高中数学运算核心素养形成的基本过程的探究论文_郑启桂1,,曹炼忠2

高中数学运算核心素养在教材体系里面是逐步渗透，螺旋上升的。在多个板块，既有低层次的数学运算又有高层次的算法思想的渗透。最后在算法板块明确化，并且在多个板块重复体现。所以数学运算核心素养的形成也是由浅入深，逐步升华的。学生形成良好的数学运算核心素养要经过如下过程：

1、理解运算对象

在高中数学运算中，运算对象不仅仅是数与式，还包括例如集合之间的运算、向量之间的运算等。因此在运算之前，首先需要明确的是运算对象是什么，不同的运算对象对应不同的算法，如集合的交、并、补运算与数的加减运算是有区别的。

数学运算核心素养的形成需要学生在情境中明晰和理解运算对象，提出运算问题，建立运算关系。其中，不仅要能够在熟悉的数学情境中明晰对象，还能够在科学、社会、生活等现实情境中，发现或者将现实问题转化为运算问题。需要对问题对象有明晰准确的认识，思考如何建立数学求解模型，用数学符号表达问题。

厘清概念，弄清概念产生的背景和形成的过程，利于抓住问题的本质。比如：在高中数学运算中，向量为代数与几何的融合搭起了一座桥梁，同样在研究物理学的过程中是举足轻重的数学工具。向量的特点是有长度和方向，是高中解析几何、立体几何部分不可或缺的思维路径。加强向量教学过程中概念教学，不但可以使学生更深层次地理解向量运算基础知识，更有利于学生构建体系化的数学运算系统。向量运算包含代数运算、字母运算、多项式运算、变化量运算、函数运算、映射运算等，可以理解为，向量运算基本上涉及了中学数学所学运算法则。基于向量运算的视角分析，课程标准对学会向量加、减、数乘和数量积运算，以及理解其几何意义和共线向量的含义等方面做出了要求。向量的加(减)法、数乘以及数量积运算是无法在学生已学数学知识中找到类似概念，是一种全新运算，应使学生在全过程中理解和领会到数量和运算的每一步变化过程。

2、掌握运算法则

完成运算，得出结果的方法、程序或途径通常叫做“运算法则”，实质上也就是“运算方法”。要懂“算理”，会设计合理的“算法”。“算理”所讲的是各种基本运算的意义、法则、运算律、有关规则和一般步骤之“理”，是对为什么这样规定、它有什么作用的解释。 “算法”是指“算”的途径和方法，并且是可行的和有效的。在构建数学运算核心素养的过程中，要明“理”，要重视讲“理”，重视算法多样化。从概念、性质、公式和法则的理解入手，切实掌握有关知识，才能使运算明确方向，为运算提供可靠的依据，这是正确进行运算的前提。例如,要使学生掌握对数的运算，首先要使他们理解对数的概念,了解引入对数概念的必要性和合理性。了解零和负数没有对数，还要通过证明帮助学生掌握有关对数运算的各种公式。如果学生不理解公式子中的含义，在化简有关的式子时，就会忽视公式、定理的前提条件而出错。理解运算法则是保证运算结果正确的关键，运算法则中蕴含着算理，只有很好地理解算理，才能保证运算结果的准确，例如在指数运算中：积的乘方法则，指数运算的算理在于乘法，而导数运算的算理在于导数定义。

3、探究运算思路

运算思路的产生是解决数学问题的关键，运算思路是在对运算对象深入分析、结合运算对象灵活使用运算法则的基础上产生的，是体现数学运算核心素养的精华。运算是有方向的，在数学运算中要注意运算的方向，例如复合函数的运算方向是由内到外。根据数学情境分析运算条件，确定运算方向。知晓运算法则和方法在数学情境中的意义和作用。运算.此题的解法就是把运算作为推理，反复计算1,2,3,4,5的函数值，从中“算”出规律，并判断其适合于所有的函数值，参考选择支就可得出答案。可积累数学运算素养的基本活动经验，体现数学的简洁美。

