小学生真的理解运算法则吗，本文主要内容关键词为：小学生论文,法则论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“数的运算”一直是小学数学课程的重要内容，在课程改革中尤其受到广大数学教育工作者的关注。一方面，《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）对这部分内容的要求有了较大的变化，加强了对于运算意义和算理的理解、算法多样化、估算的价值和策略、使用运算解决实际问题等内容，并适当降低了运算技能的要求；另一方面，随着课程改革的深入，大家越来越关注小学生数与运算的掌握情况，特别是能否在保持我国传统的运算技能优势的前提下，对于课程改革强调的其他方面也有比较良好的掌握。
2003年，在教育部基础教育课程教材发展中心的组织下，成立了“建立中小学生学业质量分析、反馈与指导系统”项目组。作为子项目之一，小学数学组开始了小学生数学学业质量评价体系的研究和构建。小学数学学科的项目目标是依据《标准》，力求反映三年级学生数学学业质量状况，同时为教育教学诊断和质量提高提供依据。本文将以2009年数的运算中一道典型题为例，展示一些测试结果，尝试对课程改革以来小学三年级学生在数的运算方面的部分学业质量作出初步分析。
一、典型试题呈现及设计理由
本项目组在2009年的测试中设计了如下两道题目：
题目1：计算42×25。目的是考查三年级学生是否掌握了两位数乘两位数的法则。
题目2：如下图，在34×12的竖式中，箭头所指的这一步表示的是( )。
A.10个34的和
B.12个34的和
C.1个34的和
D.2个34的和
本题考查的是三年级学生是否理解两位数乘两位数竖式中每一步的含义。
在2009年所做的全国常模抽样测试中随机抽取了1664份样本，学生在题目1和题目2上的得分率分别是0.7010和0.4309，二者有显著性差异。
由上面的题目也可以看出，小学生数学学业质量体系不仅仅考查学生对于知识技能的熟练掌握情况，同时将重点放在了考查学生对于所学习内容的理解上。实际上，本评价体系力求全面考查学生在知识技能、数学理解、运用规则、解决问题等方面的状况。以数与运算为例，根据《标准》对课程内容的要求，“数的运算”的测试框架分为两个方面。
1.内容领域
“数的运算”主要涉及三方面内容：①使用法则进行计算，形成基本的运算技能。如能正确计算三位数加减三位数、三位数乘一位数或两位数乘两位数、三位数除以一位数、自然数四则混合运算、购物情境中一位小数的加减法、同分母（分母小于10）分数的加减法。这里既包括法则的使用和技能的形成，也包括对于法则及其法则背后道理（即“算理”）的理解。②结合具体情境进行估算。包括估算的意识和估算的方法。③运算的意义及解决实际问题。“数的运算”学业质量的测试力求全面包含以上三个方面内容。
2.能力维度
(1)事实性知识和简单技能
本项目2009年测试主要定位在运算技能的考查上。测试的题目包括计算三位数加三位数（连续进位）、三位数减三位数（连续退位）、两位数乘两位数、三位数除以一位数（商中间为0）。
(2)数学理解
本项目特别加强了对干数学理解题目的设计，在2009年测试中主要定位在：理解运算的意义，并进行合理的判断；理解运算法则和运算法则的道理（即算理），并进行合理解释、判断或应用；理解问题情境中的数量关系。
(3)运用规则
本项目2009年测试主要定位在：运用规则进行估算以及解决简单的实际问题，这些问题都是学生在学习过程中遇到过的，相对是比较熟悉的。
(4)解决问题
