基于矩阵分解的不完全偏好值信息双边匹配决策

刘雪庆^a，王继荣^b，李 军^a

(青岛大学a.计算机科学技术学院，b.机电工程学院，青岛 266071)

摘要 ：针对匹配主体没有提供全部偏好值信息的双边匹配问题，提出了一种基于偏差矩阵分解技术解决不完全偏好值信息双边匹配问题的决策方法。给出了基于部分偏好值信息的双边匹配问题的描述，利用偏差矩阵分解技术，充分挖掘用户的潜在偏好，填充缺失偏好值，将匹配双方的不完全偏好值矩阵转化为完全偏好值矩阵并进一步转化为满意度矩阵。建立匹配优化模型并通过模拟退火算法求解，实验结果表明，该决策方法可行。

关键词 ：双边匹配；偏差矩阵分解；不完全偏好值；匹配优化模型

双边匹配问题是指有双方匹配集合，其中每一方的每一个匹配主体都对另一方感兴趣的匹配主体给出自身偏好。双边匹配问题广泛存在于我们的日常生活和经济生活中，例如适龄未婚青年的婚姻匹配^[1]、风险投资公司与风险公司匹配^[2，3]、求职员工与用人单位岗位的匹配^[4]等。双边匹配问题最早起源于Gale等^[5]对适龄男女婚姻和高校学生的稳定匹配问题的研究。此后，国内外学者对双边匹配理论及其应用场景进行了大量的研究。Roth^[6]提出了Hospital-Resident算法，解决了医学院毕业生和实习医院的双边匹配问题；Klaus等^[7]提出了DPC算法并分析了算法的特性，给出了在强偏好序下的双边匹配问题的一种解决方案；Chakraborty等^[8]提出了稳定匹配存在的机制，当匹配双方给出不完全偏好信息时，已知一边主体互相依存时可以用该方法来处理；李铭洋等^[9]提出了一种基于偏好信息的匹配方案，并将一步将双边匹配问题转化为赋权二分图最大权匹配问题；乐琦等^[10]提出一种基于不完全得分信息的匹配策略，已知匹配双方给出部分偏好信息，考虑互相给出偏好信息的匹配双方之间可以进行匹配的双边匹配方法；赵晓冬等^[11]考虑到动态匹配问题，采用综合多个时期的偏好信息进行匹配决策，能够解决只用一次偏好信息进行匹配的片面性，提高决策水平。大多数研究理论假设匹配主体给出全部偏好信息，通过对这些偏好信息进行计算得出偏好序。少数研究理论虽然考虑到主体没有给出全部偏好信息的匹配情况，但是在解决策略中却只将双方互相都有过评分的主体进行匹配，如果一方对另一方没有过评分或者双方之间都没有评分，导致匹配主体不能充分进行匹配，或部分匹配主体可能找不到匹配对象。实际的匹配问题中，尤其是匹配双方的数量都非常大的情况，匹配主体往往不能对所有匹配成员给出偏好信息；从匹配主体属性权重看，由于匹配主体都是直觉模糊的，因此匹配主体无法精确、客观地给出对匹配对象某一属性的权重；再者不同的匹配主体对匹配对象同一属性的要求也不一样，导致无法使用相同的属性权重来加权计算偏好值。这些情况可能导致匹配结果的不可信性，因此，需要充分利用匹配主体已经给出的确定偏好信息，并从这些偏好信息中挖掘出匹配主体的潜在偏好，避免给出不确定权重导致的匹配失信问题。鉴于此，本文提出了一种基于矩阵分解技术，解决匹配主体未给出完全偏好值的双边匹配决策方法。

1 问题描述

在基于矩阵分解的双边匹配问题中，双方给出的评价信息都是对另一方的偏好值。设集合A ={A ₁,A ₂,…,A _m },m ≥2表示甲方匹配主体，其中A _i 为A 中第i 个匹配主体，i =1,2,…,m ；集合B ={B ₁,B ₂,…,B _n },n ≥2表示乙方匹配主体，其中B _j 为B 中第j 个匹配主体，j =1,2,…,n ，不妨设m ≤n ；设R = [r _ij ]_m×n 为甲方对乙方的不完全偏好值矩阵，其中r _ij 表示A _i 给出的关于B _j 的偏好值，若甲方匹配主体没有给出该信息，则记r _ij =?；设T =[t _ji ]_n×m 为乙方到甲方的不完全偏好值矩阵，其中t _ji 表示B _j 给出的关于A _i 的偏好值，若乙方匹配主体没有给出该信息，则记t _ji =?。

