论数学问题解决的生态模式，本文主要内容关键词为：生态论文,模式论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
文章编号：1001-4918(2008)03-0124-128 中图分类号：G441 文献标识码：A
1 引言
从20世纪70年代起，发展心理学便开始重视生态化研究的取向，强调在自然的环境下和具体的社会文化背景下探讨个体心理发展问题。这是由于研究者们逐步认识到，从发展心理学研究结果中得到的个体心理发展状况，应当能在更大的程度上反映个体在真实自然的生活和活动中的心理发展变化，而不应当是在特定的非自然的情境中得出的一些特异的行为结果[1]。生态心理学强调环境或背景性因素的重要性，反对脱离环境孤立地研究有机体的心理或行为[2]。从数学课程改革的实践来看，目前的许多数学教育理论值得反思。例如，建构主义的盛行使人们认为学生只能掌握（或理解）其自身或通过同伴间合作所得以“建构”的知识，而这事实上就从根本上消去了教师在教学中所应发挥的主导作用；信息加工理论的盛行使人们过度关注数学活动的微观认知机制，而往往忽略了数学活动的外部环境，割裂了微观发生机制和宏观发生环境的联系[3]。而课程和教学的生态化，意味着整个课程和教学发展的过程均符合生态学的基本原则，将课程和教学发展视为一个能够自我调节、相互协调、共同发展的生态化系统，而不是一个封闭、割裂和强调控制的机械系统[4]。从生态学的角度看，数学问题解决活动是学生不断与外界环境进行能量、信息交换的动态和开放系统[5]。因此，从生态观的角度来审视数学问题解决活动和构建数学问题解决体系具有重要的理论意义和实践价值。
2 数学问题解决生态观
2.1 数学问题解决具有显著的文化特征
以生态化的观点来看，数学问题解决具有强烈的文化特征，这种文化特征可以概括为数学文化。所谓数学文化，是指以民族或区域为主导的社会共同体在长期的与数学活动有关的生活和生产过程中所形成的特有的知识、行为、观念、态度和精神等，它体现了社会共同体所特有的数学生活和行为方式，或者说是特定的数学传统。有研究认为，数学文化是人类在数学行为活动的过程中所创造的物质产品和精神产品，物质产品是指数学命题、数学方法、数学问题和数学语言等知识性成分，而精神产品是指数学思想、数学意识、数学精神和数学美等观念性成分[6]。在数学文化的基本观念中，数学被赋予了广泛的意义，数学不仅是一种科学语言，一门知识体系；而且还是一种思想方法，一种具有审美特征的艺术[7]。王宪昌和刘银萍[8]认为数学教育作为一种文化活动，它应当突出民族文化特征，应与当地的社会环境、文化背景相协调。这种文化差异的数学教育观，得到了Cai[9]的实验支持。通过中美跨文化研究，Cai发现，中美学生的数学问题解决在认知上存在着显著差异，这种差异往往与学校教育和教师的信念有关。因此，数学文化是与学校生态环境离不开的[10]。与此同时，Cai和Lester[11]的研究结果表明，教师所使用的表征与学生所使用的表征之间存在着显著的相关，这表明教师的教育行为会对学生的问题解决产生显著影响；中国教师在教学任务中普遍采用的是符号表征，而美国教师主要依靠的是言语解释和图形表征。此外，作为数学文化系统的家庭生态环境对数学问题解决也有着重要的影响。例如，张华和庞丽娟等人[12]运用访谈、问卷、结构观察等多种方法对家庭生态环境与个体早期数学问题解决能力发展关系进行了研究，结果表明家庭社会经济地位、母亲对儿童数学问题解决能力发展的认识、母亲对数学任务的知觉水平以及母亲对儿童数学知识的传递行为与儿童早期数学问题解决能力的相关显著。
2.2 数学问题解决具有系统性和动态性
根据信息加工理论，人的认知活动类似于计算机的工作原理，可以用信息加工程序来类比人的认知加工过程。目前不少数学问题解决研究者持这种观点，并以此为基础来探讨数学问题解决的特征和机制[13～18]。但是，这一观点还有待进一步商榷。实际上，数学问题解决应该是一个具有多项因素共同作用的动态系统。这些因素，既包括作为数学问题解决主体的问题解决者，同时又包括作为数学问题解决载体的数学知识，还包括作为数学问题解决对象的问题空间，以及作为数学问题解决途径的认知操作程序。它们之间的相互作用构成了数学问题解决的系统性。