本项目2009年测试主要定位在：在具体情境中，学生能否判断什么时候使用估算更合理；学生能否灵活运用不同的方法解决生活中的简单问题，这些问题对于学生来说是陌生的、非常规的。
上面的例题2显然属于“数学理解”中对于两位数乘两位数运算法则道理的考查。之所以设计题目2，源于笔者与学生的一次谈话。在笔者与一位三年级学生讨论如何计算两位数乘两位数的题目时，他很快利用竖式给出正确的结果。笔者进一步追问竖式的“第二层”（即题目中箭头所指的这一步）是怎么得到的，他快速地回答道：“老师告诉的，用1乘34，乘完向左错一位，我也不知道为什么”。这次简短的谈话引起了笔者的深思：到底有多少学生真正理解了法则，而不仅仅是机械套用呢？
有一些教师可能有这样的想法，计算教学只要学生把法则背诵下来，反复练习就可以达到又对又快，似乎没有必要花时间去讨论算理。这里首先需要明确的是算理、法则的内涵及其两者的关系。算理是四则运算的理论依据，它是由数学概念、运算定律、运算性质等构成；运算法则是四则运算的基本程序和方法。算理为法则提供了理论依据，法则又使算理可操作化。由此不难看出，教学中既要重视法则的教学，还要使学生理解法则背后的道理。不仅要让学生知道该怎么计算，而且还应该让学生明白为什么要这样计算，使学生不仅知其然，而且还知其所以然，在理解算理的基础上掌握运算法则。
二、典型试题的测试结果分析
上面已经提及，在2009年所做的全国常模抽样测试中，学生在题目1和题目2上的得分率有显著性差异，并且在测试的各个地区，题目2的得分率都是比较低的，大部分在50%左右。题目2的得分率低，固然可能是由于学生对于这类题目不熟悉，但不得不说，确实有不少学生并不真正理解法则的意义，特别是本题最多的错误选项是C，更加说明了这一点。
是什么造成了这样的结果？显然必须去了解学生的真实思考过程，这样才能为教育教学的诊断提供依据，这也是本项目目标的重要方面。由于项目组无法再对测试对象作进一步的深入访谈，这里只呈现项目组曾经经历过的一次学生调研的过程。调研的学生是三年级已经学习过两位数乘一位数的学生，调研他们能否在已有知识的基础上独立完成两位数乘两位数，以及他们在此过程中遇到的主要困难是什么。尽管这次调查只是一个尝试，但使我们对不少问题有了更深的认识。调研的对象是北京市某小学的40名学生，该学校的教学水平在北京市属于中等偏上。调研题目是要求学生想办法计算14×12。结果40名学生全部用竖式计算，其中22名学生基本正确（包括方法正确，但计算时出现了错误），18名学生出现了较大困难。进一步，我们又对所有做错的学生及部分做对的学生进行了访谈，结果发现学生确实存在着比较大的困难；即使是做对的学生，部分也存在着只是机械套用法则的现象。下面摘录两位学生的回答。
访谈1 （访谈对象是一名做错题的学生）
师：14×12=?你是怎么算的？
生：第一行：4×2=8，1×1=1（“竖”着乘）。
第二行：1×2=2，4×1=4。（“交叉”乘）
师：为什么要这么算？
生：回答不上来。
在上面的访谈中，学生“自创”的竖式体现出他并不知道应该怎么做，更没有自发地想到将14×12转化为已经学习过的知识。
访谈2 （访谈对象是一名做对题的学生）
师：14×12=?你是怎么算的？
生：列出正确竖式，并回答正确。
师：第二行为什么要这么算？
生：奥数教的。
师：为什么“14”要向左错一位？
生：回答不上来。
在上面的访谈中可以发现，学生看起来掌握了法则，实际上并不理解这样做的道理。