没能见到外婆最后一面，大概是她一生的遗憾了吧。钱海燕蹲在地上让自己哭了一会后，擦干眼泪上楼。这种时候，她只能坚强。给当当喂了一次奶后，她拿了一些生活用品去了医院。

本文所提出的决策方法是利用匹配双方给出的不完全偏好值矩阵R =[r _ij ]_m×n 和T =[t _ji ]_n×m ，通过建立一种匹配模型，使其在匹配模型获得近似最优解时，获得最优的匹配方案。

叶晓晓打电话给陈小北了，说想跟他聊聊。他在美院老校区的一家咖啡馆里。叶晓晓在校门口叫了辆黑的，半小时就到了。

2 双边匹配决策方法

2.1 偏好值矩阵

其中，表示矩阵·中所有元素的平方和。为了避免过度拟合，需要加入规范化因子对b _i ，b _j ，P ，Q 的训练过程进行规范，设λ 是甲方规范化因数的常量，通常情况下取值在0到100之间。采用随机梯度下降法得到b _i ，b _j ，P ，Q 的近似最优解。利用式(1)计算并填充偏好缺失值，得到甲方对乙方的完全偏好值矩阵R ′=[r _ij ]_m×n 。乙方主体到甲方主体的全局损失函数可以表示为

甲方主体对乙方主体的不完全偏好值矩阵R =[r _ij ]_m×n ，设R _w 表示R 中所有已知的偏好值数据集，此时需要将甲方和乙方映射到相同隐向量空间。设f 表示隐向量空间维数，P =[p _ik ]_m×f 表示甲方隐特征矩阵，Q =[q _kj ]_f×n 表示乙方隐特征矩阵，其中f ≪min(m ,n )。对于已知偏好值r _ij ，使用下式进行近似

(1)

其中，r _ij 为真实偏好值，为计算偏好值，μ 表示R _w 中的总体评分均值，b _i 为A _i 对B _j 评分的偏差，b _j 为B _j 被A _i 评分的偏差，为甲方对乙方评分的交互值，其中p _ik ，q _kj 分别表示交互值中甲方评分及乙方被评分在隐特征k 中的映射值。

对于乙方主体对甲方主体的不完全偏好值矩阵T =[t _ji ]_n×m ，设T _w 表示T 中所有已知的偏好值数据集，此时需要将乙方和甲方映射到相同隐向量空间。设f ′表示隐向量空间维数，表示乙方隐特征矩阵，表示甲方隐特征矩阵，其中f ′≪min(m ,n )。对于已知偏好值t _ji ，近似为

(2)

其中，t _ji 为真实偏好值，为计算偏好值，μ ′表示T _w 中的总体评分均值，为B _j 对A _i 评分的偏差，为A _i 被B _j 评分的偏差，为甲方对乙方评分的交互值，其中，

的最优解。利用式(2)计算并填充偏好缺失值，即可得到乙方对甲方的完全偏好值矩阵T ′=[t _ji ]_n×m 。

(3)

由于不同匹配主体评分习惯不同，例如有的匹配主体非常乐观，习惯给出高的偏好值；而有的匹配主体非常苛刻，习惯给出低的偏好值，因此本文采用偏差矩阵分解技术^[12]对缺失偏好值进行填充。

(4)

为了避免过度拟合，需要加入规范化因子对

的训练过程进行规范，设λ ′是乙方规范化因数的常量。采用随机梯度下降法得到

分别表示交互值中乙方评分及甲方被评分在隐特征l 中的映射值。则甲方主体到乙方主体的全局损失函数可表示为

2.2 满意度矩阵

考虑到不同匹配主体评分习惯不同，需要将每个匹配主体的偏好值进行归一化处理；另外每个匹配主体都是个人理性的^[13]，即一方匹配主体对其感兴趣的对方个体满意度敏感性逐渐递减趋势，采用如下方法计算双方满意度。

Step 3 依据式(7)求甲乙双方的组合满意度矩阵C =[c _ij ]_m×n ；

模拟退火算法^[15]被广泛应用在组合优化问题中，特别是旅行商(TSP)问题^[16]，考虑到双边匹配问题同样属于组合优化问题，因此使用该算法求解上节构建的匹配模型，得到匹配模型最优解。

