数学读书笔记任务流程与作用初探，本文主要内容关键词为：读书笔记论文,流程论文,作用论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“读书笔记”常见于学校教学中的语文学科，其形式大都是学生对文章的摘抄或读后感的书面表述，其目的在于通过学生运用自组织的语言将阅读体验加以表达，提高学生的语言组织、表达能力与文学感受力.在数学教学中，是否也可结合数学学科的特点，通过类似笔记的方式提高学生的数学学习质量呢？目前，类似于“数学日记”、“数学作文”的任务形式已见于中小学日常教学，但此类任务大都缺少明确的理论界定，运行过程也过于随意，缺乏对任务完成情况的指导与反馈，使得此类活动大都流于形式.
一、对“数学读书笔记”的认识
目前，各方对“数学读书笔记”表述各异，但总结起来，“数学读书笔记”的内涵非常广阔，既包含对数学知识的认知，也包含对数学教学过程的情感体会，且其材料来源中包含大量生活元素.而在当前数学教学中，无论是学生学习的内容还是教师的教学资源，都主要来源于显性的书本知识，虽然在生活中也不乏种类繁多的数学元素，但相对书本知识而言，较难进行归类与把握.故本文将所要研究的“数学读书笔记”的材料来源限定为学生已学的教科书中的知识.
1.“数学读书笔记”的内涵
“数学读书笔记”（以下称为“笔记任务”）的内涵：以教师主导为前提；以已学的基本数学概念、命题、原理等为对象；以学生由教师提问所引起的回忆、联想、思考、反思与书面表述等自主操作为手段；以加深学生对数学知识本质属性的理解、培养学生的数学思维能力为主要目的的学习任务形式.
从教师在笔记任务中的地位和作用上看，笔记任务在赋予学生一定自主操作空间的同时，教师干预几乎贯穿始终，只是这种干预更多的是起到“脚手架”的作用，并非从根本上妨碍学生的独立思考与自主操作；从笔记任务的内容上看，主要侧重于对已学的概念、命题与原理（概念、命题、原理的临近程度依具体需要而定）的再加工，而非直接观察进而抽象出日常生活中的数学元素；从任务实施的学段上看，小学后期与初中似乎更为合适，这是由于此阶段课业负担相对较轻，师生有较为充足的时间进行笔记任务，且在此阶段的学生正处于由具体运算阶段向形式运算阶段的过渡期，已初步具备运用形式化的数学语言对思维过程进行表述的能力；笔记任务的周期与发生场所可灵活处理，可以课时或学时为单位，当堂完成或作为课外作业、一次性完成或分阶段完成皆可.
2.笔记任务与相近活动的区别
（1）与习题训练的区别.
笔记任务意在通过对所学知识的再思考，达到对数学教材中基本理论知识的深入理解与挖掘，并非单纯的解题训练.
（2）与课堂笔记的区别.
一般来讲，无论是讲授新课还是复习旧课，课堂笔记主要表现为学生在课堂上对教师言语或板书的记录，这种记录节奏快、容量大，学生很难在忙于记录的同时达到对知识有效的内化吸收与个人体验的生成.笔记任务则是在提供给学生充分自主空间的基础上，引导学生随时对所学知识进行深入的思考与整理，既能作为复习旧课的工具，又能为讲授新课做铺垫.
3.笔记任务流程概述
根据上述讨论，现给出笔记任务的总体操作流程：
（1）确立目标.
教师需首先明确此次任务所要实现的目标，即期望学生掌握哪些知识、技能与方法，培养学生哪些方面的数学思维能力等，且目标中应尽量体现旧知与新知的结合.
（2）设问.
教师应根据任务目标设置笔记任务的问题，问题需以学生已有的知识、技能、方法为依托并与任务目标相联系，既不超出学生现有认知水平，又能对学生构成认知挑战并使之产生有意义联想.
（3）操作.
主要指学生对旧知进行回顾、联想和对问题进行思考，进而对思维过程进行书面表述.
（4）反馈.
主要指教师根据学生在操作环节中所出现的各种问题，实施有针对性的反馈.
（5）反思.
由教师引导学生对笔记任务所涉及的知识、技能与方法进行总结，对旧知的某些错误认识进行反思，并引导学生生成反思性的个人体验.
（6）拓展.
通过拓展，最终完整地展示出概念、命题的本质属性，并引导学生进行应用性练习.此外，在拓展环节中，笔记任务应着力引出后续知识，使笔记任务作为教师开展后继教学的重要材料或依据.下面结合实例，详述笔记任务的操作流程.
