同(69.3%)。确实，数学离不开运算，但在科学技术极为发达的今天，在人们的教育观念发生着重大变化的新课程时期，在人们对作为教育任务的数学的价值有了重新认识的今天，运算能力还应当被赋予这么高的关注度？
教师们是在什么样的背景下给出了这些看法？这些难以得到合理解释的数据促使我们重新审视“培养具备高水平数学思维的学生”的教学过程中所发生的现象。回顾我们问卷调查之前及之后与教师进行的相关访谈和课堂观察，可以发现一线教师中存在着这样一些普遍现象：
(1)教师们对上述能力的理解与专家的解释差距较大
例如，教师们对抽象能力的理解普遍是“对抽象符号的操作、转化和直接使用的能力”，这实际上仅反映了抽象能力的最表层的行为特征。事实上，数学的抽象性特征表现为对研究对象非本质属性的舍弃和（数学）本质属性的一般化。正如前苏联著名数学家亚历山大洛夫所说：“在几何中，我们通常研究的是直线或曲线，而不是日常使用的直绳或曲绳，并在几何线的概念中舍弃了所有性质，只留下其空间形式和大小的结果。”相应地，抽象能力的核心就是从具体（特殊）对象中剥离其非本质属性，抽取出其（数学）本质属性的能力。
至于运算能力，教师们较为普遍的理解就是运算的准确性与熟练性。这样的理解置于当今数学课程改革理念之下，无疑是偏差较大的。按照《课程标准》的基本定位，由于不同类型运算工具的引入，学生运算能力的高水平更多地表现为对运算法则、运算规律的深刻理解以及依据问题的特征、要求和所具备的运算工具选择合适的算法、从事运算。
(2)片面理解影响相关教学
仍然以抽象能力为例。如上所述，由于许多教师对抽象能力及其发展途径存在着片面理解，所以他们日常的培养学生抽象能力的教学行为就有所偏差。比如，由于认为抽象能力是“对抽象符号的操作、转化和直接使用的能力”，“有实际背景的问题就是浅薄的问题，研究它们无助于学生抽象能力的发展”，所以在教学过程中我们常常见到类似的做法：一方面不断地加大操作抽象符号的实践活动（代数运算与形式化证明），另一方面又不断地“去情境化”——删减知识形成过程中必要的“抽象过程”，试图简单地通过“提高数学活动对象的抽象层次来提高学生的抽象能力”。
实际上，由于初中学生的思维水平正处在从“具体形象思维为主向抽象逻辑思维为主”的重要过渡阶段，教学中更应该重视学生抽象能力的形成，即让他们经历“从具体到抽象”的过程而非“从抽象到抽象”的过程，通过帮助学生了解抽象符号背后丰富而具体的本质内容，以使其适应数学符号的抽象性，更好地理解数学知识与方法。
而直接导致上述认识和实践的主要原因在于对高水平数学思维的评价存在误区。由于众所周知的原因，目前初中教师的课堂教学仍然以考试特别是中考为指挥棒，只要是考试中关注度高的内容，教学过程中就被赋予“教学重点”的地位，占用较多的学时，获得教师较高的关注度。而对这些内容的评价重心更是教学过程中被“反复操练”的对象。
以推理能力为例。多年前，推理能力被等同于数学证明（甚至是几何证明）的能力，对它的考查也就落实在“几何证明试题”上：题目越难（表现为逻辑关系复杂、证明步骤多、条件与结论之间联结隐晦等），对推理能力考查的水平就越高（这样的认识在一些地区的中考试卷中依然有较为明显的表现）。近年来，随着新课程的实施，以及研究过程中人们对推理能力内涵认识的逐渐深化，推理能力“包括合情推理与演绎论证的能力”的看法渐渐得到认同，对推理能力的考查开始“既考查合情推理的能力，也考查演绎论证的能力”。但是，在许多地区的试卷中，考查“推理能力水平”的做法依然存在一些局限或者误区，比如：(1)考查推理能力的试题往往局限于代数或者几何领域；(2)在考查合情推理时，代数题材的试题大多以猜测代数模型的一般表达式为主，而几何题材的试题也大多是猜测图形的性质；(3)考查演绎论证能力的试题仍然基本上是几何证明试题；(4)考查推理能力的试题大多是封闭性试题；(5)相关试题的求解过程往往由比较单一的活动方式完成，缺乏“任务型试题”；(6)用于评价演绎论证水平的试题的评分标准过于关注表述格式的规范性。
二、对高水平数学思维评价的思考
1.关于高水平数学思维的认识
上述的梳理表明：一方面，“高水平数学思维”是数学教学实践中评价和教学关注的核心；另一方面，由于不同群体对“高水平数学思维”的理解差异较大，所以有必要对“高水平数学思维评价”作进一步的讨论。
我们认为：一般而言，一个高水平的数学思维是指那些“不仅仅包含信息的回忆的数学（智力）活动”。显然，它需要对信息做“数学意义上的实质性改变”。类似的，一个用于评价高水平数学思维的问题，其求解不能单纯凭借回忆、模仿就能够完成。
不仅如此，进一步的研究表明，一个具有高水平数学思维特征的活动过程往往与“对数学原理给出自己的解释或案例”、“确定标准，实施分类”、“分析不同表象的事物的特征，概括出更一般的结论”、“从具体现象中抽象出数学意义上的本质特征”、“依据数学原理对现象或命题做评价”、“构造适合于解决问题的数学模型”、“设计产生新问题解的数学程序”等多种数学思维活动相联系。
2.对高水平数学思维评价的相关研究和思考
基于上述认识，对于高水平数学思维的评价，我们的建议是：
(1)对高水平数学思维的评价适宜从对解题者“数学活动过程”的评价入手，而对数学活动过程的评价可以包括数学活动方式、数学思维品质、理解活动对象和相关数学原理的水平、数学活动结果的深刻程度等方面。
(2)用于评价高水平数学思维的试题应至少具备以下特征中的若干：
●试题结构较为丰满，具有明确的背景和含义（或者是现实的，或者是数学的），求解过程涉及不同的数学知识；
●试题的答案具有一定的开放性；
●试题的求解不是仅仅依赖于复制性活动就能够完成；
●试题的求解需要解题者运用到上述数学思维活动方式中的一些；
●试题的求解过程有利于展现解题者对数学的理解、运用自己的数学活动经验等个性化特征；
……
3.高水平数学思维评价的案例与评析