已有的一些研究常常过多强调问题解决者的知识经验在数学问题解决过程中的作用，认为数学问题解决是一个知识的提取与运用过程，而忽略了在数学问题解决过程中问题解决者根据新的问题空间结合已有知识进行新知识的建构的过程。因为数学问题在很多时候是不能简单地依靠直接从记忆里提取出存储的知识经验就能够解决的，一个目标之所以对问题解决者来讲是一个“问题”，那么自然就有其区别于已有知识经验的一些特征，如果仅仅靠提取记忆里储存的知识经验就能解决的问题，我们则不能把之称为一个“问题”。问题的构成有三个要点，一是问题依赖于个体的知识和能力，二是问题依赖于一定的目标，三是问题依赖于个体对目标与情境差异的认识[15]。因此，根据生态系统论的观点，在数学问题解决中，知识的提取和构建是一个共生的过程。这也是数学教育改革的目标所在，数学问题解决的最终目的不是对已有知识经验的重复和验证，而是通过数学问题解决使学生的知识经验得到进一步概括和提升。
此外，数学问题解决不仅仅是一个认知活动过程，而且还包括许多非认知因素的参与。因此，数学问题解决不能严格按照信息加工理论所设想的程序进行。例如，当问题解决者对所要解决的数学问题没有兴趣动机时，就不会进行数学问题解决的认知加工活动。此外，在数学问题解决的问题评价阶段，如果问题解决者认为该数学问题已经显著超过自己的能力阈限的话，或者屡次尝试都难以解决问题的话，其自我效能感就会降低，从而可能导致放弃数学问题的解决[19]。因此，数学问题解决程序并不是像信息加工过程那样严格按照一定的操作程序来进行，而是一个随时可能终止和退出的开放式过程；并且这些程序之间是一个循环往复的交互作用过程，而非一种单向的线性作用过程。通过这样一个程序与过程，从而使问题解决者的思维和能力得以在数学问题解决的过程中渐进地不断提升与发展。
2.3 数学问题解决具有日常情境性和非正式性
在个体的日常生活中，存在着许多非正式的数学学习和问题解决情境。从某个意义上来讲，直观的物质世界的万物都是由一定的“数”，按一定的“形”和“序”所构成的不同实体。因此，个体从出生开始就与隐藏在这些实体背后的数字世界发生这样或那样的联系。儿童凭借着“数”和“形”的中介，实现着对周围世界的基本结构和秩序的认识与把握，在日常、自然的情况下进行数学学习和数学问题解决。有研究表明，儿童的日常生活中，涉及到数学内容的活动占有很大的比例，它们通常在自然状态下发生，并且经常性地、反复地出现，对儿童的数学学习和问题解决产生着“潜移默化”的影响[20]。例如，拥有商品零售经验的儿童，在解决货币问题中的表现要优于没有类似经验的儿童，同时，他们能够采用自己的方式对货币数字进行情境性的表征[21]。儿童在日常生活与活动中产生的数学问题具有真实的背景，以特定的情境作为载体，情境的差异在一定程度上决定了个体问题解决策略的不同[22]。首先，儿童会根据情境的意义、问题的实际缘起和目前问题解决途径的充分性等灵活地采用多种策略解决问题。其次，儿童在问题解决的过程中往往创造性地使用工具和策略，如在测量的过程中用手或绳子等非标准工具。此外，在日常生活中的非正式数学问题解决过程中，儿童能够按照自己的意愿和兴趣，注意和探索这些数学现象和问题，充分发挥了独立性、主动性和创造性。例如，有的儿童在记录气象日记时能够主动对记录结果进行观察与简单“统计”，并发现气温的变化和日期的规律；又如，有的儿童会将秋天拾来的落叶按照一定标准进行分类、排序，并利用落叶拼搭各种物体和图形等等。因此，有研究者认为，在不同的文化中，儿童的基本数量知识会以不同的速度发展，导致儿童数学认知发展差异的最重要的因素是他们在日常生活中接触数学活动的频率[23]。
3 数学问题解决生态模式
3.1 数学问题解决生态模式的结构
根据数学问题解决的生态观，我们把数学问题解决分为5个内在的子系统，它们分别是数学文化、数学问题、数学知识、问题解决者、以及数学问题解决程序。这5个系统彼此联系，相互作用，形成一个有机整体，构成了数学问题解决的生态模式结构，见图1。
在该模式中，数学问题解决被看做是问题解决者在数学文化的影响下，不断提取和建构数学知识，通过一系列问题解决程序去解决所感知到的数学问题，并达到一定目标的动态系统。
问题解决者处在一个核心的位置，在数学问题解决的过程中，既受到外部的数学文化、数学知识和数学问题的影响，也受到内在的生理机制和心理机制及其交互作用的影响[24]。