二、实例分析
作为整式乘法运算的拓展和应用，平方差公式既能为符合公式特征的运算带来便利，又能在一定程度上为学生主动探究完全平方、立方和、立方差等公式以及公式法分解因式提供良好的迁移基础.更为重要的是，对平方差公式的深入探究还能实现对学生数学思维能力的有效训练（如概括、类比、推广、特殊化），因而具有十分重要的挖掘意义.因此，本文将平方差公式作为实例分析的选题.
由于学生在最初接触平方差公式时，往往易流于对公式形式的机械记忆，而对本质属性不予深究，出现类似于只识
记这一“标准形式”，而不知（2n-1）（2n+1）或（a+b-c）（a-b+c）是否同属公式运用范围的情况.这主要是由于学生缺乏对公式“结构不变而字母可变”这一本质特征的认识，以及对字母的含义缺乏高层次的抽象概括理解.因此，在学生了解了平方差公式的“标准形式”后，为进一步加深学生对公式本质特征的理解、训练学生熟练运用公式的技能、培养学生的概括、类比、推广与特殊化等数学思维能力（以上为任务目标），教师可组织学生进行笔记任务（本例意在通过公式的代数背景说明笔记任务的流程，因此其几何背景与方法暂不做探讨），具体流程如下.
创设此问题的原因是：首先，在人教版课标教材中，平方差公式被安排在初二上学期学习，而学生之前就已经接触过对一系列数式的规律进行合情推理的问题，故此问题的提出，既属于学生已有思维动作水平（观察能力、概括能力、用字母表示数的技能）的最近发展区，也可达到对已有方法与技能的复习、巩固；其次，通过对上述各式归纳结论与公式“标准形式”的类比，学生对公式的本质与非本质属性形成清晰、明确的认识，同时对字母含义加以推广与特殊化.
通过对上述各式特征的观察与类比，学生可能首先将各式转化为（2-1）（2+1）=1×3，（4-1）×（4+1）=3×5,…,（12-1）（12+1）=11×13的形式.再进行由数字到字母的归纳概括：各式左边因式中的第一项均为偶数，可用2n表示（n=1，2，3，4，5，6），第二项均为1，所以各式左边因式可表示为（2n-1）（2n+1），而右边符合
的运算形式（n=1，2，3，4，5，6）.因此，上述各式均可用
的形式表示.
当然，对于某些反应速度较快，观察、归纳与概括能力较强的学生，可能会迅速发现“各式右边第一项加1为左式第二项，减1为左式第一项”，进而直接对各式进行转化.而对于某些知识基础较差、反应速度较慢的学生，就只能在联系、类比、转化与归纳中逐步完成概括，甚至会出现某些认知阻碍导致无法顺利进行概括.例如，在对上述各式初步变形后，无法进一步用字母代替数字，甚至无法发现上述各式的共同特征，等等.在本环节，学生应在专门的笔记任务记录本中，运用自组织的数学语言将上述思维操作过程进行初步的书面表述，并可将其标识为“初记”.教师应要求学生尽量将“初记”细化，以便在后续环节能更细致地回顾与观察自己初识问题时的反应.
对于解答较为准确、思路较为简捷的学生，教师要在充分肯定的基础上提高对学生的要求，让学生进一步计算更为复杂的式子（如（2x+3y-1）（2x-3y+1））；对于思路正确但计算出现错误（如系数的正负号错误）的学生，教师要清楚错误的原因，是技能操作不熟练还是对式子的特征认识不清，进而采取相应指导；对于思路模糊或出现认知障碍的学生，可提示其联系平方差公式进行计算；对数学语言运用不规范的学生（如忽视对n取值范围的描述），教师也要及时给予提示与纠正；归纳得出结论后，要引导学生对其进行推理证明.这里有必要说明的是，教师的反馈并不局限于本环节，在后续的反思与拓展环节中，教师反馈也必不可少.在本环节，学生应根据自己的具体问题对“初记”中的知识性错误、技能性错误、方法性错误或语言组织不合理之处进行修改.对修改之处，可用醒目字迹标出，也可直接对初记内容重新整理，并可将其标识为“再记”.这里应尽量使“初记”与“再记”在记录本上处于邻近位置，以便于两者的比较和比较后的反思.
本环节为笔记任务的核心，凸显着任务的最终目标，是决定任务成效的关键.
