中英高中数学教材比较研究——以英国AQA考试委员会与北师大版高中数学教材平面向量为例，本文主要内容关键词为：高中数学论文,教材论文,向量论文,英国论文,为例论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、前言
英国高中（英国称为“第六学级”）没有“官方的”统一数学教材，教材的编写、出版和使用也不需要得到任何官方机构的批准，这是长期以来的传统，暂时还没有改变的迹象.任何人，无论他的专长是什么，都可以编写学校课本，只要有出版商给予商业上的支持，就可以出版.文[1～6]中已经分别介绍了英国的高考（英国称为A水平考试）考试模式及考试内容，英国几个负责英国A水平考试的委员会也各自编写高中数学教材供学生使用.中国大陆高中阶段的数学教材在2004年高中新课程标准颁布之前一直由人民教育出版社一家单位组织编写出版，从2004年后，新高中数学教材的编写出版采取一纲多本的原则，任何单位和个人编写的高中数学教材，只要通过教育部专门的教材审核委员会审核通过就可以在全国各个地方的高中阶段被选择使用.英国高中教材有很多不同于中国大陆数学教材的特点.英国高中数学教材通用于全球各个国家针对英国A水平考试的辅导学校相应年级，中国大陆各A水平考试辅导学校虽然一直使用英国原版教材多年，但是对该系列教材的系统研究在国内尚属少见.本文以英国AQA考试委员会编写的高中数学教材（以下简称英国教材）纯数学（Pure maths）模块中的平面向量和北京师范大学出版社《数学4》（2005年第2版，以下简称中国教材）中的平面向量模块从学习内容范围、知识呈现方式、练习题特点等方面加以比较，旨在以具体知识模块为例就中英两国高中数学教材的知识呈现方式和学生学习模式作出比较，为今后更为具体细致的研究积累资料.
二、中英高中数学教材比较
1.中英数学教材的直观特点比较
英国高中以下各个学段数学教材都是色彩鲜艳，视觉效果很华丽，每一页不同部位采用不同的颜色修饰，小学和初中数学课本中图片繁多，但是同时也可能干扰和分散了学生对具体数学知识的注意力，而高中数学课本因不同出版社或不同考试委员会的教材而具有不同的风格.爱德思（Edexcel）考试委员会的高中数学教材色彩比较丰富，而且其中用很多圈图把关键的步骤和结果、性质、定理等围起来或者用箭头将相关步骤连接起来，主要是为了让学生理解不同数学步骤的推理过程以及强调重点知识点.但是AQA考试委员会编写的高中数学教材风格不同于爱德思（Edexcel）考试委员会的高中数学教材，整个教材没有彩色图案，也没有提示性、标示性的符号，色彩单一，整本教材均以形式化数学符号为主，附以适当的英文表述，总体风格和中国大陆上世纪80年代高中数学教材相似，相比较而言，中国现行高中数学教材色彩多样，相关图象、照片丰富多彩，定理、性质用不同色彩的底色衬托，练习题和习题也以彩色底色衬托，而且在向量的平行四边形法则以及三角形法则中对不同标示目的的向量用不同颜色的线条表示，视觉感受舒适，更加具有趣味性和富有感知性.鲜艳的色彩和图标对低年级学生的学习有帮助，但是对于抽象思维能力较高的高中学生是否还需要这样处理，艳丽的图案是否会干扰和分散学生对数学的注意力，同时颜色和色彩深浅的选择需要参考心理科学的相关结论，这个问题还需在数学改革和完善中不断探索.
2.中英平面向量学习内容及其呈现顺序比较
英国对向量的学习在不同的数学学习模块中都有学习要求，在力学数学（Mechanics maths）和纯数学模块中都有对向量的学习要求，而纯数学和力学数学模块有各自不同的数学教材，力学数学中对向量的学习完全是融合在牛顿力学背景情景下学习，根本上不同于中国纯数学环境下的向量学习方式，这里仅以英国AQA考试委员会编写的高中数学教材纯数学模块中的平面向量和北京师范大学出版社编写的高中数学教材中的平面向量模块加以比较.表1列出了两国高中数学教材中向量内容和知识点顺序结构.
