摘要：随着数控技术的发展，数控机床已用于加工各种复杂叶片，目前，叶片加工一般采用球头铣刀、鼓形铣刀或平底铣刀来完成。在切削过程中，形成条形包络面，由于在垂直于进给方向的法截面上，条形包络面的法曲率无法随被加工曲面的几何形状而改变，为了避免在某些部位发生干涉，刀具半径一般取得较小。这样为获得较高的加工精度，刀具轨迹必须密集，加工效率大大降低。为提高其加工效率，采用密切曲率法，即采用内锥盘形铣刀，在每一次行程中，使刀具轴线绕工件的旋转轴线按特殊的规律摆动，使得在垂直于进给方向的法截面中，刀尖轨迹的包络面的法截线与理论曲面的法截线具有相同的曲率，从而使每一行程中刀尖轨迹的包络面都成为理论曲面的密切曲面，采用这种方法，可以在保持精度不变的前提下，使实际行程次数得以大幅度地减少。
关键词：基于密切曲率法；汽轮机叶片；数控加工
1、叶片数学模型的建立
叶片的设计数据一般由不同截面的一系列型值坐标点构成，每个截面由不同半径的圆弧组成。在进行曲线或曲面拟合时，目前普遍采用的自由曲线数学模型有COONS曲线(曲面)、BEZIER曲线(曲面)、NURBS曲线(曲面)。NURBS曲面由于采用统一的数据结构和求值算法，同时控制点和权因子的引入为曲线(曲面)的表示提供了更大的灵活性，局部改变控制点或权因子可以调整局部的曲线(曲面)形状，而不影响其它部分。因此，采用混合幂次(2×3次)的NURBS方法建立叶片的数学模型，可精确表示每一个截面的圆弧曲线，又可使纵向达到C1、C2的连续。
1.1 NURBS曲面表达式
k×l幂次NURBS曲面的方程表示为一分段有理多项式矢函数:
(1)
式中，di，j，i=0，1，…m，j=0，1，…n构成网格控制点;wi，j是与顶点di，j相联系的权因子;Bi，k(u)，i=0，1，…m和Bj，l(v)，j=0，1，…n分别为u向k次和v向l次的B样条基函数。沿u向和v向的节点矢量分别为(r+1)和(s+1)，其中r=n+k+1，s=m+l+1。
(2)
当k=2，l=3时，(1)式为2×3次非均匀有理B样条曲面，表达式为：
(3)
曲面节点矢量为:
1.2 2×3次NURBS曲面的矩阵表示
利用德布尔算法的递推公式可得2×3次非均匀有理B样条曲面的矩阵表达式:
(4)
式中，U=[1，u，u2];V=[1，v，v2，v3]。
(5)
(6)
定义符号:Δ1i=ui+1-ui，(i=1，2，3…n+k);Δ2i=ui+2-ui，(i=1，2，3…n+k-1)。
(7)
由节点矢量u=[u0，u1，u2，…un+2]可得类似的定义符号:Δ1i= vi+1-vi，(i=1，2，3…n+k);Δ2i=vi+2-vi，(i=1，2，3…n+k-1);Δ3i=vi+3-vi，(i=1，2，3…n+k-2)。
由节点矢量v=[v0，v1，v2，…vn+3]可得
(8)
根据以上矩阵表示形式，只需确定叶片横向和纵向的节点量、控制顶点及其相应的权因子就可确定整个叶片的曲面方程。
至此，建立了整个叶片的完整的数学模型，在此基础上就可利用密切曲率法来计算数控加工叶片的刀路轨迹。
2、密切曲率法加工叶片
2.1密切曲率法的基本公式
由图1可知，用密切曲率法加工曲面时，刀尖轨迹圆是位于铣刀的端平面S上的。现假设曲面∑上的M点与c切触，图中T是∑上M点处的切平面，l是S与T的交线，e1和e2分别表示M点处的两个主方向的单位向量，k1和k2分别为对应的主曲率。用n表示M点处的单位外法线向量，并设e1、e2和n构成一个正交的右手系。θ表示按逆时针转到l的有向角，η表示S与T之间的平面角。
图1密切曲率法加工曲面示意图
由欧拉公式可得∑沿l方向的法曲率为
(9)
根据奠尼埃定理，∑与S的交线f上M点处的曲率为
k=kn/sinη (10)
