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正比例、反比例是小学阶段最后学习的知识，也是从算术性知识学习转向代数性知识学习，从对“数量”的理解转向对“关系”探讨的又一个明显转折点（五年级“用字母表示数”及“方程”的学习也是一个明显转折点）.《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，本部分知识的学习需要“通过具体情境，认识成正比例的量和反比例的量”；此外，还明确提出“会根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画图，并会根据其中一个量的值估计另一个量的值”的要求.为实现后一教学目标，教师在教学中进行了初步尝试，而教学中的一些小问题也引起了我们的关注和思考.
【案例1】正比例图象居然没有呼之欲出！
在正比例图象这节课上，教师以“向相同的杯子中倒水”的情境引入教学，出示表格如下，让学生判断体积与高度之间成不成比例，成什么比例，并说明理由.
接着，教师与学生展开谈话：以前我们从“数”的角度学习了正比例关系，今天再从“形”的角度研究正比例关系.然后出示坐标图（图1），提出问题：“如果用横轴表示水的高度，纵轴表示水的体积，那么杯中水高2厘米时，水的体积有50立方厘米，在图中该用哪个点来表示？”由于学生以前在统计图、数与位置等知识的学习过程中曾经接触过平面直角坐标系，所以顺利地找到了高2厘米与体积50立方厘米的交叉点.接着放手让学生独立尝试将表中数据在图中逐一进行描点.学生很快完成描点工作（图2）.
尽管学生对于直角坐标系并不陌生，但是，在直角坐标系中借助直观图形去描述两个变量之间的关系还是第一次.所以，学生顺利描点后，教师没有急于让学生将描出的点连线，而是启发学生进一步思考.
师：如果杯中水高14厘米，体积将是多少呢？你认为应该用A、B、C、D中的哪个点表示？
生1：肯定不是C和D.水的高度与体积成正比例，那么水的高度增加，体积也会随着增加，所以高14厘米时体积应该比300立方厘米大.
生2：我发现水的高度每增加2厘米，体积就会增加50立方厘米，所以这个点应该比12厘米时再高出50立方厘米，是B点.
生3：我计算了一下，体积除以高度等于25，也就是杯子底面积是25平方厘米，是不变的.用25×14=350，所以水高14厘米时，体积应该是350立方厘米，应该是B点.
听了学生的发言，教师心中暗喜：通过对A、B、C、D四点的选择与辨析，已经有效地将孩子们的视线吸引到对两个量之间关系的关注上，而这也正是正比例意义的关键！于是，教师乘胜追击，先后请学生到大屏幕前找一找水高15厘米、16厘米时，体积分别对应的点.然后启发学生思考：“像这样的点我们还能不能继续找下去？”
学生几乎异口同声地回答：“能！”
“这样的点我们能找到多少个？”
“无数个！”
看来，正比例函数图象已经呼之欲出！于是，教师提出继“描点”之后再一次独立尝试的要求：“想象一下，如果将这些点用线连起来，会是什么样子呢？想好后请你画在自己的坐标图中！”
原以为正比例图象已经跃然纸上，教师心中不由得沾沾自喜，却不想巡视结果令人大跌眼镜，孩子们画出的图象有下面三种：
（1）个别学生只是将描出的6个点连线.
（2）有些学生将共同研究的几个点也画在图中，并连线.
（3）只有少部分学生不仅连点成线，而且将所画的线进行了延长（图3）.
【案例2】正比例图象居然拐弯了！
学习正比例图象后的一道作业题如下：
下面是趵突泉一段时间的喷水量和喷水天数的统计表.
（1）表中趵突泉的喷水量和喷水天数成正比例吗？为什么？（2）在图（如图4）中用点描出喷水量和对应的喷水天数，再将这些点连接起来，画出图象.（3）利用图象判断，5天的喷水量是多少立方米？
第一问的回答没有问题，出乎我预料的是，班里有4个同学画出的图象却拐弯了，如图5：
上述的两个案例使我们陷入了思考.
一、学生为什么会出现这些问题？
案例1中，明明学生异口同声说有无数个点，但是，为什么绘制的图象还是只关注到了局部？最令人不解的是，没有学生将坐标原点与所描出的各点之间连起来.这是为什么？
教师请学生打开书看一看自己所画的图象与书上的有什么不同，想一想书上为什么这样画，在与学生的交流中“暴露”出学生的真实想法：
表格的第一组数据就是（2，50），所以孩子们认为从这个点开始把描出的点连起来就行了.虽然知道后面还会有无数个点，但是没想到还要把线画出头儿.