从表1所列中英向量学习内容可以看到：中英两国高中数学教材对平面向量的学习顺序都是按照向量基本概念→向量的加、减法→向量的乘法（数量积和矢量积）→向量的应用，但是中国数学教材中没有位置向量、向量的射影、向量的矢量积等英国教材中具有的内容，英国数学教材中没有介绍中国数学教材中讲授的应用向量的数量积求点到直线的距离.同时在英国教材中向量分解一节中讲授的内容实际上和中国数学教材中的“平面向量的坐标”内容大致相同.由此可见，中英两国高中对向量的学习内容大致相似，英国教材中数学学习的向量内容略多于中国教材中的向量内容.
3.中英教材知识呈现结构特点比较
（1）知识引入方式不同
英国教材每章开头都会首先给出本章学习目标（objectives），让学生第一眼就知道该章内容学习的方向.例如在向量一章就有这样的教学目标：理解向量和标量之间的区别；能够找到一个向量的大小和方向；掌握两向量的和，数和向量的乘法；掌握向量的几何表示法；会求解向量的数量积和矢量积并解释其意义.
中国教材中并没有在每章章首列出该章学习目标，而是通过一个实际问题情景（如位移、速度等）引出该章基础概念或定义，逐层推进，螺旋式提高难度.在向量一章就是先通过民航航班飞行的位移和运动员投掷标枪的标枪运动位移引出向量概念的.对大多数新的概念和性质，中国教材都尽量采用实际问题情景来引出新概念、新性质.中国的这种融纯数学概念、性质于实际问题情景中的学习方式和新课程改革中“强调数学实质、注重数学应用”、“高中数学应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值”、“高中数学应力求使学生体验数学在解决问题中的作用、数学与日常生活以及其他学科的联系”、“数学课程要通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使得学生理解数学概念、结论逐步形成的过程”的理念有关.而英国纯数学教材中除在向量的应用一节中有少量实际问题情景外，几乎没有看到实际生产、生活情景融入其中，都是以纯数学形式呈现给读者.但是综观英国初中和小学阶段的数学教材，却看到和中国数学教材相似的特点：融应用和实际情景于数学中.英国高中阶段对向量的应用是通过专门的力学数学来学习的，内容全部是中国高中物理中力学的内容，在中国学生看来应该不像是数学教材，倒更像中国的物理教材，中国虽没有专门的、单独的向量应用模块教材，但是对抽象思维能力已经较好的高中学生是否还有必要大量采用实际问题情景的方式呈现数学知识，还需要在新课程推广的教育教学过程中不断总结，不断完善.
（2）向量知识呈现顺序和学习方式基本相似
英国教材中每节都有相对固定的知识呈现结构和学习节奏：新概念（或性质、定理）→举例→例题详细解答→练习活动→习题训练.在每节开头都会开门见山，首先给学生呈现本节基本概念、性质或公式，然后举例（example），通过例题提出与刚刚介绍的概念、性质或公式相对应的问题，随后给出该问题的详细解答步骤（solution）.这样的例题和解答可能只有一组，也可能两组以上，这要根据该性质或概念的难度来确定.向量的加法、位置向量这一节就有两组例题和解答，而在每节中都有一个或一个以上的练习活动（activity）.练习活动数量和安排的位置根据知识点的难度和该知识点在本章中所处的重要性决定.重点知识点安排两个或两个以上活动，有些活动随后给出结果，有些活动不提供结果.活动有引导学生继续深入相关知识学习和扩展知识面的作用，如在向量的矢量积中就安排提供计算结果的活动.
从活动9可以看到该活动是对向量的矢量积加以拓展，和行列式联系起来，也便于学生记忆.
这些设问问题很明显地具有引导学生自己探究相关问题，或者引导学生继续深入思考相关问题的意图.中国教材中没有区分活动题和训练题，只有节后练习题，具有英国教材中活动题和节后训练题的双重作用.
