数学美在中国的源头，本文主要内容关键词为：中国论文,源头论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学作为一门有组织的、独立的、理性的学科来说，形成于公元前六世纪至公元前三世纪的古希腊时代。但在更早期的一些古代文明国家，如中国、埃及、印度和巴比伦等，数学已有了开端和萌芽。我们称公元前六世纪以前的这个时期的数学为早期数学，而人类在早期数学中，就已经发现一种朦胧而神秘的数学美了，这是为考古学家和数学史家的大量发现和研究成果所证明了的。同样，人类关于数学美的观念，对于数学美的感受、追求、探索以及研究也早在遥远的古代就开始了。拙文①阐述了数学美的含义以及古希腊学者对于数学美的探索情况和有关研究成果，本文试图探寻数学美在中国的源头。
一、太极八卦──中国象数学的美
作为世界四大文明古国之一的中国，在古代对于数学美的感受与体验，一直可追溯到公元前十一世纪的殷末周初时期。中国远古知识的玄奥，莫过于“天神”伏羲氏所创造的太极八卦图的传说，该图说明中华民族的文明智慧是何等深邃、广博。它用宏博的哲理启迪人类的智慧，用数理的逻辑展示我国早期数学中的辩证的美和美的辩证。
太极图的发明充分说明了我国古代先民对于圆形所呈现的美有着自己独特的认识。古希腊的毕达哥斯之所以认为“一切平面图形中最美的是圆形”②，其主要原因是由于圆有着无数条对称轴，显示出一种绝对的对称与和谐。中国的太极图表示出了阴与阳的运动性质，如图(1)中黑色的阴和白色的阳也呈现出一种对称，但这种对称不是以平直单调的直径作为对称轴，而是以一条S形曲线将大圆均分成两半。这一奇妙的分割产生许多意想不到的美的效果：它使得这个阴与阳之间的对称不是静止的，而是若即若离、似合非合，彼此渗透、相互补充，暗示着无休止的强有力的运动，并可通过这个具有动态美的几何图形对事物进行抽象，给出宇宙万物对立统一运动的形象模式，告诉我们宇宙美的一种简单美妙的组合方式，但又没有具体指出它们的确切涵义，只道出了一个“互补性之谜。”其内含寓意的深刻，令人赞叹不已。时至今日，太极图仍体现着古代东方智慧与现代西方科学之间的一种深刻的协调性。丹麦物理学家波尔(Bohr)在向亚原子世界进行探索时，发现用经典方式不能解释，因为光既是“粒子”又是“波”。“粒子”是物质，颗粒只限于很小的地方，而“波”却向四下传播，是连续性的。这种互不相容的方式为什么又能统一在光的身上？矛盾的现象令科学家困惑。波尔把粒子和波看成两幅图象，同时又看成是同一实体的互补。这种互补性概念已成为当今物理学家思考问题的重要组成部分。1937年，波尔访问中国时惊奇地发现，中国在2500年前就确立了与他相同的观点。回国后，丹麦政府因波尔的成就而让他自选一种花纹作盾形纹章，他选择了中国的太极图，并加上了“对立即互补”的铭文，这无疑更增添了太极图的神秘之美。
图(1)
“周易”经后世史学家考证，大约出于公元前十一世纪左右，这是一部具有很强的科学现实性和实用性的古典，是世界公认的第一部讨论排列组合的著作，可以说是中国象数学的起源。从有关材料来看，作为“周易”核心的八卦出现的时间更早。《易系辞传》云：“古者包羲氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地，……于是始作八卦，以通神明之德，以类万物之情”③。其主要含义是：伏羲氏观察天地自然的变化，从而创作八卦，以把握宇宙的规律。从数学角度看，八卦是世界上最早的二进制码，“是故《易》生太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”④这就是二进制，其中“极、仪、象、卦”和十进制中的“个、十、百、千”一样可以看作进位制的“权”。八卦仅用两种基本符号： 
。其中乾、震、艮、坎因是奇数划而属阳，坤、离、兑、巽因是偶数划而属阴。它们分别对应自然界中最主要的八种事物：天、地、雷、山、火、水、泽和风。