在案例2中，不难发现：正比例图象拐弯的原因是学生将第6天的喷水量画到了第5天上.教师也对几个出错的学生进行了访谈，学生表示：自己看到表中有5组数据，也就是分五种情况，就按顺序一个一个分别进行描点，也没多想.
通过访谈与交流发现，学生在画图过程中出现的这些错误都非常符合他们的心理特点和学习习惯.是啊，进行描点，按顺序一个一个描就行了，为什么非要“空出”一个格？由点连线，习惯上可不就是把点都连接起来，谁会想到还要出头儿？再说平时画图，一旦出个头儿，多难看！多不规范！
理解学生错误的同时，我们也深深感到：学生在绘图过程中出现的这些错误，绝不是偶然发生的，这些错误真实地反映出学生学习正比例、反比例时所遇到的困难.学生在画图过程中出现这些错误的深层次原因有以下两点：
第一，学习正比例、反比例知识所要求的代数思维方式与学生现有思维水平之间的差距，是错误产生的根本原因.
首先，正比例、反比例的学习是从算术性知识的学习转向代数性知识的学习，从对“数量”的理解转向对“关系”的探讨，其中蕴含着函数思想.因而，学生的数学思维方式要发生重要转折，即：从静止走向运动，从离散走向连续，从运算走向关系.特级教师贲友林指出：“正比例图象的呈现形式，从表面上看是静止的，但从列表、描点到连线这一过程来看，是运动、变化的.画成的图象从表面上看是完整的，其实是局部的、不完整的，它还可以延伸，即不断地运动、发展、变化.”[1]其次，先描点再连线，学生眼中的“点”始终是离散的，他们难以理解连线时“连”的实质，即：反映两个变量的连续变化.在这里，变量的取值范围不仅仅是有限的、离散的几个数值，而是所有的、连续的“数”.此外，正比例图象这样一条看起来非常简单的“直”线，其从左向右不断上升实际上还蕴含着“两个变量一个扩大、另一个也随着扩大、其比值不变”这样一种相互依存的关系.这一切对于仅仅十一二岁、尚处于形象思维向抽象逻辑思维过渡阶段的小学生来说，难度应该不言而喻.
第二，学生非常熟悉的统计图对学习正比例图象造成的负迁移，是错误产生的不可忽视的重要原因.
正比例图象与学生熟悉的折线统计图相比，外观相似，都有相互垂直的两个坐标轴；绘制过程相似，都是先描点再连线.众所周知，人们在学习新知识时，总是习惯用已有的、熟悉的知识去同化，如果不成功，才会调整已有认知，建立新的认知结构，也就是顺应.正比例图象与折线统计图这么相似，学生将画折线统计图的经验照搬到绘制正比例图象过程中，实在不足为奇.殊不知二者虽然相似，但也有着明显区别：折线统计图中，每一个统计数据是相对独立的，描出的点是离散的；而正比例图象中，每个变量的取值都是连续的，因而描出的点也是连续的.折线统计图反映统计数据的发展变化趋势，因而只需将每一个统计数据描点、连线，不必与“0点”相连；而正比例图象反映两个变量的相互依存关系，因而它是若干个连续的点的集合，自然也就包含“0点”，并无限延长.因为学生不清楚这些区别，因而才出现了上述错误.
二、正比例图象教学应该关注什么？
对学生错误的分析引发了对正比例及正比例图象教学的进一步思考：
1.成正比例关系与正比例函数一样吗？
对这个问题的思考源于学生对“到底该不该从‘0点’开始画正比例图象”的讨论.在案例1的讨论中，有个学生最初认为应该从1开始，后来其他同学反驳说水的高度还可以比1小，但他坚持认为虽然应该从0开始，但应该不包括0，因为0表示还没有倒水.孩子们的疑问是教师备课中没有想到的.那么，如果在表格中增加（0，0）点，是不是能解决以后教学中连线时对“0点”的争议呢？思考后又觉得有些矛盾.因为，从正比例的意义（两种量中相对应的两个数的比值一定）看，如果表格中增加（0，0）点，因为0不能做除数，也可能会引起这两个量不是正比例关系的争议.但是，中学的正比例函数的定义是：一般地，两个变量x、y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数.正比例函数的解析式用乘法阐述，不存在（0，0）点的争议.