综观2010年各地中考试题，评价高水平数学思维方面的研究与实践出现了一些有一定深度、可操作性较强的亮点。以下是一些具体案例和简要评述。
例1 （青岛卷）
问题再现 现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见。在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题。今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出几个问题，共同来探究。
我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面。如下图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角。
试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着＿＿个正六边形的内角。
问题提出 如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？
问题解决
猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？
分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决。从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点。具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角。
验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角。根据题意，可得方程：
结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌。
猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由。
验证2：
结论2：＿＿。
上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其他可能的组合方案。
问题拓广 请你仿照上面的研究方法，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程。
猜想3：＿＿。
验证3：
结论3：＿＿。
评述：试题以图形镶嵌为问题情境，试图让学生经历发现数学规律的全过程：问题的提出一问题的解决一问题的拓广，使学生在自主探究的过程中既可以完整地经历问题的提出、探究、发现的全过程，又可以充分体验感受从特殊到一般、类比、猜想、拓展等一般性数学方法。
本题要求学生在阅读所给研究方法并理解研究方法实质的基础上，整合条件中的各项因素使其成为能够支撑结论的证据，显然属于SOLO分类评价结构中的关联结构层次水平。而试题最后一问的解法不唯一，也是充分考虑到了学生之间的个体差异。这些处理方式体现出的命题思路是：借助考查学生从事探究性活动的基本能力和对问题的个性化理解来评价其高水平数学思维。
例2 （苏州卷）
刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②。图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6 cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm。图③是刘卫同学所做的一个实验：他将ADEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动。在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）
(1)在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐＿＿。（填“不变”、“变大”或“变小”）
(2)刘卫同学经过进一步的研究，编制了如下问题：
问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行？
问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？
问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°？如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由。
请你分别完成上述三个问题的解答过程
（图①）（图②）（图⑧）
评述：本题以学生的课外活动题材为载体，设计了两个三角形的运动构造问题，试题本身就蕴含着一定的数学活动过程，要求学生观察三角形的连续运动过程，并获取信息、发现结论，获得问题的解。
本题在SOLO分类评价结构中属于关联结构层次水平，虽然题目条件的构成要素是学生十分熟悉的三角板，但是题目的立足点落在要求学生在两个三角形的运动过程中分析三种特殊情形下试题中各项条件要素之间的联系与区别，以及三种特殊情形下研究方法之间的共性与差异，从而选取合适的方法整合题干条件进行有关条件存在性的数学探究活动，表现出通过考查学生对特殊结论的本质性概括水平评价学生高水平数学思维的想法。
例3 （陕西卷）
问题探究
(1)请你在下页图①中做一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；
(2)如图②点M是矩形ABCD内一点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分。
问题解决