美学告诉我们：“广义地说，形式美是美的事物的外在形式所具有的相对独立的审美特性，因而形式美表现为具体的美的形式。狭义地说，形式美是指构成事物外形的物质材料的自然属性（色、形、声）以及它们的组合规律（如整齐、比例、对称、均衡、反复、节奏、多样的统一等）所呈现出来的审美特性”。⑤可见，人们在对美的形式的把握中，很讲究整齐与反复的美，对称与均衡的美，对比与比例的美。这是因为，整齐的排列能诱发人们产生端正、轩敞的感觉；反复的构形能唤起人们产生无限进取的意趣；对称的展现能增强人们的平静与稳定感；均衡的安排能引起人们产生协调而不失偏颇的感觉；对比的手法往往能造成一种对立而统一的美，使人们的辩识能力得以开启；比例的运用能调整人们对美的不同需求。八卦图如图(2)所示，我们从八卦的外形和它外形的组合方式可窥测到中国古代的象数学的美。整个八卦图呈现一个规则的正八边形，结构和谐对称、寓意深刻。以数字“9”作为中心点，向外作放射状依次定出八个卦，形成一个正八边形套，给人以齐整、对称、均衡等美感。
图(2)
我们古代先人在设计六十四重卦的草图时，虽然契合了排列组合的公式，但并非纯粹依靠抽象的运算，而是遵循可以体察到的符号逻辑，用草绘的单卦图像步步组合而拼排出六十四个重卦的。具体绘制者本无刻意求美之心，但美的信息却随着排列组合的运筹与符号逻辑的构筑而自然地显露出来，最终得到六个爻的组合个数共为六十四卦，使“两仪”所生的恰好是“四象”，显示出一种美的形式的和谐规范。
可以说，八卦包含了极为深刻的数学原理，它与现代数学中的集合论、布尔代数、群论、概率论等都有联系，其包含的数学内容之丰富，几乎涉及现在大学数学系所有离散数学的全部课程。在今天，面对大学讲授集合论、概率论、群论、数论、图论等课程时，八卦都不失为一个深刻而有趣的例子。
二、河图洛书──数学形式美的雏形
《周易》上曾提出一种包含数学知识来源于神的说法，原文是：“河出图，洛出书，圣人则之。”⑥其大意是：在伏羲氏时代，从黄河里跳出一匹龙马，背着一幅图，这幅图隐含了很多天机，被称为“河图”，如图(3)。又在大禹治水时，洛水出现一只大乌龟，也背着一本包含治理国家的书，被称为“洛书”，如图(4)。这图和书是圣人一切知识的源泉。闻一多先生曾热情地讴歌道：“……告诉我那智慧来得离奇，说是河马献来的礼，还告诉我这歌声的节奏，原是九苞凤凰的传授……”⑦。
我们撇开神话的色彩，其实河图是由一到十的十个自然数的环形排列图，是把1、3、5、7、9、五个奇数和2、4、6、8、10五个偶数按照水（北）、火（南）、木（东）、金（西）、土（中）五行方位排列而成的数字圈。其构图本身就呈现出一种整齐美。河图代表着华夏先哲对数的性质和运算的初步认识，显示出加减法的运算，奇偶数的区别以及数量的十进位扩展。而“洛书”对数的结构作了巧妙的再安排，仅用一到九的九个自然数排列成一个正方形，构成每一行、每一列以及两条对角线上三个数的和都是十五。显然，“洛书”是“河图”的精简与升华，由“河图”到“洛书”标志着中华民族古代数学文化的飞跃和成熟，是中国的数学、数学美之源。
中国古代数学家将“洛书”发展为九宫算及纵横图；西方古代数学家将“洛书”发展为幻方，如图(5)。并以洛书三阶幻方为基础，使阶数不断增高，幻方的结构也随之越来越幻。直至今日，有人仍在研究幻方形成的理论和方法，“洛书”也由此一直被视为大众数学或游戏数学。如果认为“洛书”所呈现的美不过是数学大厦中无足轻重的点缀小花，这着实贬低了“洛书”的价值。
图(5)
图(6)
探究“洛书”的深层意蕴，其奇妙结构和演算变化建立了它独特的数学形象和模式，并为中外数学家开创了位置分析、数学几何与组合分析的先河。“洛书”中显现出一种数学形式美的雏形，九个数学之间奇偶相异，给人以整齐划一、均衡对称之感。具体地说，如果在数字结构上“洛书”是一个“幻方”，那末在几何图形方面我们可以看出它具有正方形的对称性，如图(6)。由图中可知，正方形ABCD相对于以O为中心，且以90°为倍数的角度旋转时总是对称的；另外它相对于对角线AC、BD和垂直线KL、MN也是对称的。这样共得到八个对称度。基于数字间的对称分布和均衡关系，从洛书图阵中还可以作出很多优美的几何图形，如
字形和风车形等。
