随机现象与随机事件：初中概率的目标与教学_随机事件论文

随机现象与随机事件——初中概率的目标与教学，本文主要内容关键词为：概率论文,现象论文,初中论文,目标论文,事件论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011版）》）在“内容标准”部分提出随机现象与随机事件，并明确了初中概率的目标和要求.那么什么是随机现象和随机事件？初中阶段对概率的目标和内容要求是什么？学生在概率学习中出现的困难有哪些？教学中如何进行针对性教学等，都是一线教师所关注的问题.本文就如上几个方面进行探讨，以期对初中概率教学和概率课程的编排有一定的借鉴.

      一、随机现象、随机事件与初中概率的目标

      自然界中的各种现象，如果从结果能否预知的角度来看，可以分为两大类：一类现象的结果总是确定的，即在一定的条件下，它所出现的结果是可以预知的，这类现象称为确定性现象；另一类现象的结果是无法预知的，即在一定的条件下，出现哪种结果是无法预先确定的，这类现象称为随机现象.如我们通常把硬币上刻有国徽的一面称为正面，现在任意抛一枚质地均匀的硬币，那么可能出现“正面向上”，也可能出现“反面向上”.究竟得到哪一种结果，不可能事先确定，这是一种随机现象.

      当我们在同样的条件下重复进行试验时，有的结果始终不发生，则称为不可能事件；有的结果在每次试验中一定发生，则称为必然事件；在试验中可能发生、也可能不发生的结果称为随机事件.如某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军，是随机事件；技术非常发达后，不需要任何能量的“永动机”将会出现，是不可能事件.

      在初中阶段，学生通过概率的学习，能够感受到随机现象在生活中大量存在，体会到数学与社会的联系；通过了解随机现象，可以帮助形成科学的世界观和方法论.此外，概率的游戏性的试验也有助于激发学生的学习兴趣.具体来讲，在该学段，概率学习的总目标有如下四点：

      一是掌握概率的一些基本的知识和方法，用概率解决一些实际问题；二是运用概率的知识和方法进行推理，并进行交流；三是进一步丰富对概率的认识，知道频率与概率的关系，会计算一些事件发生的概率；四是用随机的观念认识并解释现实世界，能明智地应付变化和不确定性事件.具体来讲，在《标准（2011版）》中，对于概率内容提出三个方面的具体要求：

      （1）进一步认识随机现象，感受随机现象的特点；

      （2）通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率；

      （3）知道通过大量的重复试验，可以用频率来估计概率.

      这里需要特别指出的是（2）中的简单随机事件，从难度上控制了要求，比如“掷一枚（或一次）均匀的硬币与正多面体”、“摸一个大小和质量相同的球”、“旋转一个（或一次）均匀等分的转盘”等.

      二、初中概率学习中的难点及其成因

      概率学习中学生常常存在困难，这些困难一些是由于学科本身的认知特点造成的，另外一些是学生在某些具体的内容方面产生的.

      1.由概率学科本身产生的难点

      概率属于“不确定性”数学，要寻找随机性中的规律性，学习时主要依靠辩证思维和归纳的方法.但概率在教学中会产生很多难点，这是与概率学研究的对象、思路、方式、结论等都与过去具有“确定性”的代数、几何数学内容有根本的不同有关，具体体现在如下两点：

      ·研究的对象不同

      学生以前学习过的代数、几何都是确定性的科学，而概率研究对象——随机现象是不确定的，这种不确定成了学生学习的困难.

      这里需要指出的是，不确定性有两种情况：一是结果的“非此即彼”，不存在“亦此亦彼”的问题，即这是一种结果出现的偶然性（又叫随机性）问题；二是不确定性并不都是概率研究的对象.模糊数学也研究不确定性.“两个人长得像”的现象也是不确定的，是更复杂的不确定性，把它称为模糊性.下面是模糊数学的一个案例，我们可以从中体会两者的不同.

      案例1 茶叶的等级

      现有茶叶等级标准样品五种：A，B，C，D，E，其中反映茶叶质量的因素论域为U，U=｛条索，色泽，净度，汤色，香气，滋味｝.假设各个等级的模糊集为：A=｛0.5，0.4，0.3，0.6，0.5，0.4｝；B=｛0.3，0.2，0.2，0.1，0.2，0.2｝；C=｛0.2，0.2，0.2，0.1，0.1，0.2｝；D=｛0，0.1，0.2，0.1，0.1，0.1｝；E=｛0，0.1，0.1，0.1，0.1，0.1｝.现有一样品，其模糊集为L=｛0.4，0.2，0.1，0.4，0.5，0.6｝，试依据择近原则确定该样本属于哪一等级？

      由上面的例子可以看出，不确定性的随机性与模糊性是有区别的：随机性的不确定，反映在某事件是否发生，判据是明确的；模糊性的不确定，反映在事件本身的涵义上，判据不分明.

      ·研究的思路、方式和结论不同

      数学在研究确定性现象过程中所用的科学推理方式基本上属于演绎推理的方式，由一般到特殊；而概率统计学在研究不确定性现象时，由样本推断总体，使用的是归纳推理，而且是不完全归纳推理.因此，所获得的结果也不像以前学的内容那样“确定无疑”.