英国数学教材例题和活动的难度安排呈现螺旋式上升趋势，这个特点和中国教材基本相似.但是英国教材中例题和活动数量比中国教材的例题更加多样.例如在“向量的应用”中就包括向量的射影、求三角形的面积、力所做的功3类例题，难度逐步上升.
4.中英平面向量和空间向量的学习内容设置模式比较
（1）对平面向量和空间向量之间的关系处理方式不同
中国教材的平面向量作为必修内容和作为选修内容的空间向量不在同一本数学课本中出现，平面向量在必修4中学习，空间向量在选修2-1中学习，文科学生不学习空间向量；而英国把平面向量和空间向量安排在一起学习，分为连续两章，先学习平面向量，紧接着继续学习空间向量（英国AQA数学教材称空间向量这一章为“向量几何”）.相比较而言，研究者认为：英国把平面向量和空间向量安排在一起连续学习更加合理，符合学生学习心理，连续地逐步升高难度，而且知识的完整性没有破坏，同时也能防止间断性学习时学生忘记以前学习过的性质和定理等现象发生，教师也不需要再不断地引导学生复习一年前学习的内容.
（2）均对计划报考不同专业的学生提供不同的学习内容
英国在纯数学学习模块的教材中对向量的呈现基本上是纯数学的形式出现，各种定义、性质、定理基本上都是直接以形式化的定义、性质、定理等直接呈现给读者，很少将向量在结合现实应用情景中呈现，在本章中专门有一节“向量应用”，其中明确告诉学生，该节主要学习向量在除流体力学之外的力学中的使用方法，而且提醒学生进入大学后还会学习包括流体力学等各种物理知识范围内涉及的更加广泛的向量的应用，而在力学数学中的向量学习则完全融合在牛顿力学的具体应用情景中出现，使学生在学习过程中能够明显感受到向量的数学应用实质，这样处理对于以后计划学习工程科学的学生来讲有非常好的学习效果和实际意义，而中国大陆对向量的学习基本上是以纯数学方式呈现，只是在每节开头为了引出新概念或性质而增加一个引言性质的结合向量各种概念、性质等的实际问题，对具有不同专业学习目标的学生没有区分向量学习内容.研究者认为：英国针对具有不同专业学习目标的学生分别采用有针对性的学习内容和方式，有利于学生长远发展，中国今后是否考虑可以向这个方向发展[7].
5.例题和练习及习题设置的比较
英国教材和中国教材均有例题、练习题（英国称为活动题）和习题，英国教材还有一种设问题，自问自答，目的是引导学生自己思考；平面向量一章共有问答题8个，活动题9个，例题16个，习题40个.练习题量比较大，内容丰富、新颖，每节习题包括概念题、常规计算、证明题、应用题、探索题.每章结束的章混合习题，包括覆盖本章所有知识点的各种习题，包括计算题、回答题、证明题等各种题型.习题设计新颖，风格各异，服务于特定的教学目的，满足不同能力层次培养的需要，但是在章混合习题中未看到应用题出现，都是纯数学习题.中国教材有27道例题，32道练习题，50道习题.从总数上看，中国教材在例题、练习题、习题数量方面比英国教材多，但是两国教材对部分知识点上配置习题数量有较大差异，例如中国教材对“平面向量基本定理、平面向量的坐标表示、向量平行的坐标表示”等这几个知识点共配置26道练习题和习题，而英国教材对上述几个知识点只有7道习题，中国对“向量的数量积及其坐标表示”共配置16道练习题和习题，而英国教材对上述知识点只配置两道练习题和习题等等，可见两国就相同知识点对学生的训练要求有不同的教育目标设想，中国教材因为此次基础教育课程改革倡导加强学生数学应用能力的要求，所以各个知识点习题中应用性习题占很大比重，而且主要是体现在生产、生活中的应用问题，相反，英国对数学知识点的应用不仅体现在实际生产、生活中的应用，而且包括该知识点在其他知识点中的应用，例如对“向量应用”知识点就包括向量在初等射影几何中的应用、在物理功和能中的应用、在三角中的应用等.