洛书之所以成为数学形式美的雏形，有三个要素：其一是它由一到九的九个自然数作为构成元；其二是它由三行三列及两对角线的八个三元数所组成的正规方阵；其三是它的每个三元数的三元之和都是十五。而洛书的这三个要素又由其构成元的特殊排列及组合所致。根据排列组合原理，将九个不同的数排列到九个不同位置，所能生成的不同形式可高达9!=9×8×7×6×5×4×3×2×1=362880个。如何由如此巨大的可能组合中选定出“洛书”幻方，自然为一充满着数字神秘美的问题。解决此问题的关键在于能够将“洛书”的可能排列作成一个集，再按照对称操作所形成的群，定出依照其幻性高低所分出的种类。大家知道，自然界事物的产生是由概率决定的，由此推得，“洛书”的形成是由九个基本自然数的排列和组合的概率所致。设想将此九个自然数分别写在九个相同的筹码上，放入袋内，每次抽出一数，不再放回，连抽三次，即组成第一个三元数；类此，可抽得第二、第三个三元数。在所有三元数中，三元和的最低值必为1+2+3=6，最高值必为7+8+9=24，平均值自然为(6+24)÷2=15。再者，每个三元数都有六个不同的组合，例如789、798、879、897、978、987。古代人正地根据这种排列组合的数学原理，才得出了“洛书”。
换一个角度看，“洛书”是以代数的方式来论述几何的问题，即“洛书”是运用由一到九的九个基本自然数的代数运算方法，试图展示出空间几何结构由0到360°度的奇妙变化。因此，当你将“洛书”看成一个三阶矩阵时，其中三个三元数就表示三个三维矢量，“洛书”就变成了一个矢量空间，这时“洛书”的三阶行列式之值就是所成几何形体的体积。
在自然界中，我们可将任何一种均质现象的连续集合看成一个空间。在数学上，我们常采用自然数列作为建立诸如可数性、基数性、一一以应性等基本数学概念的基础。而“洛书”正好是一个由最基本的自然数构成的三维空间，它由三个独立的基群（坐标系）构成，由自然数本身所具有的、内在的、解析的、不证自明的公理来阐明，因而它可代表一切感性认识中最简洁、最优先的一种数字集合，是一个客观存在的且又可被人们的感官所觉察的并带有理性美色彩的空间。正因如此，“洛书”才被誉为地球文明的最简洁的代码之一，入选为向宇宙深处寻找“外星人”的首批书信的内容。
三、中算理论──最美妙的发明
中算理论泛指我国古代以计算为中心的系统理论，这种理论的发展与形成源出于中国数学思想的鼻祖“周易”，它注重数的来源，从而使得中国数学注重实际应用。中算理论的典型代表作为《九章算术》，它被视为我国数学方面流传至今最早的一部杰出数学典籍，是世界数学史上极为珍贵的古典文献。这部著作对于后世影响巨大，不但在数学教育方面是一部重要、典型的数学教科书，而且在数学写作方面也成为数学家著书立说的典范。
我国学者李俨认为：“原始的《九章算术》至少是和《周髀算经》同时，即公元前100年前后的作品。”⑧。它总结了秦汉以前我国在数学领域的辉煌成就，开创了独具一格的计算理论体系，对国内外数学的发展产生过十分深远的影响。在日本，有关“九章算术”的版本不下十种，并在考试规则中明文规定：“凡算学生，辩明数理，然后为通。试九全通为甲，通六为乙，若落《九章》，虽通六犹为不第”⑨，倍受重视，占有极高的地位。日本数学史家小仓井之助评价说：“《九章算术》是中国的基本数学书，其中包含着优美的方法。如果同希腊数学进行一番比较的话，几何与数论虽然不如希腊，可是我确信算术和代数则凌驾于希腊之上”⑩。他还认为“九章算术”直到清朝末年都是中国数学代表性的古典，恰如“中国的欧几里得。”(11)
小仓井之助的精辟论述诱发我们有必要将“九章算术”与“几何原本”作一番比较，从中发掘其美的因素。大家知道，“九章算术”共九章，包括246道题，并按问题的性质和解法分为九大类，每大类为一章，依次为“方田”、“粟米”、“衰分”、“少广”、“商功”、“均输”、“盈不足”和“勾股。”每一大类又分为几个小类，每一小类都有一般性的解题步骤，这种步骤相当于现代数学中的公式。所有步骤都着眼于算法，在排列上合乎由简到繁的顺序。每道题都给出答案，一般都没有具体计算过程和演草（因为当时用筹算，演草不好保留），都可套用解题步骤求得解答。这种做法恰可比作现代电子计算机计算中的程序设计，是一种软件思想，筹算相应地可以作为“硬件”。可见，“九章算术”的全部理论是以寻求各种应用性问题的普遍解法为中心课题的，具有浓厚的“应用数学”色彩。“几何原本”的结构与“九章算术”不同，全书共十三卷，由两部分构成。第一部分为“界说”（定义）36条，“求作”（作图公法）4条和“公论”（公理和公设）19条，是全书的推理基础；第二部分为题，是每一卷的主要部分，每道题相当于一条定理，题下有解（题设和题断）和“论”（证明）。全书的主导思想是通过逻辑推理把整个内容贯穿起来，基本上形成一个完善而严谨的逻辑演绎系统。