      2.初中阶段学生概率学习中存在的具体困难

      在初中阶段，学生在概率学习中对随机观念的建立、等可能性、概率的统计定义、频率与概率的关系等方面存在困难.

      （1）随机观念

      随机观念是用概率的思维去考虑问题.而学生常常将随机现象与无规律联系起来.

      案例2 某种“17选5”彩票的获奖号码是5个数字，这5个数字是从1～17这17个数字中选择不重复的数字组成的，如果你选择的5个数字与中奖号码完全相同（顺序可以不同），那么你就可以获得一等奖.下面几种彩票号码，你觉得最可能获一等奖的是哪组？（

       ）

      （A）1，2，3，4，5

       （B）2，5，8，14，17

      （C）1，3，5，7，9

       （D）以上三种可能性相同

      很多错误选项都是B.我们进行进一步访谈，学生给出这样一些解释.

      生1：有十位以下的数字和十位以上的数字，比较平均.

      生2：这一组数与数之间的差距较大.

      生3：太有序的数不太容易抽中.

      生4：尽量无规律.

      由此可见，学生将“随机性”等同于“无规律”、“平均”等意义.

      （2）等可能

      “等可能”是古典概率非常重要的一个特征，它是古典概率思想产生的前提.正是因为“等可能”，所以才会有了“比率”.因此，“等可能性”和“比率”是古典定义教学中的两个落脚点.而学生在处理较为复杂的概率问题中，有时会忽视古典概率的使用条件——等可能.

      案例3请分析以下事件，哪些结果发生的可能性是相同的？________（填序号）

      ①掷一枚硬币，出现正面或者反面；

      ②某运动员射击，击中靶子或者未击中靶子；

      ③将种子种下，发芽或者不发芽；

      ④一个人生病或者不生病；

      ⑤给一个电路通电，线路上的小灯泡亮或者不亮；

      ⑥明天下雨或者不下雨.

      通过对300名学生测试①，答案正确占14%.

      案例4 某商场促销，设置的两个可以自由转动的均匀转盘都被分成六等份，并分别涂上不同颜色.

      

      ①任意选一个转盘转动一次，如果指针停止后落在红色区域，则中奖；若停在其他区域，则没有奖品；若停在等分线上，则重新转一次.那么小明选择哪个转盘中奖的概率比较大？（

       ）

      （A）大转盘

       （B）小转盘

      （C）一样大

       （D）不能确定

      ②若活动改为向转盘投掷飞镖，红色区域仍为中奖区域.那么小明选择哪个转盘中奖的概率比较大？（

       ）

      （A）大转盘

       （B）小转盘

      （C）一样大

       （D）不能确定

      学生出现了一系列错误，如在问题①中，学生选择B，原因有的是“小盘转的圈数多”，有的认为大转盘中奖的概率大，因为“大转盘面积较大”.在问题②中，有的选择A，原因是面积大的色块投中概率较大.有的选择C，认为大小转盘中奖概率一样大，是因为“转盘都被分为六等分”.

      （3）概率的统计意义

      概率在初中阶段有三种定义：一种是古典概率；一种是几何概率；一种是概率的统计定义.对于前两种定义，由于有小学知识的铺垫，学生很容易理解，但恰恰是教材中多为古典概型或几何概型的问题，所以容易造成学生解决概率问题时，默认为是等可能的.所以对于概率的统计定义，学生的理解比较困难

      概率的统计定义是在相同的条件下做大量重复实验，一个事件A出现的次数m和总的实验次数n之比，称为事件A在这n次实验中出现的频率.当实验次数n很大时，频率将稳定在一个常数附近.n越大，频率较大偏离这个常数的可能性越小，这个常数称为这个事件的概率.

      这个定义与统计有密切的关系，它建立在频率稳定性的基础上，所以称为概率的统计定义.这种对概率讨论的对象不再限于随机实验所有可能的结果为等可能的情形，因而更具有一般性.随着人们观察对象的广泛化，人们越来越认识到，对一个随机事件来说，它发生可能性大小的度量是由它自身决定的，并且是客观存在的，就好比一根木棒有长度，一块土地有面积一样，它就是频率稳定的中心值.概率的统计定义提供了概率的一个可供想象的具体值，并且在实验重复次数n较大时，可用频率给出概率的一个近似值，这一点是概率统计定义最有价值的地方.

      学生经常出现的错误认识是：既然做多次试验也不一定得到概率准确值，那为什么还做试验？

      （4）频率与概率的关系

      频率和概率是两个不同概念，频率与实验的次数有关，而频率的稳定性又说明了概率是一个客观存在的数，是随机事件自身的一个属性，它与实验次数无关.虽然在概率计算中，我们一般用事件发生的频率去代替概率，这与实际并不矛盾，就像测定一根木棒的长度一样，人人皆知木棒有其客观存在的“真实长度”，但用量具去测量，总会有误差，测得的数值总是稳定在木棒“真实长度”的附近，而得不到木棒的“真实长度”值.事实上，人们一般就用测量所得的近似值去代替“真实长度”，只不过根据实际要求选择精度不同的量具罢了.这里木棒的“真实长度”与测得数值之间的关系完全同概率与频率之间的关系一样.