2.教学中该如何处理图像的坐标原点问题？
如上所述，如果在表格中增加（0，0）点，将与正比例关系的定义相矛盾；如果不出现（0，0）点，教学中又会出现学生不将坐标原点与所描各点连起来的问题.那么，到底该如何处理图象的坐标原点问题呢？
人教版、苏教版、现代小学数学等教材中呈现的表格都没有（0，0）点，北师大版教材的部分表格给出了（0，0）点，《义务教育数学课程标准（2011年版）》第22页例8呈现的表格也给出了（0，0）点，但不需判断两个量之间的关系.看来，（0，0）点在小学正比例图象教学时确实是一个与众不同的、有些“微妙”的点.人民教育出版社的丁国忠老师认为：小学研究正比例关系，学生能够认识到其中的对应关系，能够感受到一个量变化、另一个量也随之变化的依存关系就可以了.而中学的正比例函数，因为要从定义域和值域对函数进行研究，所以给出的定义更形式化一些，定义域更全面一些.
中学数学中随着自变量取值范围的扩大，正比例函数图象将不止在第一象限.那时，坐标原点将不成问题！从长远发展的角度看，对于小学正比例图象中的（0，0）点，我们没必要浪费过多的时间，不妨淡化处置.皮亚杰认为“比例是函数的最初形式”，抓住契机帮助学生体会两个变量之间相互依存的关系，丰富关于变量的经历，渗透函数思想，才应是小学正比例图象教学的核心.
3.如何通过正比例图象教学，加深对正比例关系的认识，进一步渗透函数思想？
如上所述，作为课程标准新增加的教学目标，小学正比例图象的教学价值绝不是机械地描点、连线，并记住正比例图象是一条“直”线，而应该在于：通过数形结合，使变量之间抽象的关系“可视化”，从而加深学生对正比例关系的理解，并渗透函数思想.那么，课堂中该如何去实现呢？
（1）着力于图象的动态形成过程.
在图象的形成过程中，学生不仅能够感受到对应和连续，还将体会到运动和变化，这些都是对函数思想的渗透.因此，在正比例图象的教学中，首先应着力于图像的动态形成过程.
在案例1中，虽然学生所画的正比例图象出现了种种问题，但是学生的这些错误恰恰是一种教学资源，因为它们真实地反映出学生学习过程中所遇到的困难，反映出学生对于变量之间相互依存关系、对于变量的连续性没有深入领悟，或者说对于函数思想学生还很陌生.为此，不妨因势利导，首先引领学生讨论书中所画的正比例图象为什么与我们预设的不同.在交流中，适当补充水的高度大于16厘米或者小于2厘米的点，对于能力较强的班级甚至可以补充高度不是整厘米数的点，促使学生进一步感悟两个变量之间的对应关系以及变量的连续性特点.然后启发学生观察这些点是否在一条直线上，最后将水高0厘米、体积0立方厘米的点作为起点，利用课件动态演示正比例图像的形成过程.随着直线不断地向上延伸，学生将清晰地感受到随着一种量的扩大，另一种量也在不断扩大的变化规律，这种联系与变化的观点恰恰是函数思想的本质.
（2）着眼于图象的分析解读过程.
图象的形成不应该意味着教学的结束，着眼于对图象的分析解读过程，将进一步促进学生对函数思想的领悟.如教材中根据图象判断的练习：如果杯中水高7厘米，那么水的体积是多少？225立方厘米的水有多高？再如，看图（图6）填表，并比较：正方形的边长与周长、边长与面积的变化规律一样吗？哪两个量成正比例关系？再有，根据图象（图7）判断，下面相关联的两个量成正比例关系吗？
在对图象进行分析解读的过程中，学生可以将图象语言转换为表格语言，体会函数的不同表征方式，也可以在不同图象的对比中，体会一个量随着另一个量变化的不同规律.由于数形结合，变量之间抽象的关系显得形象生动，深化了学生对正比例关系的理解，促进了学生对函数思想的领悟.
综上所述，通过对正比例图象教学中发生的问题进行分析、思考，我们更清晰地认识到小学生学习正比例、反比例的困难，同时我们也深刻地意识到：在正比例、反比例的学习中，蕴含着数学学习非常重要的数形结合思想、函数思想.抓住机会，设计好本部分知识的教学，必将促进学生思维的深刻性发展，实现中小学数学教学的有效衔接.
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