(5)

(6)

其中，max(r _ij )表示甲方每个主体对乙方所有主体偏好值的最大值，max(t _ji )表示乙方每个主体对甲方所有主体偏好值的最大值。将P ′，Q ′中的偏好值分别代入式(5)和(6)中即可得到甲方对乙方的满意度矩阵R ″=[α _ij ]_m×n 及乙方对甲方的满意度矩阵T ″=[β _ji ]_n×m 。

2.3 匹配模型

匹配时需要考虑匹配对之间公平性和匹配结果的可行性，应使成功匹配主体间的偏好值尽量相同，避免偏好值差异比较大的个体进行匹配。拟采用如下方法计算双方组合满意度^[14]

(7)

其中，α _ij 表示主体A _i 对主体B _j 的满意度，β _ji 表示主体B _j 对主体A _i 的满意度(i =1,2,…,m ;j =1,2,…,n )，ω (0≤ω ≤1)称为调节参数，其取值由匹配决策者依据实际问题和想要获得的匹配结果而定。ω =0时，同时考虑满意度的和及满意度积的平方根，此时强调匹配一致性；ω =1时，只考虑双方满意度和，此时强调匹配互补性，由此可得双方组合满意度矩阵C = [c _ij ]_m×n 。于是建立如下组合优化模型^[14]

此后，国家和省市级媒体相继报道了医院无纸化建设情况，并给予了充分肯定和高度评价，提高了医院业内知名度。全国多家医院曾来院参观学习无纸化建设，并把建设经验作为样板参考。作为无纸化建设的先行者，医院相继在专业期刊上发表论文三篇，在学术领域进行推广交流。

(8)

其中，x _ij =0或1；i =1,2,…,m ;j =1,2,…,n ；x _ij =1表示主体A _i 与主体B _j 匹配，而x _ij =0表示主体A _i 与主体B _j 不匹配。

2.4 匹配模型的求解

设α _ij ，β _ji 分别表示甲方A _i 对乙方B _j 的满意度和乙方B _j 对甲方A _i 的满意度，则甲乙双方满意度

解决不完全偏好值双边匹配问题的具体步骤如下：

Step 1 依据式(1)、(3)将甲方主体的不完全偏好值矩阵R = [r _ij ]_m×n 转化为完全偏好值矩阵R ′=[r _ij ]_m×n ，依据式(2)、(4)将乙方主体的不完全偏好值矩阵T =[t _ji ]_n×m 转化为完全偏好值矩阵T ′=[t _ji ]_n×m ；Step 2 依据式(5)将甲方主体的完全偏好值矩阵R ′=[r _ij ]_m×n 转化为满意度矩阵R ″=[α _ij ]_m×n ，依据式(6)将乙方匹配主体的完全偏好值矩阵T ′=[t _ji ]_n×m 转化为满意度矩阵T ″=[β _ji ]_n×m ；

Step 5 利用模拟退火算法求解匹配优化模型，获得最优的匹配结果。

为开拓学生视野，增强学生对知识的综合应用能力，要求学生以小组为单位，针对当前国内外食品安全问题，查阅资料，并以PPT的形式在课堂中进行展示并讨论。该形式注重学生与学生之间的互动，在展示过程中学生要进行评分，评分表随机发放，评分时要做到公平公正，教师要起到监督的作用。最后，授课教师进行总结点评并根据学生评分给出成绩。

Step 4 依据式(8)和上一步所得的组合满意度，构建匹配优化模型；

聂树斌、呼格吉勒图、陈满……这些重大冤错案件的被告人或不幸被错杀或身陷囹圄。党的十八大以来，司法机关用实际行动自我纠错、敢于担当，这些当事人的沉冤昭雪，充分显现出司法体制改革给司法公正带来的正向效应。

人们生活中的许多现象与物理有着紧密的联系，初中阶段是学生了解物理知识的最初阶段，在此阶段掌握良好的学习方法可以为今后学习高中物理奠定良好的基础。不少学生认为物理学习起来有一定的难度，甚至有的学生厌倦学习物理。采用生活化教学模式可以在提高学生学习物理兴趣的基础上，提高教学的有效性。本文将具体分析生活化物理教学。