(3)如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB，OB=6，CD=4，开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P(4,2)处。为了方便驻区单位，准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分，你认为直线l是否存在？若存在，求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由。
评述：本题以“图形分割”的操作活动为背景，在问题的设置上由特殊四边形（矩形）面积的分割开始，通过设置一些多层次的问题，层层深入，要求学生在理解方案的基础上，仿照上述过程，设计分割较一般四边形（梯形）的方法。学生解答题目需要经历动手操作、观察、思考、归纳、猜想、探究的过程，这使得学生的思维过程在问题的解答中能够充分暴露，体现出通过考查学生对基本数学结论的拓展水平、从事探究活动的基本能力等来评价其数学思维水平的思路。
本题在数学活动的过程中要求学生在理解研究方法实质的基础上，了解该方法中“特殊点户”的几何意义，由此出发对试题中的多种信息有一个整体性的认识与把握，并以此为依据完成剩余问题的探究与验证过程。在试题结构方面，第(1)、(2)问属于多元结构水平，而第(3)问则应属于关联结构层次水平。
例4 （嘉兴卷）
评述：本题围绕数学的一个核心内容——轴对称，设计了由浅入深的3个问题，以问题中所蕴含的“相同点”（如
）和位置“对等”为抓手，考查学生对“对称”这一基本概念的理解与应用水平。随着问题的不断拓展延伸，学生对问题认识的深度也在不断递进，学生研究问题的方法也在逐步提升。最后在第n个正三角形边长计算问题的探究活动中，要求学生能在反思解决前提方法的基础上，通过归纳、类比、逻辑判断等手段，挖掘求解问题的关键条件，从而探索出更为一般的规律，体现出通过考查学生对问题与解法的理解深度，通过重要的数学活动方式等评价其高水平数学思维的思路。
例5 PISA案例
PISA试题大多借助对学生应用数学解决问题过程的考查，评价学生的数学素养状况。其试题十分关注学生在活动过程中所产生的个性化的创造性表现，因而试题答案均没有绝对的标准，评价标准具有多元性。试题中所设计的活动过程与结果也具有很强的开放性。
PISA测试一般会呈现一系列综合性的复杂的任务、问题或情境让学生完成，鼓励学生面对复杂问题，思考重点步骤，从问题情境中识别、抽象出数学问题，形成自己的方法、策略，给出一个完整的设计方案，得出自己的结论或提供论据给予证明，由此测试者能够通过学生在完成一系列任务中的思维活动表现来确定其数学思维水平。
例题 很多科学家都担忧大气层中
气体水平的增加正在引致气候的转变。
下页图所示为几个国家（或地区）在1990年的排放量和1998年的排放量，以及在1990年和1998年之间气体排放量改变程度的百分比。
(1)图中可见，美国1990年到1998年的排放量增加了11%，请写出这个结果是怎么得到的。
(2)Mandy分析图表后，声称她在排放量改变程度百分比的变化中发现了一个错误：“德国减少的百分比(16%)大于整个欧盟减少的百分比(4%)，这是不可能的，因为德国是欧盟的一部分。”你同意Mandy的观点吗？请提供一个解释来说明你的答案。
(3)Mandy和Niels讨论哪个国家（或地区）排放量的增加最多，他们根据图表的资料，各自得出不同的结论。请列出两个有可能“正确”的答案，并分别解释你是如何得到这些答案的。
评分标准：
(1)满分：减法正确，并且正确地计算出百分比。
部分分数：减法错误但计算百分比的方法正确，或减法正确但是计算百分比时却除以6727。
零分：①其他答案，包括只答“是”或“否”。②没有作答。
(2)满分：不同意，并附有正确的论据。
不同意，欧盟的其他国家可以有增加，例如荷兰，所以欧盟的百分比减少总计可以少于德国。
零分：①其他答案。②没有作答。
(3)满分：答案兼具数学的推论（最大的绝对增加及最大的相对增加），及列出美国和澳大利亚。
部分分数：答案提及或指出最大的绝对增加及最大的相对增加量，但没有提及国家名称，或列出错误的国家。
俄罗斯的排放数量有最大的增幅（1078吨），但澳大利亚在百分比上亦有最大的增幅(15%)。
零分：①其他答案。②没有作答。
评述：此题设置了一个实际的问题情境，让学生自发地参与到解决问题的数学活动中来，通过尝试、操作、探索、质疑、解释等一系列数学活动，真实而全面地还原学生的解决问题过程；通过对学生活动过程与结果的全面考查，有效地评价学生的数学能力水平。试题的评分标准也突出体现了PISA对数学过程性目标达成情况的关注。每道题目的得分都由方法分和答案分两部分构成，只要学生解决问题的方法正确，就可以得到相应的方法分，不会因为某一个答案上的疏忽受到严重的惩罚。而如果只给出答案没有过程，那么将只能得到答案分而得不到方法分。这种评分处理方式，强调了试题解决的过程与方法，能够提高试题对学生数学活动水平的考查效度，也能够使得通过学生的解答过程推测学生活动水平的过程更加客观与公正。
怎样有效地评价初中学生的高水平数学思维，是一个在世界范围内为众多数学教育工作者关注的热门话题。在中国，数学考试、特别是高利害的数学考试一直受到过高的关注，它对数学教学的影响是巨大的，而“高水平数学思维”评价在相关的高利害数学考试中又是极重要的一环，因此对它的研究应当是迫在眉睫的任务。但先前的几个案例又给了我们不少的信心：国内基于实践的研究正在进行。或许，我们目前最关心的不是有没有人开展相关研究，而是能否以更宽的视野、更多的视角、集合更多领域的学者开展研究，毕竟这是一个综合了数学、教育学、心理学、人才学和考试学的跨领域课题，一切重大突破一定来自于综合性团队的集体攻关。
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