因此，两书在结构、内容等方面完全相异：“九章算术”注重实际应用，有一套规格化的计算程式，主要是计算，不讲究证明，呈现代数形态；“几何原本”注重理论完善，有一套逻辑化的演释程式，主要是证明，不讲究计算，呈现几何形态。“九章算术”之长为“几何原本”所短，“几何原本”之长为“九章算术”所短，各体现了东、西方数学之特色。由此可知，“九章算术”与“几何原本”在整个数学领域中产生出了一种互补效应，两个迥然不同的理论体系的有机结合使数学真正成为一个完美和谐的整体，缺少其中一个，都会使这种协调的和谐性遭到破坏。
纵览“九章算术”全书二百四十六问，无一不是最终由演算来解决问题的。中国古代算家善于从错综复杂的数学现象中抽象出深刻的数学概念，提炼出一般的数学计算原理，再从非常简单的基本原理出发解决重大的关键理论问题。“率”的概念成为运算理论的统一基础；“出入相补原理”作为论证的普遍方法和运算理论的源泉；“幂势既同则积不容异”的原理成了求积理论的重要依据。这些成果说明古代数学家具有卓越的理论创造能力和实际运算能力，即使是几何内容也表现为与图形有关的数量的计算。计算的确是中国古代数学之擅长，应用广泛的十进制记数法为我国之首创。这被马克思誉为“最美妙的发明”加上形象的算筹工具的使用，无疑使我国古代的算学成为一种精湛的技艺操作和一项高尚的艺术活动，使计算技术在世界居于遥遥领先的地位。
“九章算术”由于内容的丰富多彩、论述的简洁扼要、数形的密切结合、计算的奇特巧妙和应用的广泛普遍而雄踞数学界1600余年。特别是三国时期魏国的刘微为“九章算术”作注，更使这部经典著作散射出美的光芒。例如，第九章中，关于“勾股定理”的证法依据了动态的出入相补原理。虽原证不传，但参照遗留至今的赵爽残图可以看出他的弦图是对勾股定理的最简捷、最直观的证明。该图具有很强的对称性，以静态的中心对称为基调形成一个正方形套，伴随着90°角的转动对称，颇能引起观者的审美注意，极易想到运用旋转法，使问题的证明显得轻快、简洁、优美。相对而言，这个定理在“几何原本”中的论证方法就显得累赘而不简洁。
刘微十分重视运用大量图形、模型等形象性的直观方法去阐述数学问题，并辅之以色彩。他在处理著名的“勾股容圆”问题时，采用了非常漂亮的直观方法。问题说的是：“今有勾八步，股十五步。问勾中容圆，径几何？答曰：六步。术曰：八步为勾，十五步为股，为之求弦。三位并之为法，以勾乘股，倍之为实。实如法得径一步。”他先把图形画在纸上，把各个部分涂上不同颜色，再剪裁成小纸片，“令颠倒相补，各以类合，成脩幂”。结果重新合并成一个面积是原勾股形面积四倍的大长方形，于是通过直观形象的方法把问题论证得清清楚楚。
“九章算术”之第八章为“方程”章，该章令人惊异之处是由于推广方程术的程序化演算而引进了正负数，并建立了与现代基本相同的正负数加减法则。负数的发现不仅使方程术所规定的演算程序畅行无阻，从而是扩大了方程的应用范围，而且使扩张的数系颇具对称美。也许当时引进负数就与对称美因素；密切相关。苏联学者尤希凯维奇认为最使人感到特殊兴趣的是“九章算术”中的代数部分，他指出：“在《九章算术》第八章中破天荒第一次在科学史上看到了正量与负量的区分”、“负量与负量运算法则的发明是大约生活在二千年以前或更早的中国学者的最伟大的成就。这是第一次越过了正数域的范围。中国数学家在这一点超出了其它国家的科学几世纪之久。”(12)
“九章算术”作为我国古代数学的一部最主要的著作，其中蕴含着丰富的数学之美，“中算理论”作为我国所特有的计算理论确是“最美妙的发明”。但由于受材料的限制和文字的隔阂，西方学者难以接触到中算典籍而出现对中算理论的误解和偏见。尽管如此，一些涉猎广博的外国学者对中算理论仍能作出公允恰当的评价。英国数学史家斯科特说：“从公元前202年建立起来的汉朝，开始了一个复兴时期。……这种复兴气象由于《九章算术》的发表而达到了最高峰”。(13)美国数学家斯密斯说：“《九章算术》这部书是中国古典数学中最大的、长时间在东洋保持最高评价的著作。从许多事实证明中华民族是富有才华的，中国人是建立早期数学科学的先驱者。”(14)我们相信，随着对“九章算术”等中国古典数学著作的进一步潜心研究，必能清理发掘出中算典籍中存在着的大量审美现象，给中算理论作出恰当的审美评价。