第一步，教师引导学生回顾此次任务所涉及的知识与技能（例如，观察、归纳用字母表示数的方法与技能：各式均为平方差公式的实例等），分析在哪些知识掌握、技能运用与方法领会方面还有不足，不足的原因是什么，怎样改正不足.
第二步，引导学生将主要精力集中于
的类比上，发现两式的共同属性，引导学生得出“虽然两式中参与运算的字母与数字不同，但两式均表示两数之和乘以这两数之差等于两数的平方差，符合平方差公式的特征，故均可用公式进行运算”的结论.
第三步，根据上述结论，引导学生思考：公式中的a、b除了能代表单个数字与字母外，是否也能表示单项式（或不予提示而直接提问“是否还有别的含义”）？（3n+4m）（3n-4m）是否也可用公式进行计算？以此引导学生对结论作进一步推广.在此也可提问学生a、b的正负号与排列顺序是否属于平方差公式的本质特征？如（-a+b）（-a-b）是否也可用平方差公式处理？为什么？
第四步，通过上述引导与反思，初步总结（因为用“多项式”代替字母的形式还未给出，故只是初步总结）出哪些是平方差公式的稳定、不可变的本质属性，哪些是不稳定、可变的非本质属性，并要求学生用自己的语言表述出来.
在上述各环节中，都需要教师针对学生的反应进行及时的反馈与评价，以确保学生沿正确的思维轨迹前进，保持思维的积极性.
在反思环节中，学生应结合“初记”与“再记”中的内容，在与教师、同学的交流与讨论中，逐步拓展对平方差公式本质属性的理解，反思自己对公式认识的不足.由于该环节未能给出多项式代替字母的形式（拓展环节中出现），因此，可待拓展环节后再引导学生进行公式本质属性的书面总结.
反思是为了进一步拓展，以便于后续的应用.通过反思，大部分学生已经加深了对公式字母含义的理解，因此，可进一步给出相关变式，以强化学生的已有体验，体现公式的变式运用，拓展字母所表示的含义.例如，可让学生计算：（1）1999×2001；（2）（a+b-c）（a-b+c）;（3）898×902+（-2x+3y+1）（-3y-1-2x）.其中第（1）问体现了对问题结论的特殊应用，即n=1000时的情形，通过第（1）问还能让学生体会平方差公式给实际运算带来的简便；第（2）问（此问也可在反思环节中的第四步就给出，这主要依学生水平与现场反应而定）是学生在对字母也可表示“单项式”的理解基础上，对字母也可表示“多项式”的推广，而且，第（2）问得出的结果中还包含有
，教师可借题发挥，以此作为进一步学习完全平方公式的铺垫；第（3）问为平方差公式的综合性拓展应用.
至此，应再次要求学生对公式本质属性与字母含义进行表述以及反思性修正（将“多项式”也纳入字母含义中），同样，教师也要对拓展训练的结果再次进行反馈与评价，最终形成完整的关于公式特征与字母含义的规范化表述.此外，要对某些还存有知识理解或技能运用困难（如无法将（a+b-c）（a-b+c）转化为[a+（b-c）][a-（b-c）]）的学生予以及时指导.最后，教师可给出类似“想想自己在任务前后对平方差公式理解程度的差异，你有哪些体会和收获”、“在此次任务的完成过程中，主要运用了那些技巧与方法”等问题，引导学生生成反思性的个人体验（如对平方差公式结构特征的感知，对字母所表示含义的体会，对运用类比、推广和特殊化等数学思想的感悟，对新旧知识间联系的体悟等）.
在拓展环节中，学生可对本次任务涉及的知识、技能进行总括性的归纳；对反思、拓展后对平方差公式所形成的新认识进行概括；也可对自身的认知体验或情感体验进行表述.例如，此次任务使自己认识到了数学知识是前后联系的；数学知识有时是“以不变应万变”的；数学知识是严谨的，也是有趣的；等等.总之，应在笔记任务的最后，尽量做到用清晰的语言描述出自己通过此次任务认识到了什么，收获了什么，有哪些心得或体会，自己在今后的学习中应注意什么，等等.至此，一篇完整的数学读书笔记得以形成.
综上，从学生的角度，笔记任务主要包括对问题初步思考后的“初记”、教师反馈后的“再记”与师生交互反思与拓展后的“后记”.其中“初记”主要体现在操作环节，“再记”主要体现在反馈环节，“后记”主要体现在反思与拓展环节，并以“后记”内容作为对笔记任务最高层次的归纳与概括.