      因此，频率既有随机性（每人每次实验都是变化的），又有规律性（也就是稳定性），即随机事件发生的频率的稳定值就是概率，人们也就把频率稳定的中心值作为事件发生的概率.于是我们可以说“频率是概率的估计”、“频率的稳定值就是概率”，但不能说“频率的稳定值是概率估计值”.频率的稳定性是概率论的理论基础.

      三、概率教学中应注意的几个问题

      1.在概率教学中了解学生已有的知识，并针对概率错误给予及时纠正

      首先在教学中，教师不仅应启发学生寻求问题的答案，而且要解释理由.

      案例5 游乐园中有个名为“找宝藏”的益智游戏，有一个“宝藏”被随意埋在这个图形（图2）的某个区域内.

      

      （1）若只允许你选定一个区域进行挖掘，你会选哪一个区域？

      （A）Ⅰ （B）Ⅱ （C）Ⅲ （D）Ⅳ

      （2）在问题（1）所选的区域中你一定能挖到宝藏吗？

      （A）能 （B）不能 （C）不一定

      问题（2）的正确答案为C.在访谈中笔者发现，有些学生的结果虽然正确，但究其原因，这些学生认为自己之所以选择了正确答案是因为“靠运气，随意选的”.其次，教师要创设丰富、多样化的情境，让学生在变化的情境中体会同一个概率问题，形成恰当的观念.最后，教师应在学生还没有牢固形成这些错误概念之前就培养他们正确的概率概念，加强学生对不确定现象的认真体验，而不是匆忙进入概率计算和套用公式的学习.

      2.重视概率试验的价值和意义

      概率试验具有重要的价值，教学中，应让学生体会到其价值和意义.首先通过概率试验，有助于学生体会随机现象的特点.在进行试验及对试验数据的分析中，学生将逐渐体会到随机现象的不确定性，以及大量重复试验所呈现的规律性.其次，通过概率试验，可以估计一些随机事件的概率.如抛瓶盖、抛图钉的问题另外，一些随机事件的概率求解超出学生现有知识水平，也可通过试验获得事件概率的估计值.再次，通过概率试验，有助于学生澄清一些错误认识.如一枚均匀的硬币有正、反两面，因此随意掷出后任何一面朝上的概率都是

，假如你已经随意投掷了9次，结果都是正面朝上，那么第10次随意掷出后是正面朝上的概率大还是反面朝上的概率大？有的学生会认为，正面朝上的概率大，因为正面朝上出现的次数多；有的学生则认为，反面朝上的概率大，因为前面一直出现的是正面朝上，这次该轮到反面朝上了.

      3.通过比的含义学习来加强对概率计算中算理的理解

      如前所述，等可能和比是古典概型的两个重要概念，让学生意识到概率中比的含义，并学会用比例计算概率.

      在其他数学知识的学习中，研究对象都是确定的，结果也是可以求得的.比如代数中的式的运算，几何中的定理“三角形的三条中线交于一点”，“等腰三角形三线合一”等，学生通过折纸和作图可以去获得但是概率中的计算的意义就并非是显而易见的，即使多次试验也不一定获得结论因此，教学中要求学生懂得概率计算的算理，学会用比例去表达.

      案例6 一个盒子中装有红球、白球和黑球共10个，每个球除了颜色其余完全相同，从中任意摸出一球，摸到红球的可能性是20%，摸到白球的可能性是40%，则摸到黑球的可能性是多少？

      有部分学生的答案是“与白球一样多”.这一答案说明了部分的学生有进行概率计算的意识，但是不能确定地得出具体数字，也没有把不确定的概率与确定的概率值联系起来.我们可以借助于比例的经典案例来说明这一点.

      案例7 比例的经典案例

      晚上，一辆马车被牵涉进一场交通事故.这个城市共有两家马车公司——绿色马车公司和蓝色马车公司，其中绿色马车占了整个城市马车的85%，而蓝色马车只占15%.据证人说，事故现场的马车是蓝色，而在相同能见度条件下对这个证人的辨认颜色正确率作了测试，结果表明，他的正确辨认率是80%，问事故现场是蓝色马车或绿色马车的概率各是多少？

      

      很多人估计事故现场是蓝色马车的概率是或接近80%.比较重视证人的可靠性，这可以解释为直观判断中的典型性，而比较容易忽视基本比例信息（即蓝色马车占15%）.这条信息提醒人们注意，事故现场是蓝色马车的可能性不大.

      4.借助于计算机模拟试验以提高学生的概率素养

      在用“频率估计概率”这部分的教学中，学生的学习可以借助于计算机模拟试验.在常规的概率教学中，教师用计算机可以直观地表示数据，并且帮助学生学会去探索数据.对于某类不容易进行人工操作或不易实现的试验，计算机模拟试验则更为可行、简易.如计算机模拟掷硬币试验，让学生体会频率的稳定性.

      ①“八年级数学素养的测试”，北京师范大学区域健康体检项目，主持人：綦春霞.

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