张丽 新疆乌鲁木齐市第三小学 830000
中图分类号：G623.2文献标识码：A文章编号：ISSN1001-2982 （2019）07-082-02
“鸡兔同笼”问题是我国古代数学名著《孙子算经》中记载的一道数学趣题，虽然人教版四年级下册的数学广角中只编排了一道例题，但在解决问题的过程中呈现了多种解决策略，也以此为载体渗透了多种数学思想方法。
一、转化思想
转化思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规化为常规，从而解决各种问题。例题通过小精灵的提示：“我们可以先从简单的问题入手。”将题目中数量由大化小，既为分析和解决问题提供了方便，也巧妙地渗透了转化思想中“化繁为简”的解题策略。
转化思想是攻克各种复杂问题的法宝之一，教学中常常用到的化“繁”为“简”，化“生”为“熟”、化“数”为“形”、化“曲”为“直”等，都是数学学习中不可缺少的转化的思想方法，具有重要的意义和作用。
二、假设法
假设法是通过对数学问题的一些数据做适当的改变，然后根据题目的数量关系进行计算和推理，再根据所得数据与原数据的差异进行修正和还原，最后使原问题得到解决的思想方法。
例如，在课堂上呈现这样的教学过程：
师：问题是鸡和兔各有几只？大家有什么疑问吗？
生：我们以前都只需要解答一个问题就行了，但是现在需要解决两个问题，鸡和兔的数量都不知道？
师：是呀，有什么好办法能解决这个问题呢？
生：试一试。
师：你打算从几只鸡，几只兔开始尝试呢？
生：4只鸡，4只兔。4只鸡4只兔，一共有8个头，4只鸡8条腿，4只兔16条腿，一共24条腿，比26条腿少了2条腿。不对。
师：这为同学是从4只鸡4只兔开始假设的，得出24条腿，少了。对你有没有什么启发？你还可以从几只鸡、几只兔开始尝试呢？
再如，在列式解决鸡兔同笼问题时，呈现以下教学过程：
师：大家想想刚才的思考过程可以怎样列式呢？
生：假设8只全部是鸡，则有腿8X2=16（条），比26条少了10条。每只兔子被假设成鸡时，少了2条腿。因此，兔子一共是10÷2=5（只）。这样就可以求出鸡有8-5=3（只）。
师：你的想法完全正确，这是假设法。我们可以假设8只全是鸡，也可以假设8只全是兔，怎样列式？
生列式解答。
师：这也是假设法。假设法不仅能解决“鸡兔同笼”的问题，还能解决很多其他问题。
假设法实际上是根据原来的数据、数量关系和逻辑关系，做一些数据的改编，把原问题转化成新问题，而且新的问题易于理解和解决，是一种迂回战术，表面上看解题的步骤变多了，但实际上退一步海阔天空，更有利于计算和推理，有利于培养学生灵活的思维方式、解决问题的能力和推理能力。
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三、穷举法
在解决有关计数问题的过程中，当需要计算的次数不多时，我们通常要把计数的所有对象一一列举出来，从而求出其总数，这种计数方法就是穷举法。
本课中学生将各种猜想的结果有序填在表格中，即为全部猜想的有序列举。
鸡876543210
兔012345678
腿161820222426283032
从表中不难看出，“3只鸡，5只兔”就是满足问题要求的答案。观察表中数据的变化规律，还可以发现：“当鸡的只数每减少1只，兔的只数每增加1只，腿就会增加2条。”这一规律将为下面列式解决鸡兔同笼问题做好铺垫，这也是穷举法在解决问题中的灵活运用。
需要注意的是，穷举法在初步估计计数的次数时，总数不宜太多，又没有更简洁的办法时去使用，且要使用适当的标准分类，有顺序、有条理地列举。
四、数形结合思想
数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。数形结合的思想可以使抽象的数学问题直观化、使繁难的数学问题简洁化，使原本需要通过抽象思维解决的问题，有时借助形象思维就能够解决，有利于抽象思维和形象思维的协调发展和优化解决问题的方法。
（图一：鸡） （图二：兔子）
在课堂上，我启发学生以小组为单位讨论能不能利用画图的方法解决“鸡兔同笼”问题，并留出一定的时间想一想、说一说。学生发现可以用8个圆圈代表头，先给每个圆圈都配上2条腿，一个图就代表一只鸡（图一），这样就有了16条腿。然后把余下的10条腿2条2条地添上，一只鸡添上2条腿，就变成了一只兔子（图二），得到有3只鸡，5只兔。
学生在此环节感受到了用画图的方法能直观地理解问题，可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象为形象思维，有助于把握数学问题本质。
五、模型思想
数学模型是运用数学的语言和工具，对现实世界的一些信息进行适当简化，经过推理和运算，对相应的数据进行分析、预测、决策和控制，并且要经过实践的检验。如果检验的结果是正确的，便可以指导我们实践。
著名数学家怀特海曾说：“数学就是对模式的研究。”数学教学说到底就是交给学生前人构建的数学模型和构建模型的思想方法，使学生能运用数学模型解决数学问题和实际问题。通过引导，学生可以概括出这类题的数量关系并提炼出模型。
鸡的只数=（头的总数X4 - 腿的总数）÷ 两者腿数的差
兔子的只数=（头的总数X2 - 腿的总数）÷ 两者腿数的差
培养学生运用数学模型解决实际问题的关键是让学生参与思考、分析、概括的全过程。学生的观察、分析、综合、类比能力在这个过程中得到培养。学生这种能力的获得不是一朝一夕的事情，需要把数学建模意识贯穿于教学的始终，也就是要不断地引导学生用数学的思维去观察、分析和表示各种事物关系、空间关系，从纷繁复杂的具体问题中抽象出数学模型，进而用数学模型解决实际问题，使数学模型成为学生思考问题的方法和习惯。
细细品味上述数学思想方法，我不禁感叹到“鸡兔同笼”问题中数学思想方法的多样、深刻和灵活。也正因如此，增加了“鸡兔同笼”问题的教学挑战性。作为教师我应该进一步研究数学思想方法在小学数学课例中的应用，以及根据小学生的认知特点和年龄特征探索数学思想方法的教学目标层次，积累教学经验，使得数学思想方法的目标不再是附属品一样永远停留在渗透的层面上，真正成为课堂教学的常态目标，真正成为学生数学素养的不可分割的一部分。
参考文献：
[1]王永春著：《小学数学与数学思想方法》，华东师范大学出版社，2016年9月第6版
[2]张燕燕著：《还数学教学以“精彩”——浅谈“鸡兔同笼”问题中数学思想方法的渗透》，《黑龙江教育﹒小学文选》，2008年9月
论文作者:张丽
论文发表刊物:《中小学教育》2019年7月3期
论文发表时间:2019/7/19
标签：数学论文; 思想论文; 方法论文; 学生论文; 解决问题论文; 只鸡论文; 穷举论文; 《中小学教育》2019年7月3期论文;