解决排列组合问题的有效策略，本文主要内容关键词为：策略论文,排列组合论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
可以说排列组合是研究计数问题的策略学，所以解答排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚是排列（有序）还是组合（无序），还是排列与组合混合问题.其次，要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”.加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满足两个条件：（1）类与类须互斥（保证不重），（2）总类必须完备（保证不漏）；乘法原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性.分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”“类”交叉，有机结合，可以用下面的电路图说明之（完成一件事表明“电路打通——电灯亮”）.
类中有步：先分类再分步，运算特征，和中有积.
步中有类：先分步再分类，运算特征：积中有和.
本文将对几种典型的排列组合问题进行策略分析，拟找到解决相应问题的有效方法，并辅之实例说明，供参考.
1 特殊优先 一般在后
对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排.在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”有时“位置优先”.
例1 0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？
简析1 这里百位与个位是特殊位置，0是特殊元素.若从“元素优先”考虑，则先对0分两类.
注意 合理分类、准确分步是确保问题解决的前提，本题是“分类与分步交叉”的典型例子.
2 排组混合 先选后排
对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列.
例2 4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒内，则恰有一个空盒的放法有几种？
简析 因恰有一个空盒，故必有一个盒内有2个小球，（同一盒内的球是组合），而不同的球放入不同的盒子是排列，因此，这是一个排列与组合的混合问题.可先从四个球中选出两个有
种，并把这两球视为一球与其余两球分别排入四个盒内有
，由乘法原理，共有
种.（同一盒内的球必须一次进入）
3 元素相邻 捆绑为一
对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑并看作1个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素进行自排.
例3 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？
简析 先把3个女生捆绑为1，与其它5个男生全排有
，同时，3个女生自身全排有
，由乘法原理得共有种.
4 元素间隔 分位插入
对于某些元素要求有间隔的排列，用插入法.
例4 5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？
简析 先排无限制条件的5个男生有
种，由于女生不相邻且不可排两头，故3个女生只能分别插在5个男生的5个间隙中，有种（若允许女生排两头，则有
种插法），由乘法原理得共有种.
注意 （1）插入时必须分清“谁插谁”的问题.要先排无限制条件的元素，再插入必须间隔的元素；（2）数清可插的位置数（如本例在男生的两头不能插）；（3）插入时是以组合形式插还是以排列形式插入要把握准.
例5 把1，2，3，…，20这20个数分成四组，若组内的数不少于两个时必须是连续自然数，则有几种分组方法？
简析
由于要求组内的数是连续的，因此，只要不改变由小到大的顺序，并在19个间隙中不相邻地插入3块“档板”，把20个数分隔成4段，即分成了四组，共有
种分组法（这里是以组合形式插入）.
例6 马路上有编号为1，2，3，…，9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？
简析 由于问题中有6盏亮3盏暗，又两端不可暗，故可在6盏亮的5个间隙中插入3个暗即可，有
种.
思考：从1，2，…，10这十个数中任选三个互不相邻的自然数，有几种不同的取法？（
）
5 元素定序 先排后除或选位不排
对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排.或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其它元素进行排列.
例7 5人参加百米赛跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？
简析1 先5人全排有种，由于全排中有甲、乙的全排种数
，而这里只有1种是符合要求的，故要除以定序元素的全排种，所以有/60种.
简析2 先在5个位置中选2个位置放定序元素（甲、乙）有
种，再排列其它3人有种，由乘法原理得共=60种.
思考：要编制一张演出节目单，6个舞蹈节目已排定顺序，要再插入5个歌唱节目，则共有几种插入方法？（有
种）
6 元素分排 直排处理
若n个元素要分m排排列，可把每排首尾相连排成一列，对于每排的特殊要求，只要分段考虑特殊元素，然后对其余元素作统一排列.
例8 2个老师，4个女生，12个男生，排成三排照相，要求第一排5人，第二排6人，第三排7人，且老师在第一排，女生在第二排，共有几种不同的排法？
7 “小团体”排列 先“团体”后整体
对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先按制约条件“组团”并视为一个元素与其它元素排列.
例9 四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要求两名女歌手之间恰有两名男歌手，则出场方案有几种？
简析 由于要求有“女男男女”这样的小团体，故需先“组团”，从四名男歌手中选2人排
8 不同元素进盒 先分堆再排列
对于不同的元素放入几个不同的盒内，当有的盒内有不少于2个元素时，不可分批进入，必须先分堆再排入.
例10 5个老师分配到3个班里搞活动，每班至少一人，有几种不同的分法？
简析 先把5位老师分3堆，有两类：1，1，
注意 不同的老师不可分批进入同一个班，须一次到位（否则有重复计数）.即“同一盒内的元素必须一次进入”.
9 相同元素进盒 用档板分隔
例11 从5个班中选10人组成校篮球队，每班至少1人，有几种选法？
简析 这里只是人数而已，与顺序无关，故可把10个人看成10个相同的小球放入5个不同的盒内，每盒至少1球.可先把10球排成一列，再在其中的9个间隙中选4个位置插入4块“档板”分成5格（构成5个盒子）有
种方法（档板分隔模型专门对付同种元素的分配问题）.
10 两类元素的排列 用组合选位法
例12 10级楼梯，要求7步跨完.且每步最多跨2级，问有几种不同的跨法？
简析 由题意知要有4步单级、3步双级，因此，这是两类不同元素的排列，所以只要在7步中任意选3步双级
即可.
注意 两类元素的排列问题涉及面很广，应予重视，下面给出几例作练习.
（1）3面红旗2面黄旗，全都升上旗杆作信号，可打出几种不同的信号？（种）
（2）沿图中的网格线从顶点A到顶点B，最短的路线有几条
注意 怎样把问题等价转化为“两类元素的排列”问题是解题的关键.
11 个数不少于盒子编号数用填满分隔
例13 15个相同的球放入编号为1，2，3的盒子内，盒内球数不少于编号数，则有几种不同的放法？
简析 由于球是相同的，故先用6个球按编号数“填满”各盒（符合起码要求），再把9个球放入3个盒内即可（同上面的练习（3）），可用2块档板与9个球一起排列（即为两类元素的排列问题），有
种.
12 正难则反 间接处理
对于某些排列组合问题的正面情况较复杂而其反面情况却较简单时，可先考虑无限制条件的排列，再减去其反面情况的总数.
例14 编号为1，2，3，4，5的五人入座编号也为1，2，3，4，5的五个座位，至多有两人对号的坐法有几种？
简析
问题的正面有三种情况：全不对号；有且仅有一人对号；有且仅有两人对号.且每种情况均较难处理.而反面只有两种情况：全对号（四人对号时一定全对号）；有且仅有3人对号.而全对号只有1种方法，3人对号时只要先从五人中选出3人有
13 环状排列 剪断直排
n人围成一圈的排列（称环状排列）.对于环状排列我们可想象成这n人是手拉手的排列.因此，可采用剪断直排法，由于n人有n个连结点，故有n种剪断的方法，故共有
种排法.
例15 4名学生和2名老师围圆桌入座，（1）有几种入座方法？
（2）如果老师必须相邻，有几种入座方法？
（3）如果老师必须不相邻，有几种入座方法？
上面把常见的几类排列组合问题，进行了策略分析，并找到了一定的规律，构造了相应的解决问题的模型，当然，在具体解决问题时，还是要认清问题特征，灵活选用有效策略，以便快速合理地解决问题.
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