面对上面的访谈结果和题目1、题目2的测试数据，项目组的老师们在一起进行了反思。一方面，大家感受到学生在独立解决此类问题时确实存在着比较大的困难。实际上，学生要完成两个过程：第一，要将14×12转化为已经学习过的知识，比如学生可以利用“拆数”将其转化为“10×12，4×12，再相加”，或者将其转化为“14×6×2”。而这一过程学生并不是如我们所想的那样，可以毫无困难的自发完成。而许多老师包括教材都没有重视这一过程，没有提供适当的帮助引导学生进行转化。第二，要进一步将“10×12，4×12，再相加”的过程写成竖式。而这个过程也不是自然形成的，这在后面的案例中将会体现。
另一方面，在实际教学中，不少教师或者不重视学生探索计算的过程，或者当学生刚刚探索出方法后，就立即引导学生学习竖式，在学生对竖式还未真正内化的情况下，教师又开始引导学生学习“简化”的竖式（即箭头所指的那一步要把340的末尾0写成虚的，意思是可以省略不写，最后再把0省略掉）。这样仓促地完成几个内容的教学，就可能造成学生因为没有真正理解竖式每一步的道理，就只好记忆法则。再加上，教师在后面的练习中不注意促进学生在记忆基础上再次理解，学生产生“老师让我们这么做就这么做”的想法就不足为奇了。据此，笔者以为，教师应在学生探索算法的基础上，切实引导学生将法则进行内化，重视对于运算道理的教学。同时也建议在教材和教学中无需强调“虚”，更不必去掉竖式“第二层”末尾的0。
当然，这次访谈也引起了我们一些其他的思考。比如，面对不会做的题目，即使答案不合理（比如上面的那位学生14乘12得到60），却没有一位学生主动地寻求合理方法，比如画图、操作，利用乘法的意义将14×12转化为12个14相加等。又如，参与研究的教师都表示，没有想到学生会遇到这么大的困难，而我们调研的班级并不是一个学习水平较低的班级，由此可见真正了解学生是多么重要。
三、测试结果对于教学的启示
1.通过多种方式帮助学生理解算理
第一个重要的启示就是教学中要切实重视算理教学。为了帮助学生更好地理解算理，教师要善于选择多种方式进行教学。常用的理解算理的方式有实物原型、直观模型、已有知识等。其中实物原型指的是具有一定结构的实物材料，如“元角分等”的人民币、“千米、米、分米等”的测量单位；而直观模型指的是具有一定结构的操作材料和直观材料，如小棒、计数器、点子图或方块图、数直线。
这里想特别强调直观模型的重要性，这也是我国教材和教学中相对比较忽视的。比如，在两位数乘两位数教学中，很多教师都认为既然学生已经有了两位数乘一位数竖式计算的基础，两位数乘两位数不需要再借助一些直观模型了，所以在实验教材中也看不到直观模型。就在大家习以为常的时候，一节课打破了“平静”。在这堂课上，老师在进行教学时为学生提供了一张“点子图”，同时要求孩子“利用你手中的点子图，在上面画一画，然后找到解决14×12，12×14的办法，并把你的想法和思考过程写在纸上。”
以下是部分学生的结果：
可以看出，借助对于点子图的拆分，学生探索出不同的计算方法。学生4使用的方法，自然地将12拆分为10和2，分别用10和2去乘14，然后再相加；而学生5不仅写出了正确的乘法竖式，而且能将其中各部分与点子图对应，说明他是真正理解了这样写的道理。这节课引发了项目组老师们的思考：为什么在这节课中，学生那么自然地想到了“拆数”的方法？这个现象的出现是偶然吗？进一步，在上面呈现的调研中，学生不借助直观模型直接计算时，会出现不少困难，这些困难能通过直观模型来克服吗？学生在探索方法和理解算理的过程中，直观模型真的起作用吗？
于是，我们对上面提到的40名学生中18名出现错误的学生作了进一步的调研，请他们借助上面的点子图完成两个任务：
任务1：借助点子图思考如何计算出14x12的结果。
任务2：如果能够计算出正确结果，将计算过程写成竖式。
