摘要：目前的教学内容、教学方式、教学理念都应该得到相应调整，来适应时代的发展。对常微分方程这门课程进行教学改革，不仅是为了培养出应用型人才，更是为了将教育体系改革进程向前推进。在常微分方程的全部内容中，线性系统部分占有特别重要的地位，这不仅因为其自身的理论已被研究得十分清楚外，同时线性系统又是讨论非线性系统的基础．利用线性空间理论进一步对常微分方程线性内容及方程求解做一些分析和探究。
关键词：常微分方程；线性微分方程组；教学探究
1教学观念的转变
1.1教学中要突出数学思想教育
随着信息和技术时代的到来，各种数学软件和现代化的计算工具大量出现，一些典型方程的求解完全可以由计算机实现，这种情况下，我们不单要清楚地讲解各类具体的微分方程的解法或定性分析的方法，更要注重数学思想的教学.一方面，常微分方程课程本身蕴含着丰富的数学思想，如极限的思想、函数的思想、化归的思想、方程的思想、数学模型的思想等，教师当以数学知识为载体，有意识地引导学生将隐藏在知识背后的数学思想挖掘、提炼、概括出来，使学生从本质上掌握所学得到的数学知识，以利于学生创造性思维的发展和应用能力的培养.另一方面，数学思想往往表现为较高层次的数学方法与数学概念，所以可以在该课程的教学中适当引进现代数学知识，用现代数学思想方法进行教学.例如可以用一种直观而不必十分严格的语言让学生提前接触一点泛函、拓扑的基本思想；可以把微分方程的局部理论平行地搬到微分流形上等.既有利于同高年级学习的知识接轨，又有利于学生将数学作为一个整体来学习。
1.2注重微分方程问题背景的讲解
教师不能仅仅对微积分方程解题知识进行讲解，微积分方程问题产生的实际来源也十分重要。很多实际问题，如天气预报模型、人口增长模型、传染病模型以及生物群生态模型等，都可以转化为常微分方程求解问题。对实际问题进行讨论进而延伸到课堂中对常微分方程的学习探索，不仅可以加深学生的印象，还能让他们认识到这门课程在实际应用中的重要性。增加对常微分问题产生的背景的介绍，能有效提高学生的学习兴趣。
1.3将未知问题转化为已知问题
在教学过程中，要注重对学生进行学习方法的指导，让学生学会将未知问题转化为已知问题。例1假如在已得知齐次线性微分方程的解的情况下，要想求出非齐次线性方程组的解，就可以利用常数变易的数学思想来解决问题，把非齐次线性微分方程归结到齐次线性微分方程来求解。也就是说，将待定函数代入到齐次线性微分方程的通解中，然后再将其代入到非齐次线性方程组中解出待定函数，进而求得非齐次线性微分方程的解。例2在对非恰当微分方程求解的问题中，可以设法把此类问题转换化为对恰当微分方程进行求解。在这一过程中，积分因子起到重要作用。这样的例子在常微分方程的学习过程中有很多，学生通过将未知问题向已知问题方向转化的方法，将对其自主学习起到很大的帮助。
2线性微分方程组的教学探究
2.1线性微分方程组与高阶微分方程的关系
n阶线性微分方程的初值问题与一阶线性微分方程组的初值问题是等价的。
期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆这一理论较为抽象，可通过以下例子加强认识。
例1试将线性微分方程组的初值问题化为等价的微分方程，并求出方程的解。
思考一阶微分方程组的初值问题可转化成高阶微分方程的初值问题进而求解，但一般的高阶微分方程没有普遍的解法，如何解决这一问题？
思考每一个n阶线性微分方程可化为n个一阶线性微分方程构成的方程组，反之是否成立？
2.2线性微分方程组解的结构
解析在已知对应的齐次线性微分方程组的基解矩阵的前提下利用常数变易公式求解，其中涉及矩阵运算（加法、数乘、乘法、转置、行列式、逆）的知识，具体解答详见教材。
例4试求方程x''+x=tant的通解。
解析可利用非齐次线性微分方程组的常数变易公式，也可利用高阶微分方程的常数变易法，比较二者在思想、过程与结果表示上区别与联系。
2.3常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵
这里再次利用“线性代数”中特征值与特征向量的知识，解决常系数齐次线性微分方程组x'=Ax的基解矩阵φ（t）结构问题。
3优化教材章节模块
重新组合，优化章节内容，把相似的解决方法放在一起讲解，避免重复，便于学生理解记忆。例如把微分方程组放到高阶微分方程前面来讲，将高阶微分方程看作是微分方程组的特例，就可以在讲解高阶微分方程时省去推导定理、公式的时间。分模块进行教学内容，把常微分方程的学习内容划分为性质理论及其证明、方程求解、实际应用等几部分。并且按照学习难易程度划分3个层次，对于较难的学习内容，如果过于复杂并不具有代表性，可以省略其证明步骤，只要学生明白解题思路，记住结论，能够用于解决问题就可以了；难度适中的部分是课堂教学的重点内容，应利用不同的教学方式，让学生积极完成学习任务；对于较容易理解的知识，教师就可以留给学生一定的发挥空间，让学生来“讲课”，教师作指导，增强教学趣味性。
及时更新教材内容，融入现代的理论研究观点。现有的教材并没有根据学生的学习能力和水平，对常微分方程的进一步钻研有所涉及，在教材中也没有任何参考资料。因此，要适当选取现代相关研究成果，在保证课时的前提下，减轻Ｒiccati方程、高阶方程以及级数展开法的教学任务。
结束语
“常微分方程”课程的一个特点就是应用性强，在自然科学和社会科学各领域中都有广泛的应用，并取得了很多重要的成果。而其中线性微分方程组部分的学习既能够突出其应用性的特点，还能提高学习者数学专业素养以及数学思想的养成，是整个课程中不可或缺的一环。本文的探讨，希望可以让学习“常微分方程”这门课程的学生学到更多有用的知识，为相关的教育工作者提供更多适合学情的思考及帮助。
参考文献：
[1]吴楚升.《常微分方程》课程分层教学的实践分析与探究[J].开封教育学院学报，2019，39（03）：112-113.
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[3]李立平.常微分方程解的延拓定理教学研究[J].湖州师范学院学报，2018，40（10）：101-105.
作者简介：张哂雯，身份证号：320584199910233023，研究方向：常微分方程。
论文作者:张哂雯
论文发表刊物:《学习与科普》2019年39期
论文发表时间:2020/2/26
标签：微分方程论文; 方程论文; 线性论文; 方程组论文; 微分论文; 常微分论文; 思想论文; 《学习与科普》2019年39期论文;