中国教材每节都有一个练习，包含几个与本节知识点相关的习题，在每章中间会根据相关度较高知识点模块设置几个习题组，分为A组和B组两类，B组习题难度大于A组习题，每章末尾都有总复习题，题量较大；英国教材中重点知识点例题数量和中国教材例题数量相当，习题和数学活动数量略少于中国教材，但是因为章混合习题题量较大，所以习题总体数量和中国教材相差不是很大，英国教材每节都有活动题和训练题组（exercise），活动题根据学习需要随时穿插在各节知识的学习过程中，用于引导学生加深对刚刚学习的概念、性质的理解，其功能相当于中国教材中的练习，但是中国教材的练习只出现在每节的末尾，例如英国教材中在第一节向量的概念介绍过程中间就有一个练习活动：找出一些标量和向量并说明他们的区别.在向量的数量积一节有这样的活动题：已知向量
，在下列条件下求出m.①若
平行于
；②若垂直于；③若与之间的夹角等于30°.
英国教材中的训练题组（exercise）没有根据难度分组，有计算、证明、画图等各种题型，涉及该节知识点的各个方面.英国教材在绝大多数小节都有一个训练题组，每个训练题组有5～6道练习题，用来巩固对该节知识的学习，同时也检验了学生对该节知识的掌握程度.这种情形和中国教材相似.但英国教材中的活动题和训练题略有不同，活动题主要侧重于对刚刚学习的数学概念、性质的较为直接和浅层的训练和巩固，同时启发学生对该概念或性质发散思维，变式思考，比较贴近概念或性质的基本特征，活动题的训练针对具体某一知识点设计，而训练题则具有相对综合性和复杂性，有一定难度和较大的坡度.
6.平面向量相同知识点处理方式的异同比较
中英两国高中教材中绝大多数数学符号表示方法都相同，但是因为基础教育阶段的国际交流较少，所以中英两国高中数学中部分概念、性质、定理的表述和表达方式存在部分不同.比如在中国教材中的勾股定理在英国教材中称为毕达哥拉斯定理，我国对手写体单个字母表示向量时按照规定是在表示向量的字母上面画线，例如向量
，而英国教材中却规定在表示向量的字母下面画波浪线，例如向量
，中国教材中把手写体单位向量用
表示，而英国教材中把手写体单位向量用
表示；英国教材中对向量减法的处理不同于中国，只是把向量减法作为加法法则的两种不同情况之一，也没有专门的减法法则和图形运算规则，加法和减法运算安排在同一节，而中国数学教材中对向量加法、减法都有各自的图形运算规则，且加法法则和减法法则各安排一节来学习，体现出对减法运算法则的重视.在向量的合成与分解部分，我国在本章只学习二维空间内的向量的坐标表示以及向量在平面内的分解，而英国教材中却在学习平面向量内二维向量坐标表示的同时，也学习了应该属于下一章坐标几何部分的三维坐标系内的向量坐标表示方法：在三维坐标系中的向量，一个点P（x，y，z）的位置向量
，它的模为
，接着给出两个三维向量之间的位置关系、两个三维向量的加减运算、两个三维向量相等的条件等，拓展了学生对向量的认识空间.
中国教材对向量的坐标表示的思路：普通笛卡儿坐标系内的向量表示（平面向量基本定理）→直角坐标系内的向量坐标表示→平面向量线性运算的坐标表示→平行向量的坐标表示，用三节课时来学习.而英国教材对该知识点的编写思路：三维空间内的向量坐标表示（用矩阵表示）→平面内（二维空间）向量的坐标表示，只用一节课时就学习完上述内容.研究者认为两国对该知识模块的处理各有优劣，中国教材对该知识点的处理比较符合高中学生学习心理认知特点，因为学生在学习平面向量的过程中突然插进三维空间的坐标系会让学生有无关知识之间脱节的感觉，英国教材是在学习完三维空间内向量的坐标表示后，把二维平面向量作为三维空间的一种特殊情况（一个单位向量的系数为0）处理，英国教材中没有在学习三维坐标系后进行二维坐标系的专门学习，可能给学生增加理解上的难度.
