HPM视角下“毕达哥拉斯定理”起始过程的重构_直角三角形论文

基于HPM视角重构“勾股定理”起始课，本文主要内容关键词为：勾股定理论文,视角论文,重构论文,HPM论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      将数学史与数学融合在一起共同促进学生的发展是HPM（History and Pedagogy of Mathematics）研究的一个主要涵义.然而，当下基于HPM视角开发的课例多是数学史内容的“加入”，而非“融入”，因而，显得有些生硬、低效，甚至增加学生负担笔者最近有机会开设《勾股定理》（第一课时）的公开课，尝试借鉴、重构知识发生、发展的历史，让数学史有效地融入学生探究，串联教学环节，取得了较好的教学效果.

      一、教学流程

      （一）定理引入

      首先，教师播放BBC纪录片《数学的故事》（第1集）中的一段视频：古埃及人正在结绳绷成直角三角形（一张截图如图1所示）.

      

      然后，教师展示自制教具——打了13个结、每两个结之间等距的绳子，并请三位学生上台操作——模拟视频中结绳绷成直角三角形的活动.其中一位学生在黑板副板区画出草图——边长分别为3、4、5的三角形.

      [设计意图：开课阶段通过历史故事和实践活动引发学生的注意和兴趣，让学生带着问题进入新课.]

      教师出示问题1：在绷成的三角形中，三边长分别为3、4、5，为什么其中有一个直角呢？学生短时间内难有思路.教师告诉学生：“老师想到一种证明思路，不知你们能否理解？”然后，教师在学生绷成的三角形（如图2）的旁边再作出一个直角三角形（如图3），使得两直角边分别为3、4，同时问道：“这时能否求出斜边的长呢？”学生尝试无果.教师指出：“有人曾经用拼图的方法求出了该三角形的斜边长为5，同学们来看思路.”然后，教师作出下页图4，同时问道：“用‘图3’这样的直角三角形拼成一个大的正方形，能否求出这种直角三角形斜边的长呢？”学生独立思考后，从面积法的角度解释了其中的道理.接着，教师引导学生把目光再次聚焦到图2、图3上，启发学生：“这时能否证明两个三角形全等？”学生根据“SSS”公理证明两个三角形全等，从而理解了古埃及人用3、4、5边长绷成直角三角形的道理.

      

      （二）定理证明

      

      教师出示“链接”介绍：中国古代数学家赵爽曾经构造图6，也证明了直角三角形三边之间的关系然后，安排学生独立思考、演算，以确认.

      

      完成了从特殊到一般的论证后，教师给出（同步板书）勾股定理的文字表达与符号表达：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；在△ABC中，若∠C=90°，则

.

      教师出示关联思考：另外两个定理（直角三角形全等的“HL”定理、三角形内角和定理）与勾股定理之间有何关联？教师引导学生发现：借助勾股定理，“HL”可以转化为“SSS”；三角形内角和的作用是已知三角形两角求第三角，勾股定理的作用是已知直角三角形两边求第三边.

      （三）定理应用

      教师出示下面两道练习，并引导学生完成.

      1.求出下列直角三角形（图7、图8）中未知边的长度.

      

      2生活中的数学：长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框（如图9）内通过？

      

      （四）逆定理认识

      首先，教师再次播放开课阶段的视频，并定格在如图10所示的画面上.

      

      然后，教师出示问题3：节目主持人马库斯·杜·沙托教授的解说“事实上，任何边长满足这种关系的三角形都是直角三角形”，你能理解吗？教师引导学生发现命题：三边长满足

时，三角形一定是直角三角形.限于课堂时间，教师让学生课后探究这个命题的证明方法.然后，教师在板书中图2、图3的上方画出一个箭头，给出“一般化”字样.

      （五）小结与拓展

      引导学生小结本节课的收获后，教师再出示一道习题：

      形如x+y=z这样的三元一次方程，并且知道数对

就是适合该方程的一个正整数解；法国数学家费马早在17世纪还研究过形如

的方程.请写出方程“

”的

解：________，________.

      [设计意图：将勾股定理与勾股数组、不定方程研究关联起来，让学生的思路不仅限于“形”的角度，初步感受到勾股定理强大的生长发展空间.]

      二、教学立意的进一步阐释

      （一）基于发生教学法，“重构”教学顺序

      有些初中数学教材在引入“勾股定理”时安排了一个所谓的数学史话：“相传两千五百多年前，毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现地砖图案反映了直角三角形三边的某种数量关系，并且在此基础上，从特殊到一般地思考更一般的直角三角形三边关系，进而证出勾股定理.”我们放弃了这种流行的课堂引入方式，在开课阶段安排BBC视频短片，在主持人、牛津大学数学系马库斯·杜·沙托教授的解说下引出古埃及人结绳绷成直角三角形的数学情境，并安排学生模拟操作绷成直角三角形活动，是为了追溯知识的历史起源，以激发学生的学习动机.这种借鉴、重构知识的发生、发展历史的教学设计也是在数学教学中运用数学史的“重构式”方法.在揭秘古埃及人绷直角三角形之谜时，成果自然扩大，不仅发现了勾股定理，而且感受了勾股定理的逆定理——在课堂最后阶段还引导学生课后继续思考逆定理的证明，从而将整章内容都有效串联在一节课中，同时也是加强不同教学环节之间前后呼应的一种教学努力.

      （二）恰当安排讲授法，节约教学时间

      勾股定理曾被誉为“千古第一定理”，博大精深.如何在有限的一节课内对初中学生开展丰富的“勾股定理”教学，很有挑战.笔者曾经见到，很多“勾股定理”起始课的教学，常常因为教师过分追求发现式、探究式教学，既要让学生发现一般直角三角形三边的平方关系，又要启发学生独立证明该定理，导致教学时间快速流逝，学生“启而不发”，教师顾及教学时间，不得不“自问自答”，勉强进入定理应用、练习的环节.弗赖登塔尔说过：“强调用发生的方法来教各种思想，并不意味着应该从它们产生的顺序来呈现它们，甚至不关闭所有的僵局，删除所有的弯路.”笔者在开课阶段引出古埃及人绷成直角三角形之谜后，几乎没有安排学生独立思考探究，而是采用教师讲授证明思路、学生跟进理解的方式，也是基于对学情的理解，客观上也为后续的教学赢得了时间可以发现，笔者的教学是追溯历史起源、重演历史发展：并非原原本本地、精确无疑地复制历史，而是借鉴历史、重构历史.

      （三）重视思想与方法，追求开放教学

      我们知道，勾股定理本身就是数形结合的典范.从教学价值来看，笔者除了引导学生体会数形结合思想之外，还注意引导学生体会从特殊到一般的思想方法，并在多个教学环节上有所体现—包括勾股定理、逆定理的证明（当然，限于课堂时间，勾股定理逆定理的证明作为课外作业布置给学生继续思考）.特别是课堂小结阶段，我们又虚拟了一道与费马有关的不定方程的习题，除了巩固勾股数组之外，也是为了追求“让课堂向四面八方打开”的“开放的数学教学”（郑毓信语）.

      最后，需要指出的是，“人生，取舍得失中”，教学亦然.在这次“勾股定理”起始课的教学中，笔者放弃不少，收获更多.在设计该课教学的过程中，笔者查阅了大量与勾股定理相关的著作、文献——特别是相关数学史，从而开阔了视野，也知道了在教过多遍、多年的数学知识面前，其实我们所知甚少，需要审慎和谦卑.

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