4、选择运算方法

选择运算法则与方法，要善于抓住问题本质，能根据问题的条件，寻求与设计合理、简捷的运算途径。我们常常感慨同样一个问题，有的解法晦涩学生不易懂，有的解法学生一听就懂，就会用；有的解答过程繁琐，有的解答简洁，这反映运算方法的优劣。优化运算方法，可以提高运算的合理性。要重视数学思想对运算的指导作用。数学思想是数学的基本观点，是数学中最本质、最高层次的东西，它是优化运算过程和运算方法的指导原则，是解决运算合理性的基本策略的源泉，是数学运算的灵魂。指导数学运算最常用的是化归思想，即把要解决的运算问题转化为已经具有确定解法和程序的规范的运算问题。把思维训练渗透在运算训练之中，是提高运算速度的有效措施。因为良好的思维品质是提高运算能力的有力保证。在教学中需强化数学方法及思维方法的训练，如掌握一些常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；熟悉一些常用的数学逻辑方法：分析法、综合法、逆向法、归纳法、演绎法等；掌握常用的数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；掌握常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。要加强对学生逆向、发散、整体、构造、直觉等思维训练，以便从思维方法、解题思路、解题策略等方面为寻找简洁、快捷的运算途径提供保证。

此例是无理方程含有两处根式，若学生关注的对象是根式，就会想到通过移项两次平方化简，求出曲线方程。若联系到相关联的对象两点间的距离公式，就可利用两点间的距离公式借用椭圆定义巧解此题。

对于解析几何中不少令人兴奋不已的运算技巧，让学生理解这些技巧的运算机理，理解它的每一步骤的几何意义与代数意义，要了解它成功应当具备的条件，也要了解它的局限性。理解运算技巧的本质，有利于从机理上发现相似，拓宽技巧的应用范围与深度，产生联想迁移的效果。

一元二次方程。然后用韦达定理，利用A为线段P1P2的中点这一条件，解得k，从而得到直线的方程。此法为常规解法。

另外，由于在《直线与圆》、《椭圆》两个模块中介绍过用点差法求解中点弦问题，一般学生能够按照点差法的那几步（设弦端点坐标→代入曲线方程→两式相减→利用中点坐标公式得直线斜率→写出直线方程）求出直线的方程：，对于大多数同学在这一常见题型已经达到数学运算素养的水平二，能够针对运算问题，合理选择运算方法、设计运算程序，解决问题。在这一问题中，很少有学生想到，求出的直线居然不存在，这究竟是为什么呢？经过大家讨论，少数学生“先知先觉”，把求出的直线方程代入双曲线方程中，一元二次方程的判别式居然是负数，“皮之不存毛将焉附”，当然这样的直线也就不存在了。体现能够借助运算探讨问题。

5、设计运算程序

根据现实情境的需要设计和构建合适的算法和运算程序。养成严谨的程序化的思想理解、表达和解释问题的思维习惯。运算程序是运算方法的具体化，是解决一类问题可操作的步骤，也是借助计算机和外界力量解决问题的路线图，渗透算法思想。又如数学运算是有程序性的，即第一步做什么，第二步又做什么，有一定的规律可循。运算的程序反映了该运算的规律，如果不掌握这些规律去解题，只能是胡猜乱碰。因此，教师要引导、帮助学生有意识地去发现和及时总结这些带规律性的东西，从而提高运算的成功率。比如：一元二次不等式及解法对于不等式解法内容，教材以算法框图的形式给出和算法框图模块相呼应。高中阶段的计算方法渗透，已经开始向方法论方式过渡。教学中要将计算方式的流程式设计融入进去。这点和函数模块里面的“二分法”部分异曲同工。

6、求得运算结果

运算结果是运算程序实施的结果，可以是一个问题的结果，也可以是一类问题的结果；能够利用运算结果验证数学情境中的数学结论，解释和说明具体的数学问题。求得运算结果之后根据情境的限制条件检验修正。最终实现有效借助运算方法解决数学问题。

总的来说，我们认为一个完整数学运算核心素养应该是基础运算概念准确掌握，同时具备算法思想，可以将方法拓展到同类问题，并且能够准确推进计算最后能够反思优化算法。形成数学运算核心素养的流程图：

这个过程应该理解为运算核心素养逐步发展生成的过程。每一步核心素养都在生长，也许学生不能完成整个流程。但是我们认为依然生成了数学运算核心素养，只是阶段的不同。

参考文献：普通高中数学课程标准（2017版）

论文作者:郑启桂1,,曹炼忠2

论文发表刊物:《教育学文摘》2019年第18期

论文发表时间:2020/4/2

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