中国教材中对力做的功是和向量的数量积联系在一起的，把力所做的功的计算公式作为向量的数量积的实际应用背景知识，从力做的功的理解引出向量的数量积；而英国教材是先学习向量的数量积，是直接以形式化的方式给出向量的数量积公式：
以及相关的性质.力所做的功在本章最后一节“向量的应用”中才来学习，而且其中没有明确说明向量的数量积和力所作的功之间的关系，有期望学生通过探究学习而理解两者之间关系的意图.两国数学教材在最后均安排“向量的应用”，而且都是给出向量从几何和物理两方面的应用.
三、启发和思考
1.英国教材章首呈现本章学习目标的预览模式有利于学生自学
英国教材在章首就列出该章学习目标，让学生刚刚接触新内容时就通过预览该章学习目标获得本章主要学习内容、重点内容以及各个知识点的呈现顺序、各个知识点之间的基础和提高之间的逻辑关系，同时也让学生刚开始就了解到该章内容的各个知识点需要掌握的程度：理解、发现、进行运算、欣赏、估计和解释等.很大程度上有利于学生对整章内容提前有一个总体的认识，同时还可以按照目标要求中所列的针对不同知识点的不同掌握程度有重点地进行学习，提高学习效率，也有利于提高复习效率，不至于造成没有重点地学习，也避免了无目标地“撒胡椒面”式的盲目学习——虽然所有内容都学习了，但是因为没有抓重点，没有集中力量突破重点而影响了其他相关知识点的学习.而且如果一开始就了解了各个知识点之间的逻辑顺序关系，在学习过程中能够较好地前后知识点之间结合思考，增强了学习效率；这种知识呈现模式显然有利于学生对照目标进行自学.中国教材章首开门见山式的知识呈现模式可能基于对学生自学能力的不信任造成的，从教材中大量采用问题实际情景与数学结合的知识呈现模式也可感受到此观念的因素，因为中国在此次课程改革之前的传统数学教学内容被认为抽象程度较高，部分内容“繁、难、偏、旧”，不利于学生自学；高中学生的自学能力已经随年龄增长而抽象思维能力大大增长，应及时引导学生进行自学，如果刚开始学习该内容时让学生了解了各项学习目标和主要学习内容、重点内容，要求掌握的程度等，有利于学生对照目标提纲自学，也有利于提高复习效率，在不断克服数学问题的学习过程中逐渐增强学习信心，提高学生学习数学的兴趣，有利于教师有针对性地进行教学，增强学习效率.
2.英国教材难度和容量更大
中国教材中没有位置向量、向量的射影、向量的矢量积等向量内容，而英国教材中这些内容是重点.从上述内容可以看到：中国教材中例题和习题数量多于英国教材，主要目的就是通过不同类型的例题和习题引导学生更加清晰地掌握相关概念和性质，但是也占用了更多空间和学习时间，不能像英国教材那样扩充更多的向量内容，缩小了高中学生的向量知识面.中国多年来津津乐道的国内中学数学的高难度和英国高中数学相比还是有一定距离，尤其是此次基础教育课程改革后采用的高中数学教材，整个高中阶段英国学生学习的数学内容从容量上总体上远多于中国高中生的数学学习内容，难度也超过中国教材，英国作为老牌发达国家，其中学数学学习内容应该说是长期积累、久经考验和总结的结果，很多地方还是很值得中国高中数学教育借鉴的.
3.英国纯数学形式的高中数学教材模式需要继续探讨
从英国AQA高中数学教材知识呈现形式看，该教材与中国20世纪80年代使用的以俄罗斯中学数学教材为蓝本的高中数学教材编排方式相似，很少有实际应用背景知识出现，同时在习题中也很少看到应用题或数学模型题的出现，完全不同于中国现行高中数学新教材的模式，中国自2004年开始使用的高中数学教材为了突出数学实质，让学生了解数学知识的来源和产生过程以及实际应用方法，一味强调数学与现实应用背景相联系，教材中充满实际问题，虽然在一定程度上让学生掌握了数学的应用方法，相应地也减少了课堂知识容量，而形式化作为数学的基本特征是否需要在高中阶段降低其抽象性还需要探讨[8].