笔记任务的最终目标在于加深学生对知识本质属性的理解、培养学生的数学思维能力.结合本例中的具体知识内容，主要体现在以下几个方面：
一是操作环节中，学生对
的归纳与概括，即“在思想上把具有相同本质属性的事物联系起来”（“从特殊到一般”），同时也达到了对旧知的复习巩固.
二是以操作环节中得出的结论为基础，进一步在反思与拓展环节将例式与公式进行类比，发现共同属性，并在此基础上对公式的字母含义进行概括性推广与特殊化，既包含了上述提到的“从特殊到一般”，又包含了“把研究对象的本质属性推广到普遍的同类事物”，即“从一般再到特殊”.
三是学生在对字母正负号、排列顺序等非本质属性确认的同时，又进一步强化了对公式本质属性的理解.
四是在公式应用的过程中，又得出了完全平方公式的“标准形式”，为进一步学习新知做铺垫.
以上各方面在体现了平方差公式对培养学生类比、推广、特殊化、归纳、概括等数学思维能力具有重要意义的同时，也体现了笔记任务中蕴含的问题性、指导性与反思性特点对加深学生知识理解程度的功效.至此，任务目标、任务手段与任务结果最终统一起来.此外，教师根据学习内容和学生已有知识经验所进行的一系列目标确立、设问、反馈、评价、引导性的反思与拓展，使“教师主导”作为一条主线贯穿笔记任务的始终，这也符合本文对笔记任务“以教师主导为前提”的要求.
三、切实发挥笔记任务在教学中的作用
上文中提到了笔记任务在培养学生数学能力、加深学生对知识理解方面的作用，除此之外，笔记任务的作用还体现在以下几方面.
1.有利于进一步的解题训练
学生理解知识、运用技能和领悟数学思维技能或数学思想方法的过程，就是对认知结构中相应的陈述性知识、程序性知识与过程性知识的不断优化的过程，这对学生进一步的解题训练极为有利.研究表明，个体的数学认知结构与问题解决有密切联系，具备优良数学认知结构的学生，能更合理、正确地表征问题，进而有效解决问题.数学学习中包含大量解题训练，而基于加深学生对已有知识理解、进而优化其数学认知结构的笔记任务，就在很大程度上符合上述研究的要求.
2.促进学生个人知识的生成
在反思环节所提到的引导学生生成对笔记任务的体验和感受，都可归结为与结果知识相对应的个人知识.所谓结果知识，是指那种用数学术语或数学公式来表述的系统知识（陈述性知识和程序性知识），个人知识则是学习者在对数学书本知识的认识和理解的基础上，借助于自身的数学理解力、判断力、批判力和洞察力，通过自己的深思、反省、体验与领会，所“创造”出来的有别于书本知识、为学习者个人所享用的实效性、个性化的数学知识，是“只可意会、难以言传”的个人体悟.笔记任务中学生的自主操作与自组织的语言表述，恰恰可使学生在巩固结果知识（如平方差公式定义）的同时，在思考与反思中生成个人体验（如对公式结构特征的感知、对字母所代表含义的体会，对类比、推广和特殊化等数学思维能力所发挥作用的感悟），即个人知识.此外，在这一过程中还伴随着教师在教学活动进程中动态、发展性的反馈与评价（如根据学生操作、反思与拓展情况进行的反馈与指导），实际上，也正是这种具有过程性、动态性与发展性的反馈与评价，使学生得以不断调控个人知识生成的方向与深度.从这一角度讲，个人知识的生成性、体悟性与教学评价的过程性、动态性与发展性有机地结合在一起.
3.有助于学生对前后知识的融会贯通
首先，由于笔记任务凝聚了个体对所学知识精致化的再加工（如对旧知的复习和对新知的拓展），故时常回顾笔记任务内容可以达到事半功倍的复习效果，而任务中所产生的“意外”收获，又能为新课的讲授做铺垫.其次，对已有知识理解的不断深入，也将为后续知识的建构提供生长点.例如，对平方差公式特征和字母含义的理解，有助于加深对完全平方公式结构特征和字母含义的理解；而各项数学思维能力的训练，也有利于提高学生对后续知识的加工与整合.
此外，虽然笔记任务更适用于小学与初中阶段，但这种不断对所学知识进行再“读”与再“记”的学习习惯，将使学生在今后的学习中不断受益.