只要l对应的不是∑的渐近方向，并且刀尖回转圆半径R满足kn>1/R，总可以找到一个η值，使得
k=1/R (11)
此时还必须调整θ来控制交线f的曲率导数以防过切。为了便于求出铣刀的刀位，在M点建立局部坐标系e1e2n，建立曲面∑在M点邻域内的方程。
2.2刀具运动轨迹
刀具运动轨迹是指数控加工过程中刀具相对于工件的运动轨迹.刀具轨迹的安排应遵循以下一些原则:保证零件的加工精度和表面粗糙度要求;便于数值计算;减少计算工作量;缩短走刀路线;减少工作行程。
采用密切曲率法加工叶片时，理论上讲，当刀具沿曲面上最小的曲率线运动时，就能获得最大的切削宽度，从而获得最大的加工效率，该轨迹即为曲面的最优化刀具轨迹。但是由于曲面曲率变化等方面的原因，最小曲率法向变化频繁，这种最优化刀具轨迹是不可能完全实现的，铣刀在毛坯曲面上沿刀位轨迹行进行切削时，留下一条切削带痕，称之为加工带。为避免两轨迹线间产生漏切，必须保证相邻加工带有一定的重叠量，相邻轨迹上对应刀位点的切削宽度必须有一定的重叠度。但若重叠度过大，会使轨迹数目增多，降低加工效率。
本文在保证精度的前提下提出一种加工带最小重叠法，以保证最大切削宽度，求解刀具轨迹方法如下:首先选取一条轨迹线，在该轨迹线上选取一些离散点，分别计算它们的刀心矢量和刀轴矢量，求其残余高度δ，调节刀轴矢量，直到δ等于预定残余高度ε，求得位于切触点两侧的点，这两点在垂直于进给方向的方向上投影长度即为刀具在该点的实际切削有效宽度，由于这两点并非对称于切触点，故其相应的有效切削宽度应分别计算，沿其两边找到各自最小的有效切宽;通过改变第一条初始轨迹的步距，得到这样一条轨迹，其两边各自最小的有效切宽之和等于或略大于给定步距，得到第一条刀具轨迹;设该条轨迹线上一刀位点为P，在P垂直于进给的方向上，直接将靠近未加工表面一侧的切宽点向未加工部分移动切削宽度的K倍，K为保障系数，K∈(0，1)，即得下一条轨迹上的一个切削点，同理可求出下一条轨迹的所有切触点;沿求得的轨迹线按进给方向预走刀，求得每一个刀位点靠近已加工表面一侧的有效切削宽度，计算对应切宽点是否落在上条轨迹线的加工带内，若相邻加工带有一个很小的重叠值，则第二条轨迹是满足要求的，如果重叠值太大或者根本就没有重叠，应适当的扩大或缩小其步距，重新计算检查，直到满足加工带最小重叠条件;依此类推，得到加工叶片所有轨迹线。
3、计算实例
本实例是针对某大型汽轮机叶片的切削加工。采用中凹盘形铣刀，半径为12mm的硬质合金刀齿对其进行精加工。计算出的刀具轨迹如图2所示。最大切削带的宽度可达16.5mm以上，如此大的切削宽度是球头刀不可能实现的，盘形铣刀的使用寿命远长于球头铣刀，因为球头铣刀的切削条件较差。即使采用相同尺寸的平底盘形铣刀，其加工曲面时的相应切削带宽度也小于本方法的切削宽度，这是因为本方法采用内锥盘形铣刀，其后跟角可以为负值。
图2
4、结论
通过2×3次非均匀有理B样条方法，建立了复杂叶片的数学模型，推导了其三维点和法矢量矩阵表达式，实现了叶片的数字化表示。在此基础上利用密切曲率法加工叶片，可以在保证加工精度不变的前提下，使加工行程得以大幅度的减少，因而可以最大限度地提高数控机床的潜力，大幅度提高生产率。
参考文献
[1]周志雄，周秦源，任莹晖.复杂曲面加工技术的研究现状与发展趋势[J].机械工程学报，2010，46(17)：105-112.
[2]程耀楠，安硕，张悦，等.航空发动机复杂曲面零件数控加工刀具轨迹规划研究分析[J].哈尔滨理工大学学报，2013，18（5）：31-36.
论文作者:刘学斌
论文发表刊物:《电力设备》2018年第26期
论文发表时间:2019/1/16
标签：曲面论文; 曲率论文; 轨迹论文; 加工论文; 叶片论文; 铣刀论文; 刀具论文; 《电力设备》2018年第26期论文;