3 模拟实验

某风险投资中介公司主要从事风险投资商及风险企业之间的中介匹配服务。现有10个风险投资商(A ₁,A ₂,…,A ₁₀)对其了解过的10个风险企业(B ₁,B ₂,…,B ₁₀)的评分情况及风险企业对风险投资商的评分情况。为了充分利用匹配双方给出的评分信息，促成双方的合理匹配，将其评分值视为偏好值，利用双方给出的不完全偏好值信息进行匹配决策。这里假设偏好值的取值范围为[0～10]之间的整数，其中0表示匹配主体非常不满意，10表示匹配主体非常满意。用R =[r _ij ]_10×10表示风险投资商给出的对风险企业的不完全偏好值矩阵，T =[t _ji ]_10×10表示风险企业给出对风险投资商的不完全偏好值矩阵。其中假设每一个匹配主体对另一方匹配主体都有过7个评分值，即数据的稀疏度为30%。设R 和T 分别为

不知桥名，且倚石栏观河水。阳光。微风。水色似鸭头之绿。两岸皆粉壁，水上倒影如画。桥下过舟，先见其红漆的船头，继而见其竹编船舱。橹声咿呀入耳时，船尾已穿桥而出。一枝桂花顺水漂来，春愁与水色共深。（108）

运用上面提到偏差矩阵分解方法将不完全偏好值矩阵转化为完全偏好值矩阵

依据完全偏好值矩阵，以及上文给出的满意度计算公式，可得双方的满意度矩阵

考虑到匹配主体双方满意度的互补性和一致性，本案例中取ω =0.5，将双方的满意度矩阵R ″、T ″中的每个值分别代入到式(7)中得到双方组合满意度矩阵

将上面的组合满意度矩阵代入优化模型并用模拟退火算法求解，可得优化模型的最优解为8.098，对应的一个最优匹配方案为(A ₁,B ₅)，(A ₂,B ₇)，(A ₃,A ₁₀)，(A ₄,B ₄)，(A ₅,A ₉)，(A ₆,A ₂)，(A ₇,A ₃)，(A ₈,A ₁)，(A ₉,A ₈)，(A ₁₀,A ₆)。

4 结论

针对匹配主体没有给出全部偏好值的双边匹配问题，本文采用偏差矩阵分解技术填充缺失偏好值，解决了没有给出偏好值信息的匹配对之间的匹配决策问题和人为主观确定属性权重导致的匹配失信问题，给出了一种大数据背景下依赖不完全偏好值的双边匹配问题解决方案。通过具体算例证明了本文所提出的方法可以在匹配模型得到最大解时找到对应的匹配方案，具有实现的可行性。

（1）水损害。水损害是坑槽产生的根本原因。当沥青路面路表水不能及时排出，则可能沿孔隙或裂缝下渗到路面结构中，结构层中的水分会影响沥青的裹附与黏结效果，使得沥青与集料间的黏附性明显下降[2]。同时在行车荷载的作用下，使得结构层中滞留的水产生动水压力，冲刷集料表面的沥青，导致集料松动并被带离路面结构，最终形成坑槽病害。

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Decision Method for Two -sided Matching Problem with Incomplete Preference Values Based on Matrix Factorization

LIU Xue-qing^a,WANG Ji-rong^b,LI Jun^a

(a.College of Computer Science and Technology,b.College of Mechanical and Electronic Engineering,Qingdao University,Qingdao 266071,China)

Abstract : A decision method based on the biases matrix factorization is proposed to solve the two-sided matching problem with incomplete preference values.The two-sided matching problem with partial preference values information is described.The partial preference values matrix is transformed intothe complete preference values matrix using the biases matrix factorization,by fully mining the user′s potential preferences and filling in the missing preference values.The complete preference values matrix is then converted into complete satisfaction degrees matrix.A matching optimization model is constructed and the simulated annealing algorithm is used to solve the model.The feasibility of the proposed decision-making method is proved by an example.

Keywords ：two-sided matching;biases matrix factorization;incomplete preference values;matching optimization model

中图分类号 ：C934

文献标志码： A

文章编号 ：1006-1037(2019)02-0067-06

doi ：10.3969/j.issn.1006-1037.2019.02.12

收稿日期 ：2018- 12- 20

基金项目 ：省级研究生教育创新项目(批准号：SDYY10233)资助。

通讯作者 ：李军，男，博士，研究员，主要研究方向为计算机工程仿真，

标签：双边匹配论文;  偏差矩阵分解论文;  不完全偏好值论文;  匹配优化模型论文;  青岛大学计算机科学技术学院论文;  青岛大学机电工程学院论文;