数学文化通过其固有的成分和作用机制影响着数学知识的形成与发展，影响着数学问题的提出与表现，也影响着问题解决者的认知风格和情感态度，进而影响问题解决的程序[7]。反过来，数学知识的积累与提炼，数学问题的不断更新与解决，以及问题解决者在数学问题解决过程中认知风格和情感态度的提高与发展，对数学文化的深化与发展起着促进作用[6]。
图1 数学问题解决生态模式
（注：连接数学文化的虚线表示在具体的数学问题解决中没有直接参与活动的过程；问题解决程序中的虚线表示内部循环过程）
数学问题的产生与呈现往往是数学文化直接作用的结果。同时，数学问题解决者在问题解决的过程中或者问题解决完毕以后，常常也会提出一些数学问题。此外，数学知识也会通过问题解决者以及数学文化来影响数学问题的产生与呈现。数学问题自身的结构形式也会影响数学问题解决。结构良好的问题与结构不良的问题对于数学问题解决者来讲，往往具有不同的意义。结构不良的问题具有多个抽象的目标，问题的已知条件可辨别性差，甚至不存在已知条件，问题有多种不可验证的解法，或者没有解法；结构良好的问题的已知条件和问题目标之间有着密切的联系，只要把已知条件都加以正确应用，问题就能够得以顺利解答[23]。此外，数学问题的类型、设计和呈现形式都会显著影响学生的问题解决行为[25]。
数学知识在数学问题解决的过程中，不仅仅涉及到与特定数学问题直接相关的领域特殊性知识，而且还涉及到与此有关的领域一般性知识[26]。并且只有当这些知识形成结构化的、体系化的信息被激活时才更有助于数学问题的解决[15]。同时，在数学问题解决的过程中，数学知识并不仅仅是一个被提取的过程，而且还是一个被不断建构的过程。通过不断的提取和建构，数学知识才能更有效地为数学问题解决者所利用，从而有助于问题解决者成功地完成数学问题的解答[27]。
问题解决程序是数学问题解决的实现过程。在该过程模式中，数学问题解决程序主要包括问题感知、问题评价、问题再认、问题解答以及概括反思这五个阶段。首先，数学问题需要被问题解决者感知，如果没有被感知，那么就谈不上数学问题的解决，只有意识到问题的存在，有解决问题的需要，问题解决者才会有以后的一系列解决问题的行为反应[14，15]。当数学问题被感知以后，问题解决者会对所感知的问题进行一个评价，如果这个问题是在其认知能力所能解决的范围之内并且在情感态度上接受该问题的话，那么就对这个问题进行再认或者直接进行问题的解答，否则将退出问题解决的过程[19]。当问题得以解答以后，问题解决者往往会对已解决的问题进行概括和归纳[28]。由于问题解决受到诸多因素的影响，问题解决者在任何一个阶段都有可能退出，因此整个问题解决的程序是一个开放式的过程。同时，问题解决的过程往往不是一次就能成功的，需要不断地尝试错误或者反复验证，因此整个问题解决的程序也是循环往复的。通过数学问题解决程序，问题解决者无论是在知识经验上，还是认知能力与个性特征上都会得到提升和发展，并且反过来又会影响着数学文化的发展和数学问题的提出。
3.2 数学问题解决生态模式的作用机制
3.2.1 数学问题解决生态模式的认知加工机制
在数学符号和数学规则方面的文化差异，最能体现数学问题解决的生态特征。它们对数学问题解决有着深层的、直接的影响，主要体现在数学认知的表征、记忆、策略使用和元认知等方面[29]。
数学符号对数学认知的影响主要表现在计数系统方面。计数系统是一个民族的数学文化的典型代表，直接影响着数学认知加工的表征、记忆和策略。例如，非洲的Oksapmin部落采用身体计数系统（见图2[30]）。他们的每一个身体部位就代表着一个数字。Oksapmin儿童在进行数数任务时，通常采用指点身体部位的策略来进行加工，其记忆和表征都具有形象化的特点。中国的年幼儿童在进行数数任务时，则大多数采用数手指或点数具体工具（如木棍）的方式来进行加工。与Oksapmin儿童相比，中国儿童的数数虽然也具有形象化的特点，但是由于Oksapmin身体计数系统具有相对固定的标签（身体的具体部位），因此中国儿童的数数具有更大的灵活性（采用手指或实物工具），其数字加工的速度和正确率也要高于同年龄的Oksapmin儿童。
图2 Oksapmin身体计数系统
