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数学是“辩证的辅助工具和表达形式”（恩格斯语）.数学中充满着矛盾，也含有极其丰富的辩证因素.在数学解题中，若能运用辩证的观点分析矛盾，揭示联系，把握事物发展、变化的规律，进而恰当、合理地进行思维转换，常常能化繁为简，化难为易，为解题带来新的生机，甚至使问题绝处逢生，柳暗花明.这对激活学生的思维、优化思维品质和培养学生的创新意识及辩证唯物主义的观点都是极为重要的有效途径.
1 正与反
解决数学问题时，一般总是从条件出发按照习惯的思维模式，进行正面的、顺向的思考，这对解决大多数问题是有效的.而对某些问题，若一味地进行正面顺向思考，思维往往会受阻，此时，若能冲破思维定势的束缚，采取“正难则反”的辩证思维策略，可迅速找到解题的突破口.
例1 设正△PQR的三顶点位于双曲线xy=1的两支上.求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上.
（1997年全国高中数学联赛试题改编）
分析 该题直接证明有一定困难，利用正与反的辩证关系，假设P、Q、R都在双曲线的同一
本例的两种精美解法体现出“正”与“反”的惊人统一.
2 进与退
对一个数学问题直接下手有困难时，可利用“以退求进”的思想，把复杂的问题退到最简单、最原始的地方，把这个简单原始的问题想通了、看透了、钻深了，不仅可以进，还可来一个质的飞跃.这犹如一个跳远运动员为了跳的更远，总是先退一段距离一样.
分析 此题多元而不定，难以直接解决，现将多元“退”到二元情况考虑.
受此启发，原不等式不难证明（略）.
3 动与静
动和静（定）是事物状态表现的两个侧面，动中有静，静中寓动，它们相互依存，并在一定条件下相互转化.在求解“运动型”问题时，若善于“动”中觅“静”，以静制动；或者，用动的观点处理静的数量和形态，即以动求静，可使问题向有利于解决的方向转化.
例4 长轴长和短轴长分别为2a、2b的椭圆在第一象限内滚动，并且始终与两坐标轴相切，求该椭圆中心O[，1]的轨迹.
分析 （图略）运动和静止是相对的，若把椭圆看作是静止的，则与之相切的两坐标轴便是运
4 数与形
数学是研究数量关系与空间形式的科学.数和形，及它们的联系与转化是数学研究的永恒主题.在解题中若从数、形两个方面对问题进行分析，既充分发挥形的直观性，又注重数的严谨性，将有利于问题的解决.
在这个解法里，既有几何结构的分析，又有代数关系的精确计算，“形”为其表，“数”为其里，体现了真正的数形结合.
5 等与不等
等与不等既是矛盾的，又是统一的，在一定条件下“等”可推出“不等”，反之，“不等”也可导出“相等”.根据题设中的信息适时进行“等”与“不等”的机智转化，可打开解题通道，使问题获解.
例6 若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是______.
（1999年全国高考试题）
分析 欲求ab的取值范围，只需从已知等式出发构建一个含ab的不等式即可.这有如下多种转化途径：
6 分与合
辨证唯物主义观点认为，分与合是一种对立统一的关系.在解题中以分求合或以合制分，体现了分合并用的转化统一、相辅相成的辩证思想.
由已知不难求出
整数的代数和竟然可以用无理数、三角函数来表示，在我们领悟数学奇异美的同时，也使我们看到了“虚实相生”的对立统一.
8 有限与无限
客观世界是有限与无限的统一体.我们既可以通过无限来确定有限，也可以借助有限来把握无限，即“从对立面的统一中去把握对立面”.如“线面垂直的判定定理”、“数学归纳法”、欧几里得对“素数有无穷多个”的证明、数列极限的“ε-N”定义等都是由有限把握无限的极好例证.这些无限总体的有限个体、无限步骤的有限推理、无限过程的有限结果等都是数学科学的精华之所在.
由于数学问题的复杂多样性，解题中辩证思维策略绝非本文所能概括.值得指出的是不要孤立地看待上述各种辩证思维策略，它们相互渗透、水乳交融.在解题教学中，从优化思维品质和提高学生辩证唯物主义观点出发，重视辩证思维策略的启导，既是一种潜移默化、润物无声的思想教育，又是全面提高数学教育质量、深化素质教育的一条有效途径.