常长守 西北工业大学启迪中学 712000
中图分类号：G635.6文献标识码：A文章编号：ISSN1672-2051 （2019）04-211-01
数形结合是中学数学教师教学与学生学习中的重要方法与解题思路。所谓数形结合就是老师或学生根据数学问题的已知条件和结论的内在联系，分析其代数含义,推敲隐藏关系，同时又揭示其几何直观性,使抽象的数学语言与直观的图形结合起来的一种数学思想方法。通过“以形代数”和“以数辅形”,揭示出“代数”与“图形”之间内在关系,从而把代数问题转化,用更直观的方法来解决问题，使得复杂问题简单化、抽象问题具体化。
从古至今数与形是两个不可分割的研究对象，在一定程度上他们可以相互转换，我国著名数学家华罗庚曾说过“数无形而少直观、形无数而难人微，数形结合百般好、隔裂分家万事休”，非常精辟而又通俗地阐明了数和形结合的必要性。几何图形形象、直观，而且容易理解，代数方法的一般性比较强，做题过程较机械化，可操作性比较强，容易让学生掌握，因此只有把数形恰当完美的结合起来，就能更深一层激发学生的学习兴趣，进一步促进学生的情感态度价值观，提高课堂教学效果。
一、使用“数形结合”让教与学双轻松
初中阶段学生的思维特点是以具体形象性为主，他们心理年龄还不是很成熟，思考问题的方式单一，数学学科的特点与学生思维水平之间有一定的差距，为了缩短两者之间的距离，让教与学双有效，主要手段就是直观教学。但是初中阶段好多难以理解的、抽象的数学问题，就不能再继续用小学阶段所学的知识和方法来直观解决，在教育教学过程中老师就必须要慢慢的渗透数形结合的数学方法，为高中阶段打好基础。让学生潜移默化的学会用数形结合的方法解决相关数学问题，长此以往学生学习就比较轻松，学习效率也会大大的提高，同时老师教学也轻松了许多。因此要大力提倡中学阶段老师给学生渗透数形结合的数学方法。
二、“数形结合”典例剖析
典例1：勾股定理的证明
勾股定理：在一个直角三角形中，斜边长的平方等于两条直角边边长平方之和。
解析：如图所示大正方形边长为a+b，小正方形四个顶点分别在大正方形边上，小正方形边长为c，由此可得：
（阴影部分面积+小正方形面积=大正方形面积）
化简得
分析：勾股定理是初中一个重要的定理，其证明方法多达十几种，这里只列一种说明主题，构造图形用阴影部分面积+小正方形面积=大正方形面积来列出关系式。好多数学公式，定理、结论、判定的证明都用图形来解决，数形结合简明、直观、形象的描述了公式、定理、结论的证明过程。
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典例2：某学校有90名学生参加球类运动，其中打篮球的48人，打排球的52人，踢足球的34人，既喜欢打篮球又喜欢打排球的有30人，既喜欢打排球又喜欢踢足球有28人，既喜欢踢足球又喜欢打篮球的有36人，问同时喜欢这三类球的有多少人？
解析：如图所示，同时喜欢三类球的有x人，则只喜欢打篮球的有（48-36-30+x）人，只喜欢打排球的有（52-30-28+x）人，只喜欢踢足球的有（40-36-28+x）人，根据题意得：
（48-36-30+x）+（52-30-28+x）+（40-36-28+x）+30+28+36—2x=90
解得x=22
故同时喜欢这三类球的有22人.
分析:此题借助于图形来分析、理解题目，条理清楚，条件简明，做题思路也就显而易见。
典例3：设点在抛物线上，则大小关系为 （ ）
解析：画出抛物线的大致图像如图所示，二次函数对称轴是x=-1，点的位置如图，在x轴，y轴分别表示出的横坐标，纵坐标。显而易见
分析：此题用代数法也可解决，把点带入二次函数中，表示出 进而可以比较大小，代数法解决关键点在于后半部分比较大小关系，显然图像法简单、便捷、形象、更容易理解。
典例4：如果实数满足等式，则的最大值是什么？
解析：设点在圆上，圆心为,半径等于。如图，则是点与原点连线的斜率。当与⊙相切时，且切点落在第一象限时，有最大值，即有最大值。因为 =， =2，所以==1，所以==。
分析：上例中，组成一元一次不等式组的各个不等式的解很容易求出，然而解集不好求出，因此需要把各个不等式的解（数）在数轴（形）上表示出来，由图显而易见的可以看出不等式组的解集。这个解不等式组的过程充分体现出数形结合思想方法的优越性、简便性。
典例5：如图两村庄A，B，要在河边CD段上修一个自来水厂，使得自来水厂到A,B的距离最短。AC=1，BD=3，CD=3，求自来水厂的位置。
解析: 把原题巧妙地取成点线的问题，把问题回归到在CD短上取一点P，使得AP+BP最短的问题，计算PC的长度，取点A关于CD的对称点;
2)连接B,交CD于P. 则在点P处建自来水厂,可使PA+PB最小则,则即 解得，则点P距离C处0.75。
所以，自来水厂建在距离C处0.75的位置，可使得自来水厂到A,B的距离最短。
分析：这是一道实际应用题目，旨在解决实际问题中最短距离的问题，但是代数法无从下手，因此我们需要把实际应用的问题转化成数学中线段最短的问题，从而用图形的问题来解决就简单明了。
著名教育家陶行知先生说过：“单纯的劳力，只是蛮干，不能算做；单纯的劳心，只是空想，也不能算做。”当我们看到了一个题目时，如果想了好久还是做不出、没思路，那不妨试试把代数的问题转化成图像的问题来解决，边思考，边列数据，边作图，这样当我们把代数的问题尽量转化成图形问题，然后对照图像一目了然，便于理清思路，解决问题。总之，引导学生根据问题的具体情况，注意改变观察和理解问题的角度，揭示问题的本质联系，从而解决问题。用“数”的准确澄清“形”的模糊，用“形”的直观启迪“数”的计算。抓住数形转化的策略，沟通知识联系，激发学生学习兴趣，提高学生的思维能力。数形结合的思想为我们提供多条解决问题的通道，使灵活性、创造性的思维品质在其中得到了更大限度的发挥，真正的将数形结合思想应用到解题当中去。
论文作者:常长守
论文发表刊物:《中国教师》2019年4月刊
论文发表时间:2019/2/18
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