通过访谈发现，18名学生都能根据点子图通过“拆数”的方法（如上面学生1到学生4的方法），得到计算结果；但作为竖式计算的基础，需要将数拆分成10和几（如学生4），部分学生则需要引导才能想到。对于任务2，8名学生能够独立完成，10名学生则遇到较大的困难。下面是对上面访谈1中那名学生的进一步访谈，这位学生借助点子图独立完成了任务1，括号内为笔者注释。
访谈3 （对于访谈1中学生的再访谈）
师：这个图的点子数，你是怎么算出来的？
生：14×10=140，14×2=28，140+28=168（没做任何引导，看点子图学生就自然地将12分成10和2，看来图对于这名学生是有用的）。
师：你怎么想到10？
生：我不会算14×12，但我知道10个14是140。
此时，老师要求他在点子图上圈一圈，生能圈出10个14，2个14。
进一步，教师想了解点子图对于他修改原来的竖式是否有帮助。
师：点子图与竖式时比你发现了什么？
生：都是14乘12，一样。
师：那用竖式应该怎么算？
学生给出了新的竖式（见右图）：
（虽然学生的写法还是错误的，但他已经不是“瞎写”，而是试图表现出刚才的思考过程：14×10=140，14×2=28，140+28=168。这一方面说明借助图他反思了自己原来的写法，另一方面说明由刚才的思考过程到正确写成竖式中间还存在着困难。）
师（帮助他修改）：应该写成14×2=28，再算什么？
生：140+28=168（在老师指导下学会写竖式）。
然后，学生独立完成26×14，36×13，竖式全部正确。
师：看这几道题你发现了什么？
生：比如36×13，把13拆成10和3，36×3，再算36×10，再加起来。
师：点子图有用吗？
生：有用，可以把12拆成10行和2行。（这句话说出了图对于学生的帮助作用）
类似的访谈还有很多，这里就不再—一赘述了。面对这样的调研结果，我们不难得到如下的结论：所有开始时有困难的学生借助点子图全部完成了任务1，而且都采取了“拆数”的方法将其转化为两位数乘一位数。同时，由于拆法的不同从而产生了多种算法。由此可见，直观模型对于学生的探索是有很大帮助的。并且，对比没有模型时学生得出的结果，无疑证明直观模型是有用的。当然，教学中也不能为了模型而模型，应该认真研究各种直观模型的价值，特别是需要认真进行学生调研，了解学生是否需要借助模型来帮助理解。同时，把思考过程表述成竖式，有时并不是自然完成的，如上面访谈的学生。因此，教师要充分意识到这个过程的重要性。
2.重视计算法则的内化与形成过程
让我们回顾前面提到的题目2.学生对于竖式的理解情况不尽令人满意，原因一方面可能是由于教师不重视学生对于算理的理解；另一方面，有的教师重视了让学生去探索如何计算，并在此基础上帮助学生理解算理，但是往往忽视了另一个重要的过程——“计算法则（或个体使用方法）的内化与形成”，也即当学生经历了算法多样化并且对于运算的道理有所理解后，还需要学生将众多算法中自己选择使用的方法或者常规的计算法则进行再熟悉，以达到内化的目的。
对于以上的现象，徐斌指出：“……反映了现在计算教学中的又一对基本矛盾——算理直观与算法抽象。在教具演示、学具操作、图片对照等直观刺激下，学生通过数形结合的方式，对算理的理解可谓十分清晰，但是好景不长，当学生还流连在直观形象的算理中，马上就得面对十分抽象的算法，接下去的计算都是直接运用抽象的简化算法进行计算。笔者认为，在算理直观与算法抽象之间应该架设一座桥梁，让学生在充分体验中逐步完成‘动作思维一形象思维—抽象思维’的发展过程”[1].在文中，为了说明这一基本矛盾，他列举了“14×2”的教学片段：
首先出示情境图——两只猴子摘桃子，每只猴子都摘了14个。让学生提出问题：一共摘了多少个桃？并列出乘法算式2×14。