4.中英两国向量知识的学习方式各有优劣
英国把力所做的功安排在本章最后一节“向量的应用中”，而中国把力所做的功安排在“向量的数量积”中，作为向量数量积的实际背景知识，用于通过实际应用环境引出向量数量积，模式为：应用背景→形式化；而英国恰好相反，先学习形式化的数量积，最后提供向量数量积的应用情景，模式为：形式化→应用向量，研究者认为中国的“向量应用背景→形式化”的学习模式更加适合于学生的认知心理特征，应该更有利于学生学习掌握向量的数量积，英国教材专门安排学习“位置向量”内容，而中国教材没有该内容，研究者认为英国“位置向量”一节中重点不是位置向量的定义，而是通过位置向量而利用定比分点公式
（λ∶μ=AC∶CB，点C为AB上的点）求连接向量，
，终点A、B两点的向量AB分点C对应的向量OC的位置向量.这种方法属于向量几何中求线段分点向量的解析方法，用起来简单明快，可以用来证明三角形中线段的平行、两线段交点对应的位置向量等各种几何问题，这种方法的介绍为下一章学习向量几何作了铺垫，下一章“向量几何”中的学习目标之一就是能够求出和使用直线的向量，公式的学习使得前后两章形成一体，前后呼应.中国教材中虽没有专门给出具体的“位置向量”的定义，但是却在向量的加法运算和减法运算中事实上采用了位置向量.
5.英国高中纯数学和应用数学分模块设置供学生选修的模式需要在不断讨论的思考中借鉴
英国高中就同一知识模块为不同专业发展学习需求的学生提供不同的数学学习内容，例如向量就分为纯数学的向量和力学数学中的向量，在纯数学向量学习内容中，绝大多数都是形式化的数学符号推理和计算、证明，也有少量应用问题，就英国纯数学学习内容看，和中国上世纪80年代使用的以前苏联中学数学教材为蓝本的高中数学教材编写形式比较相似，在英国力学数学中的向量内容就基本上全部是力学问题，仿佛不是数学老师应该讲授的，而应该是物理老师来讲授的，而中国教材中的向量内容的安排是“大杂烩”，形式化和应用性融合在一起，在应用性向量的内容中又有各种不同实际情景的应用背景混合在其中，因为新课程改革强调注重应用性的要求，新课程各个版本的高中数学课本中数学知识与实际问题结合的模式处处能感受到，同时又响应“不同数学分支要体现出融合和交叉”的理念，代数、几何、概率、微积分的相互结合的例子也不少，尤其是解析几何中向量与解析方法的结合比较明显，这种“大杂烩”式的编排方式代表了当今数学教育研究领域的一种思想，但是各个数学分支分别学习和融合学习哪种方式更加有效，需要在不断研究其他各国成熟经验和本国不断实验和总结过程中前行.
6.高中数学应用性不能只偏重于生活和生产情境的背景
英国教材中可以看到，向量的应用不仅在现实生活、生产情景中使用，而且广泛应用于其他数学分支，中国在新课程标准中虽然也强调代数、几何等不同数学科目之间的融合和交叉，但是在教材中对具体的数学知识点的应用主要还是表现出更加关注数学在现实生活、生产中的应用，而淡化了一个数学知识点甚至一个数学知识模块在其他数学知识点或其他数学学科分支中的广泛应用.
7.是否可以借鉴英国一次性连续学习完成所有高中阶段同一知识模块的内容
中国教材对同一知识模块的学习基本采用螺旋式上升的学习方式，同一知识模块的内容在各个年级按照难度和基础关系分阶段学习，例如对向量的学习就分别在两个年级学习平面向量和空间向量，这样学习虽然减轻了一时的学生负担，但是明显增加了学生后续学习相关知识的复习和回忆压力，可能还造成部分学生因不能及时复习而增加对新知的学习难度，英国教材中一次性完成了向量的二维、三维空间中的各种定义、定理、性质等，短期内对学生的认识形成一个相对完整的刺激，应该有利于整体知识模块的理解和记忆.
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