数学规则的典型表现则是运算规则。运算规则是一个民族的个体在长期的数学认知活动过程中所总结和归纳出来的数学思想和方法。各个民族在其数学认知活动中，常常有着其独特的运算规则系统，这些规则系统对个体数学认知的记忆提取、策略选择、加工速度以及元认知监控等方面有着重要影响。例如，Gelosia乘法表（图3[31]）提供了一些计算类似987×961（其结果是948,507）的运算规则，使得个体的数学计算变得简单易行。再如，我国的“九九”乘法表，通过歌谣的形式进行学算数的启蒙教育，使得儿童在幼儿时期就形成了对数字的概念的初步认识，有了对数学抽象的初步经验。这些口诀和歌诀不仅在认知方式上有助于儿童进行快速的数字计算，进行数字计算的元认知监控，并且在情感态度上更能使儿童感受到数学学习的无限乐趣。通过这些口诀和歌诀，我国儿童往往在早期就学会了数字计算，因而往往比其他国家的同龄儿童表现出更为优异的数字计算技能[32]。
图3 Gelosia乘法表
3.2.2 数学问题解决生态模式的认知调节机
数学问题解决生态模式的调节机制，首先表现在数学文化对数学认知的调控方面。在数学文化中，观念性成分即数学观念是数学文化的核心，它可以从精神层面上来影响人们的信念、行为和价值观[33]。因此，数学文化中的数学信念以及数学价值观，通过情绪态度和自我效能感等机制，对数学认知加工起着自我调控的作用。有研究表明，父母和教师的数学教育观念、数学成就期望等数学文化因素，对儿童的数学认知有着重要的影响作用。例如，Chiu和Zeng[34]对41个国家的研究表明，亚洲儿童的父母对其学业成绩具有较大的期望，而数学则是儿童学业成绩的重要方面之一。因此，父母常常会采取各种措施来鼓励儿童提高数学学习成绩，例如奖赏等，这样可以提高儿童对数学认知的兴趣和动机，从而提高其数学认知的成绩。McNeal和Simon[35]的研究表明，教师的数学观念和成就期望，对儿童的数学认知也有着同样的调控作用。此外，作为数学文化的数学典故，如中国古代的结绳记账、田忌赛马等故事，可以很大地激发儿童的数学学习兴趣和动机，进而影响儿童数学认知的成绩，充分体现了数学文化对儿童数学认知的调控作用。其次，这种调节机制还表现在数学问题解决的实施程序之中。由于情绪与认知之间的相互作用以及问题评价所带来的自我效能感等因素的影响，数学问题解决过程具有较强的主观能动性和开放性，问题解决者随时会根据数学问题空间、已有知识经验和自身的心理状态调整数学问题解决的策略，甚至放弃或中止问题解决的进行。
4 总结与评述
数学问题解决既是当代数学教育的基本目标，同时也是研究个体心理活动的基本范式之一。因此，无论是教育学的研究者还是心理学的研究者，都对此表现出极大的关注。特别是在最近的半个世纪以来，在行为主义、建构主义以及信息加工理论的影响下，数学问题解决研究取得了丰硕的成果，并且在数学教育实践上得到了广泛的应用。然而，随着新一轮课程与教学改革的实施，以及教育教学的实践诉求，这些传统的有关数学问题解决的基础理论也遭遇到了一些挑战甚至置疑[3]。
数学文化研究的兴起以及教育学和心理学生态化研究的发展，为我们探讨数学问题解决提供了一个新的视野。生态化的观点要求我们把学习者在数学问题解决过程中的心理活动和行为特征放在一个彼此联系的宏观体系下去考察，而不是仅仅关注学习者在数学问题解决过程中的认知加工过程。数学文化与数学知识、数学问题具有密切的关系，三者之间的相互作用构成了数学问题解决的外部环境，直接影响着问题解决的程序和结果。数学问题解决的实施也必须依靠问题解决者通过一定的问题解决程序来完成的，这是数学问题解决的内部机制，也是数学问题解决的本质和核心。如果没有数学文化、数学知识和数学问题这些要素相互作用的外部环境，就不可能有数学问题解决的产生；如果没有问题解决者对数学问题进行操作的程序与过程，就难以揭示数学问题解决的特征和本质。因此，由数学文化、数学知识、数学问题、问题解决者以及问题解决程序这5个有机系统构成的数学问题解决生态模式具有其合理性，并且具有重要的理论意义与实践价值。当然，目前我们只是从理论上构建了数学问题解决的生态模式，该理论模式内部系统的作用机制及其相互关系还有待进一步的实验来论证；同时，基于该理论模式的数学教育实践活动也有待进一步开展，从而在教育教学的实践中进一步丰富和发展该理论模式。