接着，让学生独立思考，自主探索计算方法。有的学生看图知道了得数，有的学生用加法算出得数，有的学生用小棒摆出了得数，也有少数学生用乘法算出了得数。
然后，组织学生交流汇报自己的计算方法。老师在分别肯定与评价的同时，结合学生的汇报，板书了这样的竖式（下图左）
同时，老师结合讲解，分别演示教具、学具操作过程，又结合图片进行了数形对应。
最后，老师引导学生观察这种初始竖式，通过讲解让学生掌握简化竖式的写法（上图右），再让学生运用简化竖式进行计算练习。
在上面的案例中，学生借助多种手段计算出结果，并理解了算理后，教师很快讲解并要求学生掌握简化的竖式，从而从算理的直观立即进入了算法的抽象。徐斌建议：“形成了初始竖式后，不必过早抽象出一般算法，而应该让学生运用这种初始模式再计算几道题”[2]，并给出了如下的教学片段：
师：（在学生理解了14×2的初始竖式后）我们一起来用这样的竖式计算。
（请三名学生上台板演，其余学生自己尝试解答）
师：我们来看黑板上的竖式。这些算式有什么共同的地方？
生1：它们都是两位数和一位数乘。
生2：第一次乘下来都得一位数，第二次乘下来都得两位数。
生3：我发现第二次乘下来都得整十的数。
生4：我发现得数个位上的数就是第一次乘得的数、得数十位上的数就是第二次乘得的数。
师：大家观察都很仔细，那么你觉得像这样写怎么样？
生1：比较清楚。
生2：清楚是清楚，不过有点繁，有些好像不要写两次的。
师：是啊，要是能简单些就好了。
生3：其实这个竖式积里十位上的数字可以移动到个位数字的左边来，其余可以擦去的。
师：哦，你的想法挺好的，我们一起来看屏幕——
（屏幕上动画演示竖式由繁到简的过程）
师：老师也来写一次，你们看——这样写比原来是不是简单多了？
生：（齐）是！
师：我们以后列乘法竖式时，可以选择简单的方法来写。
师：刚才写的三道竖式，你们能不能把它们改成简单的写法？
（原来板演的三名学生上台，其余学生也动手将初始写法改成简单写法）
在上面的案例中，在引出了“初始”竖式后，教师没有马上进一步讲解“简化”的竖式。因为后者是对前者的“压缩”，如果学生没有对前者的切实理解和内化，往往实现不了这种“压缩”，从而造成困难。于是，教师鼓励学生运用“初始”竖式再做一些题目，在此过程中进一步理解算理，同时将计算方法进行内化。在此基础上，再引入“简化”的竖式，并通过比较体会它的好处。这一过程体现了“让学生充分体验由直观算理到抽象算法的过渡和演变过程，从而达到对算理的深层理解和对算法的切实把握”。
笔者虽然不完全同意使用“算理直观”和“算法抽象”的词语，但对上述观点是赞同的。甚至建议教师不一定在一节课上就让学生实现“初始”竖式的“压缩”，而要充分建立“初始”竖式与学生算法多样化之间的联系，真正使学生理解算理，内化计算方法。总之，在算法多样化的基础上，教师既要沟通各种算法之间的联系，凸显算理；又要让学生对于常规法则（或者学生个体选择的方法）进行充分内化，然后再进入到巩固练习的阶段。比如，在计算两位数乘两位数14×12时，在学生探索出14×10=140，14×2=28，140+28=168后，教师可以鼓励学生将三步分别写成竖式，练习几个题目熟悉后，再呈现“压缩”后的竖式，并对它们进行比较，使学生真正理解“压缩”后的竖式每一步的含义。
以上以2009年数的运算的一道典型试题为例，说明了小学三年级数学学业质量评价的基本目的和学生在算理方面的状况，以及对于教学的一些建议。总之，课程改革进行到今天，迫切需要建立一套合理的测试系统，开发大量适当的题目，来科学评价学生的学业质量，并由此进行诊断，既肯定课程改革取得的有益变化，又发现可能存在的偏差。本项目只是一个开始，希望能够引起更多人对此问题的关注。